八年级数学上册试题 第四章《一次函数》单元测试卷-北师大版（含答案）

第四章《一次函数》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．已知一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在一次函数的图象上，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．若一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程3x＝ax+b的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
6．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．在平而直角坐标系中，一次函数的图像关于直线对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，在矩形OABC中，已知A（6，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（　　）
A．B．C．D．
9．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，他们的横坐标依次为－1，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1 B． C． D．3
10．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知函数是正比例函数，则a=____，b=______．
12．函数的自变量x的取值范围是_____．
13．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，a）在正比例函数的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第_________象限
14．将直线向右平移2个单位长度后，所得直线的解析式是__________．
15．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________．
16．在平面直角坐标系中，A点坐标为，直线交x轴于点B，交y轴于点C，第一象限内有一动点P，且满足，则周长的最小值为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线上，则点B与其对应点B′间的距离为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，…，则的长度为______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：直线与轴、轴分别相交于点A和点，点在线段上，将沿折叠后，点恰好落在边上点处．
(1)求A点的坐标　　和点的坐标　　；
(2)求的长；
(3)求出的长.
20．（8分）已知直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，且过点（1，﹣3）．
（1）求这个一次函数的关系式？
（2）画出函数图象．
（3）该函数图象与两个坐标轴围成的三角形的面积？
21．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发且行驶的路线相同，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），行驶的时间为x（h），y1，y2与x之间的函数关系图象如图所示．
(1) 根据图象，求出y1，y2关于x的函数表达式；
(2) 若设两车间的距离为s（km），请写出s关于x的函数表达式．
22．（10分）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点C．
(1) 点A的坐标为___________；
(2) 当时，求的面积；
(3) 在内部及边上的所有点中，若横、纵坐标都是整数的点的个数恰好为7时，直接写出k的取值范围．
23．（10分）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
(1)甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
(2)这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
24．（12分）阅读理解题
定义：如果一条直线把三角形的面积分为相等的两部分，那么我们称这条直线是三角形的一条等分线，我们知道三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，那么三角形的一条中线所在的直线就是该三角形的一条等分线．如图1，点D是BC的中点，那么直线AD就是△ABC的一条等分线．
(1)任务一：如图1，若∠B＝30°，∠C＝45°，，则△ABD的面积为______．
(2)任务二：如图2，点A（1，4），点B（4，2），连接OA，AB，OB，直线l经过点A，且直线l是△OAB的等分线，请在图2中画出直线l（无需尺规作图），并求出直线l的表达式．
(3)任务三：如图3，点A（3，6），AB⊥x轴于点B，连接OA，点P（1，m）是OA上一点，点Q是AB上一点，若直线PQ是△AOB的等分线，则点Q的坐标为______．
答案
一、选择题
B．D．B．C．A．B．A．C．D．B．
二、填空题
11．；． 12．x≤2． 13．四 14．y=x-1．
15．c＞a＞b． 16.7+． 17．8． 18．．
三、解答题
19．解：当时，，
解得：，
点A的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
故答案为：；．
（2）解：在中，，，，
．
（3）解：由折叠的性质，可知：，．
设，则，．
，
即，
解得：，
的长为3
20．解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，
∴k＝2，
∵直线y＝2x+b过点（1，﹣3），
∴2+b＝﹣3，
∴b＝﹣5，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵y＝2x﹣5，
∴当x＝0时，y＝﹣5；
当y＝0时，x＝2.5，
过（0，﹣5）、（，0）画直线，得到函数y＝2x﹣5的图象，如图所示：
（3）如图，该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是：.
21．（1）解：设=kx（0≤x≤10，k≠0），
由图象知：过点（10，600），代入得：600=10k，
∴k=60，
∴=60x．
设 =ax+b（0≤x≤6，a≠0），
由图象可知：过点（0，600），（6，0），代入得：，
解得：，
∴=-100x+600．
即∴=60x（0≤x≤10），
=-100x+600（0≤x≤6）．
（2）联立=60x和=-100x+60
解得
当0≤x<3.75时
，
当3.75≤x<6时
当6≤x≤10时
即
22．（1）解：∵直线交x轴于点A，
∴令y=0，则kx-2k=0，
解得x=2，
∴点A的坐标为(2，0)．
故答案为：(2，0)．
（2）解：当时，为，
∵直线交y轴于点B，
∴令x=0，则y=2，
∴点B的坐标为(0，2)，
将其代入得．
∴的解析式为．
令，得，则，
∴点C的坐标为(-1，0)．
∴．
（3）解：∵直线交y轴于点B，
∴令x=0，则y=-2k，
∴点B的坐标为(0，-2k)，
将点B (0，-2k)代入直线，得-2k=b，
∴的解析式为y=2x-2k，
∵直线：y=2x-2k交x轴于点C，
∴令y=0，则2x-2k=0，
解得x=k，
∴点C的坐标为(k，0)，
∴OC=- k，
∵A (2，0)，k<0，
∴线段AC上至少有(2，0)，(1，0)，(0，0)三个整数点，
∵在内部及边上的所有点中，若横、纵坐标都是整数的点的个数恰好为7，
结合函数图象发现：
点C在(-1，0)处时，在内部及边上的所有点中，若横、纵坐标都是整数的点的个数恰好为7，此时k=-1，
点C在(，0)处时，在内部及边上的所有点中，若横、纵坐标都是整数的点的个数刚好由7增加2达到9，此时k=，
综上所述，在内部及边上的所有点中，若横、纵坐标都是整数的点的个数恰好为7时，k的取值范围是．
23．(1)解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
(2)设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
24．（1）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，，
∴AE＝EC＝，
∵∠B＝30°，
∴BE＝，
∴BC＝BE＋EC＝，
∴，
∴S△ABD＝，
故答案为：；
（2）解：如图，OB的中点为E，过点A，E的直线即为所求作的直线l，
∵B（4，2），点E为OB的中点，
∴E（2，1），
设直线l的表达式为：，
将点A（1，4），E（2，1）代入得：，
解得：，
∴直线l的表达式为：；
（3）解：设直线OA的解析式为：，
代入A（3，6）得：，
解得：，
∴直线OA的解析式为：，
当x＝1时，，即P（1，2），
设点Q的坐标为（3，n），
由S△APQ＝S△AOB，得：，
解得：，
∴点Q的坐标为（3，），
故答案为：（3，）．