九年级数学上册试题 4.1成比例线段--黄金分割同步练习 北师大版（含答案）

4.1成比例线段--黄金分割
一、单选题
1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（　　）
A． B． C． D．
2．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP＞PB)，那么AP的高度大约为（ ）米．
A．200 B．210 C．300 D．130
3．点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
5．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1 AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　)
A．()2017 B．()2017 C．()2017 D．(﹣2)1008
6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．有以下命题：
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；
②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，则．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B做BD⊥AB，使；连接DA，在DA上取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．点C即为线段AB的黄金分割点，若BD＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是______．
11．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
12．点是线段的黄金分割点，，若，则__．
13．如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP114．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是_____________．
15．已知线段，点c是线段的黄金分割点，．那么________．
16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．
17．若线段，是的黄金分割点，且，则AC=
18．已知点为线段的黄金分割点，且，则线段的长为________．
19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），若 AC＝2则 ＝______．
20．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．
三、解答题
21．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
23．如图①，点C将线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点D为边上的黄金分割点（如图②），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）在（1）中的中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交于点E，再过点D作直线，交AC于点F，连接（如图③），则直线也是的黄金分割线．请你说明理由；
（4）如图④，点E是平行四边形的边的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线．请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边黄金分割点．
24．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比．
25．阅读与思考
黄金分割
黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．
黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就
如图1的作法是由《几何原本》中给出：
（1）以线段为边作正方形．
（2）取的中点，连接．
（3）在的延长线上取点，使．
（4）以线段为边作正方形．
点就是线段的黄金分割点．
以下是证明点是线段的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形的边长为1，则．
∵点是的中点，∴．
在中，由勾股定理得：．
…
任务：
（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．
（2）如图2，点，是线段的两个黄金分割点，且，则_____，_____．
答案
一、单选题
B．B．C．B．A.A.C．B．B
二、填空题
10．
11．10
12．
13．
14．（）cm
.
15．
16．﹣2
17．
18．或
19．4
20.．
三、解答题
21．解：
（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，
设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
22．解：∵，
又∵D是AB的黄金分割点，
∴，，
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
∴，
而，
∴，
∴中线不是黄金分割线．
23．（1）解：直线是的黄金分割线．理由如下：
设的边上的高为h．
则，，，
∴，．
又∵点D为边的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线是的黄金分割线；
（2）解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）解：∵，
∴和的公共边上的高也相等，
∴，
∴，
．
又∵，
∴．
因此，直线也是的黄金分割线；
（4）解：画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如解图①，取的中点G，再过点G作一条直线分别交，于M，N点，则直线就是平行四边形的黄金分割线．
画法二：如解图②，在上取一点N，连接，再过点F作交于点M，连接，则直线就是平行四边形的黄金分割线．
24．解：设，，则，
由，得，
则，
整理得；，
解得：，（不合题意，舍去）．
故黄金比为：．
25．（1）证明：设正方形的边长为1，则．
∵点是的中点，
∴．
在中，由勾股定理得：，
则，
∴，
∴，，
即．
故点是线段的黄金分割点．
（2）解：∵点是的黄金分割点，
根据（1）可得，解得，
则．
故答案为4，．