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人教版八年级上册数学进阶课堂小测——12.2SAS判定全等三角形（三阶）
数学考试
考试时间：30分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021八上·忠县期末）如图，在 中，已知 于点 ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ， .则下列结论：① ；② ；③点 是 的中点；④ ；⑤ 为等边三角形.其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020八上·垦利期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023七下·渠县月考）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后，测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
4．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
5．（2022八上·义乌月考）如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
6．（2022七下·沈河期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的大小关系不确定
7．（2021八上·庐阳期末）如图，在与中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．在以下判断中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
10．（2022八上·西城期末）如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．
（1）图中与相等的线段是 ；
（2）当取最小值时 °
11．（2022八上·仪征月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
12．（2021八上·密山期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.当∠A=40°时，则∠DEF的度数为 ．
13．（2021八上·贵池期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2020八上·赣州期末）（问题背景）
在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．
（初步探索）
小晨同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，则可得到 、 、 之间的数量关系是 ．
（探索延伸）
在四边形 中如图2， ， ， 、 分别是 、 上的点， ，上述结论是否仍然成立？说明理由．
（结论运用）
如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西30°的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角（ ）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，
∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由同角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，据此判断③⑤.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】在 中， ， ， ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，故①符合题意；
在 中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③符合题意；
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②符合题意；
则 ，
若 时，
则 ，
∵ ，
∴ ，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：C．
【分析】利用“边角边”证明△CDF≌△EBC，即可判断①正确；同理求出△CDF≌△EAF，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△CEF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确，若CE//DF，则点C、F、A三点共线，故④不符合题意，即可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴a∥b，故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，且∠3＝∠4 ，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1＝∠2=∠3＝∠4=90°，
∴a∥b，故B不符合题意；
C、∠1=∠2不能证明a∥b，故C符合题意；
D、在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可对A作出判断；利用邻补角的定义，可得到∠1＝∠2=∠3＝∠4，利用内错角相等，两直线平行，可对B作出判断；利用平行线的判定定理，可对C作出判断；利用SAS证明△AOC≌△BOD，利用全等三角形的对应角相等，可知∠CAO=∠DBO，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得a∥b，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：D．
【分析】对图形进行字母标注，利用方格纸的特点可以利用SAS判断出△ABC≌△EDF，根据全等三角形的对应角相等得∠1＝∠ABC，进而结合邻补角的定义及等量代换即可得出∠1+∠2＝180°.
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB AD=AB AE=BE，BC CD=BC CE，
∵在△BCE中，BE>BC CE，
∴AB AD>CB CD．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE．故本选项不符合题意；
B、∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故本选项不符合题意；
C、∵∠ADE=∠DAC+∠DCA=45°，∠DBC+∠ACD=45°，
∴∠DAC=∠DBC， 故本选项不符合题意；
D、∵AB+AE＞BE，
∴AC+AD＞BE， 故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故答案为：C．
【分析】在AB上截取BE＝BC，连接DE，根据三角形全等的判定，利用SAS证出△CBD≌△EBD，可得出∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，推出AD＝AE，再根据三角形周长公式计算即可。
9．【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
10．【答案】（1）EC
（2）95
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1），
∴，
∵于点D，于点C，
∴， ，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点，
∵
∴，
∴
故答案为：95．
【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）当和共线时，和最小，此时与交于点，再求出，最后利用角的运算求出即可。
11．【答案】58°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°.
故答案为：58°.
【分析】由已知条件可知AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，结合角的和差关系可得∠1＝∠EAC，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得到∠2＝∠ABD＝30°，由外角的性质可得∠3＝∠1+∠ABD，据此计算.
12．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形.
∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，
又△BDE≌△CEF，则∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=，
∴∠DEF=70°．
故答案为70°．
【分析】先利用“SAS”证明△BDE≌△CEF可得DE=EF，证出△DEF是等腰三角形，再结合∠BDE=∠CEF，可得∠DEF=∠B，最后利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
13．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】在和中，，
，
，
，则结论①符合题意；
∴，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得：，
又，
，则结论④符合题意；
假设，
在和中，，
，
，即AF是的角平分线，
∵AF不一定是的角平分线，
∴假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】利用“SAS”证明三角形全等及全等三角形的性质逐项判断即可。
14．【答案】 ；解：[探索延伸]：结论仍然成立 证明：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； [结论运用]：解：如图3，连接 ，延长 、 交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 成立，即 海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：[初步探索]：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故答案为： ；
【分析】根据图形及全等三角形的判定方法和性质进行求解即可。
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考试时间：30分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021八上·忠县期末）如图，在 中，已知 于点 ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ， .则下列结论：① ；② ；③点 是 的中点；④ ；⑤ 为等边三角形.其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AC∥EF，
∴∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，
又∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠EAD=∠AEF，
∴AG=GE，
又∵GF=GD，∠AGF=∠EGD，
∴△AGF≌△EGD（SAS），
∴∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，故①正确；
∴∠EFB=∠AFE=90°
∵AC∥EF，
∴∠BAC=∠EFB=90°，故②正确；
∵∠AEG+∠EAG=∠AGF，
∴2∠AEF=∠AGF，
∵∠AGF+∠GAF=90°，∠GAF+∠B=90°，
∴2∠AEF=∠AGF=∠B，故④正确；
根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，
故无法证明三角形AEB是等边三角形，故③⑤错误；
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠ADB=90°，由平行线的性质可得∠ACE=∠FEB，∠CAE=∠AEF，由角平分线的概念可得∠CAE=∠EAD，进而推出AG=GE，证明△AGF≌△EGD，得到∠AFG=∠EDG=90°，ED=AF，∠C=∠GED=∠GAF，据此判断①；由平行线的性质可得∠BAC=∠EFB=90°，据此判断②；由外角的性质可得∠AEG+∠EAG=∠AGF，则2∠AEF=∠AGF，由同角的余角相等可得∠AGF=∠B，据此判断④；根据现有条件无法证明E是BC的中点，即无法证明CE=AE=EB，据此判断③⑤.
2．（2020八上·垦利期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（ ）
①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】在 中， ， ， ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，故①符合题意；
在 中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③符合题意；
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②符合题意；
则 ，
若 时，
则 ，
∵ ，
∴ ，
则C、F、A三点共线
已知中没有给出C、F、A三点共线，故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③．
故答案为：C．
【分析】利用“边角边”证明△CDF≌△EBC，即可判断①正确；同理求出△CDF≌△EAF，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△CEF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确，若CE//DF，则点C、F、A三点共线，故④不符合题意，即可得到答案。
3．（2023七下·渠县月考）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后，测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴a∥b，故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，且∠3＝∠4 ，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1＝∠2=∠3＝∠4=90°，
∴a∥b，故B不符合题意；
C、∠1=∠2不能证明a∥b，故C符合题意；
D、在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可对A作出判断；利用邻补角的定义，可得到∠1＝∠2=∠3＝∠4，利用内错角相等，两直线平行，可对B作出判断；利用平行线的判定定理，可对C作出判断；利用SAS证明△AOC≌△BOD，利用全等三角形的对应角相等，可知∠CAO=∠DBO，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得a∥b，可对D作出判断.
4．（2022八上·阳江期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
5．（2022八上·义乌月考）如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠1＝∠ABC．
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故答案为：D．
【分析】对图形进行字母标注，利用方格纸的特点可以利用SAS判断出△ABC≌△EDF，根据全等三角形的对应角相等得∠1＝∠ABC，进而结合邻补角的定义及等量代换即可得出∠1+∠2＝180°.
6．（2022七下·沈河期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB AD=AB AE=BE，BC CD=BC CE，
∵在△BCE中，BE>BC CE，
∴AB AD>CB CD．
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
7．（2021八上·庐阳期末）如图，在与中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．在以下判断中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE．故本选项不符合题意；
B、∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故本选项不符合题意；
C、∵∠ADE=∠DAC+∠DCA=45°，∠DBC+∠ACD=45°，
∴∠DAC=∠DBC， 故本选项不符合题意；
D、∵AB+AE＞BE，
∴AC+AD＞BE， 故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
8．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，
∵∠C＝2∠CDB，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，
故答案为：C．
【分析】在AB上截取BE＝BC，连接DE，根据三角形全等的判定，利用SAS证出△CBD≌△EBD，可得出∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，推出AD＝AE，再根据三角形周长公式计算即可。
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
10．（2022八上·西城期末）如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．
（1）图中与相等的线段是 ；
（2）当取最小值时 °
【答案】（1）EC
（2）95
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1），
∴，
∵于点D，于点C，
∴， ，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点，
∵
∴，
∴
故答案为：95．
【分析】（1）先利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）当和共线时，和最小，此时与交于点，再求出，最后利用角的运算求出即可。
11．（2022八上·仪征月考）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
【答案】58°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°.
故答案为：58°.
【分析】由已知条件可知AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，结合角的和差关系可得∠1＝∠EAC，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得到∠2＝∠ABD＝30°，由外角的性质可得∠3＝∠1+∠ABD，据此计算.
12．（2021八上·密山期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE.当∠A=40°时，则∠DEF的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形.
∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，
又△BDE≌△CEF，则∠BDE=∠CEF，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=，
∴∠DEF=70°．
故答案为70°．
【分析】先利用“SAS”证明△BDE≌△CEF可得DE=EF，证出△DEF是等腰三角形，再结合∠BDE=∠CEF，可得∠DEF=∠B，最后利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
13．（2021八上·贵池期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】在和中，，
，
，
，则结论①符合题意；
∴，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得：，
又，
，则结论④符合题意；
假设，
在和中，，
，
，即AF是的角平分线，
∵AF不一定是的角平分线，
∴假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】利用“SAS”证明三角形全等及全等三角形的性质逐项判断即可。
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2020八上·赣州期末）（问题背景）
在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．
（初步探索）
小晨同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，则可得到 、 、 之间的数量关系是 ．
（探索延伸）
在四边形 中如图2， ， ， 、 分别是 、 上的点， ，上述结论是否仍然成立？说明理由．
（结论运用）
如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西30°的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角（ ）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】 ；解：[探索延伸]：结论仍然成立 证明：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； [结论运用]：解：如图3，连接 ，延长 、 交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 成立，即 海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：[初步探索]：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故答案为： ；
【分析】根据图形及全等三角形的判定方法和性质进行求解即可。
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