2023 年春学期 7 月月考考试
高一数学试卷
2023 年 6 月 28 日
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题 5 分）
1. 1 i已知复数 z i ， 则 z （ ）
A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i
2.已知m，n为直线， 为平面，若m∥ ，n ，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面
3.设 A，B 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．若 A，B 是对立事件，则事件 A，B 满足 P（A）＋P（B）＝1
B．事件 A，B，C 两两互斥，则 P（A）＋P（B）＋P（C）＝1
C．若 A 和 B 互斥，则 A 和 B 一定相互独立
D．P（A B）＝P（A）＋P（B）
4.如图，水平放置的四边形 ABCD的斜二测直观图为矩形 A B C D ，已知
A O O B 1， B C 1，则四边形 ABCD的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D． 4 2 17
5.《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共 14 种算法.某研究学习小
组共 7 人，他们搜集整理这 14 种算法的相关资料所花费的时间分别为 83，84，
80，69，82，81，81（单位:min）.则这组时间数据的（ ）
A．极差为 14 B．方差为 22 C．平均数为 80 D．中位数为 80
2023年春学期，数学试卷，第 1页，共 6页
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6.在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c bcos A，则 ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
7.已知函数 f(x)＝ 3sin xcos x＋1cos 2x，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所
2
得的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )
A.π B.5π C. π D.5π
6 6 12 12
8.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一
个刍甍如图所示，底面 ABCD 为正方形，EF / /底面 ABCD，四边形 ABFE，CDEF
1
为两个全等的等腰梯形，EF AB 2, AE 2 32 ，则该刍甍的外接球的体积为
（ ）
A． 64 2 B．32 C． 64 3 D．64 2
3 3
二、多选题（每小题 5 分）
9．在 ABC 中各角所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的有（ ）
a b c
A. 则 ABC 为等边三角形；
cosA cosB cosC
B. 已知 a b c a b c 3ab，则 C 60 ；
C. 已知a 7，b 4 3 ， c 13 ，则最小内角的度数为30 ；
D. 在 a 5， A 60 ，b 6，解三角形有两解.
10. 袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 3 个白球、2 个黑球，从中不放
回地依次随机摸出 2 个球，则（ ）
A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
2023年春学期，数学试卷，第 2页，共 6页
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C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
11.设 a，b是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若 a b a b ，则存在实数 0，使得 a b .
B．若 a b，则 a b a b .
C．若 a b a b ，则 a，b反向.
D．若a∥b，则 a，b一定同向
12. 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 4,BC BB1 2 , E,F 分别为棱
AB,A1D1 的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A. DB1⊥CE
B. 直线CF 与 A1B为相交直线
C. 若 P 是棱 C1D1 上一点，且 D1P=1，则 E、C、P、F
四点共面
D. 平面 CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题 5 分）
13．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是 0.8，乙解决这
个问题的概率是 0.6，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是______．
14．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如
图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中“邪解”得到一堑堵 ABCDC1B1 ，E为C1D 的中点，则
异面直线 AB1与 BE 所成的角为______.
2023年春学期，数学试卷，第 3页，共 6页
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15．已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2－bc，
bc＝4，则△ABC 的面积为________.
16．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，DC 的中点，则A→E·A→F＝
________.
四、解答题
17．（10 分）．已知向量a
2, 1 ,b 1,2 ,c 3, 4 ，求：
（1）若 e
1 e ，且 ∥a
，求 e 的坐标；（2）若c ma nb﹐求m n；
ka （3）若 b ∥c ，求 k 的值．
18（. 12 分）某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，
[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如
图．
(1)求直方图中 x 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，
用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多
少户？
2023年春学期，数学试卷，第 4页，共 6页
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19．（12 分） π已知函数 f (x) cos 2x 2sinxcosx .
6
(1)求 f (x)的单调递减区间。
(2)在△ ABC中,若 AB 4, f (C ) 1 ,求△ ABC的外接圆的面积.
2 2
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD,BC∥平面
PAD,BC 1 AD， ABC 90 E2 ， 是 PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面 PAB 平面PAD ；
（3）若 M 是线段CE上任意一点，试判断线段 AD上是否存在点 N，使得MN∥平
面PAB？请说明理由．
2023年春学期，数学试卷，第 5页，共 6页
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21．（12分）已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，
若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面
试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试
之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、
1 1
乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是 1 13 ，2 ，4 ，面试合格的概率分别是 2 ，
1 2
3， 3 ．（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（2）求甲、乙两位
考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；（3）求三人中至
少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
22．（12分）如图，在三棱锥 A BCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，M ，N 分
别是 AD，BC的中点.
（1）证明：MN BC；
（2）设BC 2，AD 2 5 ，MN和平面BCD
π
所成角的大小为 A CD B6 ，求二面角
的大小.
2023年春学期，数学试卷，第 6页，共 6页
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}高一七月月考
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1 1 i．已知复数 z i ， 则 z （ ）
A． 1 i B． 1 i C．1 i D．1 i
【答案】B
1 i 1 i i【解析】 z 2 1 i，所以i i z 1 i .故选：B
2．已知m，n为直线， 为平面，若m∥ ，n ，则m与n的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面
【答案】D
【解析】因为m∥ ，所以直线m与平面 没有公共点，又n ，
所以m与n没有公共点，即m与n的位置关系是平行或异面.故选：D.
3．设 A，B 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．若 A，B 是对立事件，则事件 A，B 满足 P（A）＋P（B）＝1
B．事件 A，B，C 两两互斥，则 P（A）＋P（B）＋P（C）＝1
C．若 A 和 B 互斥，则 A 和 B 一定相互独立
D．P（A B）＝P（A）＋P（B）
【答案】A
【解析】A.若 A，B 是对立事件，则事件 A，B 满足 P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确；
B.事件 A，B，C 两两互斥，如 : 投掷一枚均匀的骰子，
设 A {向上的点数是 1 点}， B {向上的点数是 2 点}，C {向上的点数是 3 点}，
1
则 A，B，C 两两互斥，P(A) P(B) P(C) ,P(A）＋P(B)＋P(C)＜1,6 所以该选项错误；
C.若 A 和 B 互斥，则 P(AB) 0 P(A) P(B) ，则 A 和 B 一定不相互独立，
所以该选项错误；
D.只有当 A 和 B 互斥时， P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.故选：A
4．如图，水平放置的四边形 ABCD的斜二测直观图为矩形 A B C D ，已知 A O O B 1，B C 1，
则四边形 ABCD的周长为（ ）
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A．8 B．10 C．12 D．4 2 17
【答案】B
【解析】由题设知：原四边形中 AB CD A B C D 2且 AB / /CD，
所以原四边形 ABCD为平行四边形，
而O C 2 ，则原四边形中OC 2 2 ，故 AD BC OC 2 OB2 3，
综上，四边形 ABCD的周长为 AB CD AD BC 10 .故选：B
5．《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共 14 种算法.某研究学习小组共 7 人，
他们搜集整理这 14 种算法的相关资料所花费的时间分别为 83，84，80，69，82，81，81（单
位:min）.则这组时间数据的（ ）
A．极差为 14 B．方差为 22 C．平均数为 80 D．中位数为 80
【答案】C
【解析】极差为样本最大值与最小值之差：84 69 15，A 错误；
83 84 80 69 82 81 81
平均数为： 807 ，C 正确；
1 2 2 2 2 152
方差为： s2 83 80 84 80 80 80 69 80 82 80
2 81 80 2 81 80 2
7 7 ，B 错误；
样本由大到小排列：69，80，81，81，82，83，84，中位数为 81，D 错误.故选：C.
6．在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c bcos A，则 ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】在 ABC中，因为 c bcos A，可得sinC sin Bcos A，
又因为 A B C π，可得 sinC sin(A B) sin AcosB cos Asin B，
即 sin AcosB cos Asin B sin Bcos A，可得sin AcosB 0，
由 A,B (0, ) sin A 0,cos B 0 B (
，所以 ，所以 , )2 ，
所以 ABC为钝角三角形.故选：A.
7．已知函数 f(x)＝ 3sin xcos x 1＋ cos 2x，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原
2
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
点对称，则φ的最小值为( )
A.π B.5π
6 6
C. π D.5π
12 12
2x π＋
解析：由题意 f(x)＝sin 6 ，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得图象对应的解析式为
2 x－φ π＋
g(x) sin 6 2φ π kπ(k Z) φ kπ π＝ ，则 － ＝ ∈ ，即 ＝ ＋ (k∈Z)，又φ>0，所以φ π的最小值为 .故
6 2 12 12
选 C.
答案：C
8．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所
示，底面 ABCD 为正方形，EF / /底面 ABCD，四边形 ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，
EF 1 AB 2, AE 2 3
2 ，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A． 64 2 B．32 C． 64 3 D．64 2
3 3
【答案】A
【解析】取 AD，BC 中点 N，M，正方形 ABCD中心 O，EF 中点O2 ，
连接 EN ,MN ,FM ,OO2 ，如图，
依题意，OO2 平面 ABCD，EF / /AB / /MN ，点 O 是 MN 的中点，MN AB 4，
等腰△AED中， AD EN，EN AE2 AN2 2 2 ，同理FM 2 2 ，
因此，等腰梯形EFMN 的高OO EN2 (MN EF2 )2 7，2
由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心O1 在直线OO2 上，连O1E,O1A,OA，
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
正方形 ABCD外接圆半径OA 2 2 ，
O A2 OA2 OO2 1
则有 1 1O 2 2
O A O E,O E EF 1
1E O2E O O
2 ，而 1 1 2 2 ，2 1
当点O1 在线段O2O的延长线（含点 O）时，视OO1 为非负数，
若点O1 在线段O2O（不含点 O）上，视OO1 为负数，
即有O2O1 O2O OO1 7 OO1，即 (2 2)2 OO21 1 ( 7 OO )21 ，解得OO1 0，
因此刍甍的外接球球心为 O，半径为OA 2 2 ，
所以刍甍的外接球的体积为 4π (2 2)3 64 2π .故选：A
3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．在 ABC中各角所对的边分别为 a，b，c，下列结论正确的有（ ）
a b c
A. 则 ABC为等边三角形；
cosA cosB cosC
B. 已知 a b c a b c 3ab，则 C 60 ；
C. 已知a 7，b 4 3， c 13，则最小内角的度数为30 ；
D. 在 a 5， A 60 ，b 6，解三角形有两解.
a b c
【解析】对选项 A，因为 ，
cosA cosB cosC
sin A sin B sinC
所以 tan A tan B tanC .
cosA cosB cosC
又因为 A,B,C 0,180 ，所以 A B C，
即 ABC 为等边三角形，故 A 正确.
对选项 B，因为 a b c a b c 3ab，所以 a2 b2 c2 ab，
a2cosC b
2 c2 1
所以 .
2ab 2
又因为0 C 0 ，所以 C 60 ，故 C 正确.
对选项 C，因为c b a，所以C为最小角，
cosC 49 48 13 3 ，又因为0 C 0 ，所以C 30 ，故 C 正确.
2 7 4 3 2
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
a b
3 3对选项 D，因为 ，所以
sin A sin B sin B 1
，
5
故 ABC 不存在，D 错误.
故选：ABC
10．袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 3 个白球、2 个黑球，从中不放回地依次随机
摸出 2 个球，则（ ）
A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B．“都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立
【答案】BC
【解析】对 A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，
故 A 错误；
对 B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，且不是对立事件，故为互斥事件，
故 B 正确；
对 C，“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故 C 正确；
对 D，事件A “第一次摸到的是白球”的概率 P A
3
5 ，
事件 B “第二次摸到的是黑球” P B 3 2 2 1 2的概率 5 4 5 4 5 ，
P AB 3 2 3又 ，因为P AB P A P B 5 4 10 ，
故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球” 不相互独立，故 D 错误；
故选：BC
11．设 a，b是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若 a b a b ，则存在实数 0，使得a b .
B．若a b，则 a b a b .
C．若 a b a b ，则 a，b 反向.
D．若a∥b，则 a，b一定同向
【答案】ACD
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
【解析】对于选项 A：当 a b a b ，由向量加法的意义知 a，b 方向相反且 a b ，
则存在实数 0，使得a b，故选项 A 错误；
对于选项 B：当a b，则以 a，b为邻边的平行四边形为矩形，
且 a b 和 a b 是这个矩形的两条对角线长，则 a b a b ，故选项 B 正确；
对于选项 C：当 a b a b ，由向量加法的意义知 a，b 方向相同，故选项 C 错误；
对于选项 D：当a∥b时，则 a，b同向或反向，故选项 D 错误；
综上所述：选项 ACD 错误，故选：ACD.
12．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4,BC BB1 2 , E,F 分别为棱 AB,A1D1的中点，
则下列说法中正确的有（ ）
A. DB1⊥CE
B. 直线CF与 A1B为相交直线
C. 若 P 是棱 C1D1上一点，且 D1P=1，则 E、C、P、F四点共面
D. 平面 CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形
【解析】由题意，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，因为 BB1 平面 ABCD，
所以DB1在平面 ABCD内射影为DB，
在长方形 ABCD中，因为 AB 4,BC 2，可得 BC与CE不垂直，
结合三垂线定理可得DB1与CE不垂直，所以 A 错误；
因为 A1F / /BC且 AF BC，可得四边形CFA1B为梯形，
所以CF与 BA1必相交，所以 B 正确；
点 P是棱C1D1上一点，且D1P 1，取C1D1的中点M ，连接
A1M ,MC,PF ，
因为F ,P分别是 A1D1和D1C1的中点，所以 PF / /A1M ，
由四边形 A1MCE为平行四边形，所以PF / /CE，所以E,C,P,F四点共面，所以 C 正确；
由选项 C 可知， PF ,PC,CE为截面的边，截面又与平面 ABB1A1及 ADD1A1相交，
可得截面的两条边，所以截面共有五边形，所以 D 错误.
故选：BC.
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分
13．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是 0.8，乙解决这个问题的概率
是 0.6，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是______．
0.92/ 23【答案】 25
【解析】由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2 0.4 0.08．
那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是 1-0.08=0.92.
故答案为：0.92
14．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体
ABCD A1B1C1D1 中“邪解”得到一堑堵 ABCDC1B1 ，E为C1D 的中点，则异面直线 AB1与 BE 所成的角
为______.
【答案】90°
【解析】因为在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB1∥DC1，
所以异面直线 AB1与 BE 所成的角等于DC1与 BE 所成的角，
又因为 BDC1为正三角形，且 E 为DC1的中点，
所以 BE DC1，即DC1与 BE 所成的角为90 ，异面直线 AB1与 BE 所成的角为90 .
故答案为：90 .
15．已知△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC
的面积为________.
解析：∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos A 1 π 1＝ ，∴A＝ ，又 bc＝4，∴△ABC的面积为 bcsin A＝ 3
2 3 2
答案： 3
16．在边长为 1的正方形 ABCD中，E，F分别为 BC，DC →的中点，则AE·A→F＝________.
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
→ 1→ → 1→
A→E A→B 1A→D A→F A→D 1A→B → → → →
AB＋ AD AD＋ AB
解析：因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，AD·AB＝0，所以AE·AF＝ 2 · 2
2 2
1
＝ A→B2 1A→＋ D2＝1.
2 2
答案：1
四．解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 a
．已知向量 2, 1 ,b 1,2 ,c 3, 4 ，求：
（1）若 e
1，且 e
a ∥ ，求 e 的坐标；
（2）若 c ma nb﹐求m n；
（3）若
ka b ∥c ，求 k 的值．
【答案】（1） e
2 5
,
5 2 5 5
5 5 或
e , 5 5 ；（2）1；（3） k 2
【解析】（1）设 e x0 , y0 ，
e 1 e a a
由 ，且 ∥ ， 2, 1
2 5 2 5
x2 y2 1 x0 x 0 0 0得 x 2y ，解得
5 5
或
0 0 y 5 5 0
y0 5 5
e 2 5 5
, 或 e
2 5
, 5
5 5 5 5
（2） a 2, 1 ,b 1, 2 ,c 3, 4 ， c ma nb
3, 4 m 2, 1 n 1,2
2m n 3 m 2
m 2n 4
，解得
n 1
m n 1
（3）由已知 ka
b k 2, 1 1, 2 2k 1, k 2 ，
ka b c r又 ∥ ， c 3, 4
2k 1 4 k 2 3，解得 k 2
18．某城市 100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，
[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
(1)求直方图中 x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取 11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
[解] (1)依题意，20×(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)＝1，
解得 x＝0.007 5.
∴直方图中 x的值为 0.007 5.
(2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)，
220＋240
∴众数为 ＝230.
2
∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45，∴依题意，设中位数为 y，
∴0.45＋(y－220)×0.012 5＝0.5.
解得 y＝224，∴中位数为 224.
(3) 0.012 5月平均用电量在[220,240)的用户在四组用户中所占比例为
0.012 5＋0.007 5＋0.005＋0.002 5
5
＝ ，
11
∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 11 5× ＝5(户)．.
11
19．已知函数 f (x) cos 2x π
2sinxcosx .
6
(1)求 f (x)的单调递减区间。
C 1
(2)在△ ABC中,若 AB 4, f ( ) ,求△ ABC的外接圆的面积.
2 2
答案略.
20．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面 ABCD,BC∥平面PAD,BC
1
AD， ABC 90 2 ，
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E 是 PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面 PAB 平面 PAD；
（3）若 M 是线段CE上任意一点，试判断线段 AD上是否存在点 N，使得MN∥平面PAB？请
说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当N 为 AD中点时，MN∥平面PAB .
【解析】（1） BC∥平面 PAD, BC 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD AD ,
所以BC∥AD .
（2）因为平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD AD， BA AD，
所以 BA 平面 PAD，又因为 BA 平面PAB，
所以平面 PAB 平面 PAD .
（3）取 AD的中点N ，连接CN ,EN ，
E,N 分别为PD, AD的中点，所以EN∥PA，
EN 平面PAB， PA 平面PAB，所以EN∥平面 PAB，
BC 1又因为 AD，BC∥AD2 ，
所以四边形 ABCN 为平行四边形，
所以CN∥AB，CN 平面 PAB， AB 平面 PAB，
所以CN 平面 PAB，CN NE，
所以平面CNE 平面 PAB，
又因为MN 平面CNE ，所以MN∥平面PAB .
线段 AD上存在点 N，使得MN∥平面 PAB .
21．已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，
则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该
{#{QQABKYaEggCIAAIAAABCAwUACkOQkgGCAAgGwEAcoEAAiRNABCA=}#}
高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参
1 1
加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是 ， 13 2 ， 4 ，面试
1 2
合格的概率分别是 12 ， 3， 3 ．
（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
1 1 2 5 3 91【答案】（ ） 6；（ ）18；（ ） 216 ．
1 1 1
【解析】（1）设事件A 表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，则 P A 3 2 6 ；
2 1 1 1（ ）设事件 B表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，则 P B 2 3 6 ，
则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
P P AB AB P A P B P A P B 1 1 1 1 1 5 1 6 6 6 ； 6 18
1 2 1
（3）设事件C表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则 P C 4 3 6 ，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件
是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
P 1 P ABC 1 1 1 1 1 91 1 6 6 1 ． 6 216
22．如图，在三棱锥 A BCD中，AB，BC，CD两两互相垂直，M ，N 分别是 AD，BC的中点.
（1）证明：MN BC；
（2）设BC
π
2， AD 2 5 ，MN和平面BCD所成角的大小为 ，求二面角 A CD B6 的大小.
π
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 .
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【解析】（1）取 BD的中点 P，连接MP ， NP .
因为M ，N 分别是 AD，BC的中点.
所以MP//AB， NP//CD
又因为 AB BC，BC CD
所以BC MP，BC NP，
又 MP NP P， BC 平面MNP .
又MN 平面MNP，所以MN BC .
（2）因为 AB CD，BC CD， AB BC B，所以CD 平面 ABC，
所以 ACB为二面角 A CD B的平面角，
又因为 AB BC， AB CD，所以 AB 平面BCD， AB BD .
BM 1连接 BM ，则 AD 52
在Rt△MNB中MN BM 2 BN 2 5 1 2，
因为MP //AB ，所以MP 平面BCD .
π
故 MNP是MN和平面BCD所成的角，即 MNP ，且MP 16 ，
在Rt△ABC
π
中， AB 2MP 2，BC 2，所以 ACB 4 ，
π
故所求二面角 A CD B的大小为 .4
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