兰州市教育局第四片区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学学科试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每个小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
1.已知直线，直线，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，则（ ）
A. B. C.或 D.
3.在中，，，的周长是，则顶点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9.关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A.实轴长为 B.焦距为 C.顶点坐标为 D.离心率为
10.若，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数的导函数的图象如下图，则下列判断正确的是（ ）
A.函数在区间上单调递增
B.当时，函数取得极小值
C.函数在区间上单调递增
D.当时，函数有极小值
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则．
其中所有真命题的序号有________．
14.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为________．
15.已知函数 ，，则函数 与 的交点坐标为________，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为________．
16.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这名应届大学毕业生安排到该市所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其他题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知抛物线的焦点为．
求；
斜率为的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长．
18.用、、、、这五个数字组数．
（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位数的偶数？
19. 已知向量，，，，．
（1）求向量，，；
（2）求向量与所成角的余弦值．
20.已知函数的图象在点处的切线与直线：
平行．
求切线的方程；若函数有个零点，求实数的取值范围．
21.已知向量，向量满足以下三个条件：
①；②；③与向量垂直；求向量．
22.母亲园广场有一个直径为米的半圆形花园，现在在花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带，从点到点设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.
设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；
试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)兰州市教育局第四片区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学学科答案
单选题（本大题共8小题，共40分，在每个小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）
A 2. A 3. D 4. B
5. B 6. A 7. C 8. D
二、多选题（本大题共4小题，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9. A,D 10. A,B 11. A,C 12. B,C
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. ② 14. 15. . 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其他题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知抛物线的焦点为．
求；
斜率为的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长．
解：由焦点的坐标可得， ……1分
所以. ……2分
由可得抛物线的方程为， ……3分
直线的方程为：， ……4分
设，，
联立直线与抛物线的方程可得：
整理可得：， ……6分
所以， ……8分
所以弦长． ……10分
18. 用、、、、这五个数字组数．
（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位数的偶数？
解：（1）根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有种情况，
则有个允许数字重复的三位数， ……4分
（2）根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
在剩下的个数字中任选个，安排在十位和个位，有种情况，
则有个无重复数字的三位数， ……8分
（3）根据题意，分种情况讨论：
若在个位，有个偶数，
若不在个位，则数字，作个位，有个偶数，
所以共有个偶数． ……12分
19.已知向量，，，，．
（1）求向量，，；
（2）求向量与所成角的余弦值．
解：（1）∵ 向量，，，
且，，
∴ ， ……2分
解得，，； ……4分
∴ 向量，，； ……6分
（2）∵ 向量，， ……7分
∴ ， ……8分
， ……9分
； ……10分
∴ 与所成角的余弦值为
． ……12分
20. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
求切线的方程；若函数有个零点，求实数的取值范围．
解：由题意，函数，
则， ……1分
又的图象在点处的切线与直线平行，
所以，解得， ……3分
即，
所以，
所以切点的坐标为
则切线方程为，即. ……5分
由可知，令，则，
列表如下：
极大值 极小值
所以当时， 有极大值，
当时， 有极小值，
且当时， ，
当时， ， ……10分
因为有个零点，
所以有个实数根，即与的图象有个交点，
所以实数的取值范围为. ……12分
21. 已知向量，向量满足以下三个条件：
①； ②； ③与向量垂直； 求向量．
解：设，∵ ，，，与向量垂直；
∴ ，，
， ……6分
解得，，．
或，，． ……10分
∴ ． ……12分
22. 母亲园广场有一个直径为米的半圆形花园，现在在花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带，从点到点设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.
设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；
试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)
解:如图，连接，
在直角三角形中，，
所以， ……2分
由于,
则弧的长为， ……4分
； ……6分
由知， ……7分
令，解得， ……8分
当时，,单调递增，
当，单调递减， ……10分
所以当时，有最大值. ……12分
