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第二章 2.3 2.3.2
一、选择题
1．若|a|＝3，|b|＝，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝( )
A．3 B．
C．21 D．
[答案] D
[解析] ∵|a|＝3，|b|＝，a与b的夹角为，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝9＋2×3××cos＋3
＝9＋2×3××＋3＝21，
∴|a＋b|＝.
2．(2014·安徽宿州朱仙庄煤矿 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高一月考)向量a、b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为( )21·cn·jy·com
A．45° B．60°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] ∵(a＋b)⊥(2a－b)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝0，
∴2a2＋a·b－b2＝0.
∴2×1＋1××cos〈a，b〉－2＝0，
∴cos〈a，b〉＝0，
∴〈a，b〉＝90°.
3．设a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于( )
A．1 B．2
C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故选D.
4．已知两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
[答案] B
[解析] 本题考查向量的运算．
由题意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b2，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
5．下列各式中正确命题的个数为( )
①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；
②|a·b|＝|a|·|b|；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①、③正确，②、④错误．
6．已知非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b||a|，则a＋b与a－b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] B
[解析] 将|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，
将|a－b|＝|a|两边平方得，|b|2＝|a|2，
∴cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝，
∴〈a＋b，a－b〉＝60°.
二、填空题
7．已知单位向量e1、e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________.
[答案]
[解析] ∵|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，
∴e1·e2＝|e1||e2|·cos60°＝.
∴|2e1－e2|＝
＝＝＝.
8．已知两个单位向量e1、e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.
[答案] 0
[解析] ∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，
∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2
＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－)＝0.
三、解答题
9．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值．21教育网
[解析] a·b＝|a||b|cos60°＝1.
因为c⊥d，所以c·d＝0，即(2a ( http: / / www.21cnjy.com )－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10.21cnjy.com
一、选择题
1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )www.21-cn-jy.com
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由(－)·(＋－2)＝0
得·(＋)＝0
又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0
即||2－||2＝0
∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是( )
A．30° B．45°
C．90° D．135°
[答案] B
[解析] ∵a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，
∴cos
＝＝＝，
∴＝45°.
3．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a的值为( )
A．7 B．
C．－7 D．－
[答案] D
[解析] ∵(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋4＋2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
4．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k等于( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] (2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2＝0.
∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.
二、填空题
5．已知点O是△ABC内的一点，且·＝·＝·，则点O是△ABC的________．(填：外心、内心、重直、重心)21世纪教育网版权所有
[答案] 垂心
[解析] ∵·＝·，∴·(－)＝0，即·＝0，∴⊥.
同理：·＝0，·＝0，∴O为△ABC的垂心．
6．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)
[答案] ②
[解析] ①a·b＝a·c时，a·(b－c)＝0，
∴a⊥(b－c)不一定有b＝c，∴①错．
②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②对．
也可以由a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb，
即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)，
∴，∴k＝－3.
③非零向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则三向量a、b、a－b构成正三角形如图．
由向量加法的平行四边形法则知，a＋b平分∠BAC，
∴a＋b与a夹角为30°，③错．
三、解答题
7．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝a＋2b，d＝ma－6b(m∈R)．
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)若c∥d，求|c＋d|.
[解析] (1)∵c⊥b，∴c·d＝0，
∴(a＋2b)·(ma－6b)
＝ma2＋2ma·b－6a·b－12b2
＝9m＋2m×3×2×cos60°－6×3×2×cos60°－12×4
＝15m－66＝0，
∴m＝
∴当m＝时，c与d垂直．
(2)∵c∥d，∴存在惟一实数λ使得c＝λd，
即a＋2b＝λ(ma－6b)，
∴，解得.
∴d＝－3a－6b，∴c＋d＝－2a－4b，
∴|c＋d|2＝|－2a－4b|2＝|2a＋4b|2＝4a2＋16a·b＋16b2
＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148，
∴|c＋d|＝2.
8．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a、b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
[解析] (1)当＝0°时，a·b＝，当＝180°时，a·b＝－.
(2)|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝.
(3)由(a－b)·a＝0得a2＝a·b，
cos＝＝，＝45°.
9．设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝－(2e1＋e2)，b＝e1－λe2.
(1)若a∥b，求λ的值；
(2)若a⊥b，求λ的值．
[解析] (1)∵a∥b，∴存在惟一实数k，使得a＝kb，
∴－(2e1＋e2)＝k(e1－λe1)，
即－2e1－e2＝ke1－kλe2，
∴，解得λ＝－.
(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0.
∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0，
∴－2＋λ＝0，∴λ＝2.
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平面向量
第二章
2.3 平面向量的数量积
第二章
2.3.2 向量数量积的运算律
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
平面向量数量积的运算律
1．a·b＝__________(交换律)；
2．(λa)·b＝________________(结合律)；
3．(a＋b)·c＝____________(分配律)．
b·a
λ(a·b)＝a(λb)
a·c＋b·c
[答案] C
[答案] C
[答案] A
[解析] |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b＝10，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.
[答案] 3
[答案] 120°
6．已知m、n是夹角为60°的两个单位向量，求a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．
课堂典例讲练
[分析] 利用公式|a|2＝a·a.
[解析] 由|a＋b|2＝(a＋b)2，
可得a2＋2a·b＋b2＝576，
∴169＋2a·b＋361＝576，
∴2a·b＝46.
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361＝484，
∴|a－b|＝22.
数量积的基本运算
已知|a|＝4，|b|＝5，且向量a与b的夹角为60°，则(2a＋3b)·(3a－2b)＝________.
[答案] －4
向量的夹角
[分析] 可利用c⊥d c·d＝0构造方程求m.
向量的垂直
[答案] B
易错疑难辨析
[辨析] 若a与b夹角为钝角，有a·b<0，但a·b<0时，包括a与b夹角为180°，故若a与b夹角为钝角，有a·b<0且扣除a与b夹角为180°时，t的取值．
思想方法技巧
课后强化作业
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第二章 2.2 2.2.2
一、选择题
1．(2014·广东文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[答案] B
[解析] ∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．
2．若向量＝(2,3)、＝(4,7)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
[答案] A
[解析] ＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
3．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝( )
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
[答案] A
[解析] 2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)
4．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是( )
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
[答案] D
[解析] ∵＝(5，－3)，∴＝2＝(10，－6)，
设D(x，y)，又C(－1,3)，
∴＝(x＋1，y－3)，
∴，∴.
5．已知△ABC中，点A(－2,3)、点B(－3，－5)，重心M(1，－2)，则点C的坐标为( )
A．(－4,8) B．
C．(8，－4) D．(7，－2)
[答案] C
[解析] 设点C的坐标为(x，y)，
由重心坐标公式，得，
解得.
6．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正 ( http: / / www.21cnjy.com )方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( )21cnjy.com
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，
∴点A位于第四象限．
二、填空题
7．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－ ( http: / / www.21cnjy.com )1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5)
[解析] ∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2×(1,2)＝(2,4)，＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
[答案] (－3，－5)
[解析] ＝＝－＝(－1，－1)．∴＝－＝(－3，－5)．
三、解答题
9．(1)设向量a、b的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐标；
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐标．
[解析] (1)a＋b＝(－1,2)＋(3， ( http: / / www.21cnjy.com )－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．21世纪教育网版权所有
(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3＋2＋0，－9－4＋5)
＝(5，－8)．
一、选择题
1．已知a＝(5，－2)、b＝(－4，－3)、c＝(x，y)，且2a＋b－3c＝0，则c等于( )
A．(－2，) B．(2，)
C．(2，－) D．(－2，－)
[答案] C
[解析] 2a＋b－3c＝(10，－4)＋(－4，－3)－(3x,3y)＝(6－3x，－7－3y)，
∴，∴.
2．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] ＝(3，－4)，∴与同向的单位向量为，即选A.
3．原点O为正六边形ABCDEF的中心，＝(－1，－)、＝(1，－)，则等于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(0，)
[答案] A
[解析] OABC为平行四边形，∴＝－＝(2,0)．
4．已知向量a＝(1,2)、b＝(2,3)、c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1、λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
[答案] D
[解析] ∵c＝λ1a＋λ2b
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)
＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)
∴，∴.故选D.
二、填空题
5．设点A(2,0)、B(4,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
[答案] (3,1)或(1，－1)
[解析] ∵点P在直线AB上，且||＝2||，
当点P在线段AB上时，P为线段AB的中点，
∴P(，)，即P(3,1)．
当点P在线段BA的延长线上时，
＝－2，设P(x，y)，
∴－2＝(4－2x，－2y)，
∴，∴.∴P(1，－1)．
6．(2014·安徽合肥市撮镇 ( http: / / www.21cnjy.com )中学高一月考)设a＝(－1,2)、b＝(1，－1)、c＝(3，－2)，用a、b作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p、q的值为________．
[答案] p＝1、q＝4
[解析] c＝pa＋qb＝(－p＋q,2p－q)＝(3，－2)，
∴，解得.
三、解答题
7．已知△ABC的两个顶点A(3,7)和B(－2,5)，求C点坐标，使AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上．21教育网
[解析] 设C点坐标为(x，y)，根据中点坐标公式，可得AC的中点坐标.
又∵AC的中点在x轴上，∴＝0，
∴y＝－7，
同理可得BC中点为.
∵BC的中点在y轴上，
∴＝0，∴x＝2，∴C(2，－7)．
8．若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求向量a、b的坐标．
[解析] 设a＝(m，n)，b＝(p，q)，
则有，
解得或.
故a＝(，)、b＝(，－)或a＝(，－)、b＝(，)．
9．已知直线上三点P1、P、P2满足||＝||，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的坐标．21·cn·jy·com
[解析] ∵||＝||，
∴＝或＝－，
设P(x，y)，则(x－2，y＋1)＝±(－1－x,3－y)，
即，或.
解得，或.
故点P的坐标为(，)或(8，－9)．
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第二章 2.1 2.1.3
一、选择题
1．(2014·山东济宁鱼台二中高一月考)设e1、e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A．e1＝e2 B．e1∥e2
C．e1＝－e2 D．|e1|＝|e2|
[答案] D
[解析] 两个单位向量的模相等，故选D.
2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
[答案] B
[解析] ＝＋＝－，故选B.
3．下列各式中不能化简为的是( )
A．＋(＋) B．(＋)＋(－)
C．－＋ D．＋－
[答案] D
[解析] A中＋＋＝＋＝，
B中＋＋－＝－＝，
C中－＋＝，
故选D.
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，用a、b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
[答案] B
[解析] 解法一：＝＋
＝－＋(－2)
＝－－＝－a－b.
解法二：∵b＋＝＝－a，
∴＝－a－b.
5．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
[答案] C
[解析] A显然正确，由平行四边形法则知B正确.－＝，∴C错误．D中＋＝＋＝0.
6．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有( )
A．＝0 B．＝0或＝0
C．四边形ABCD是矩形 D．四边形ABCD是正方形
[答案] C
[解析] ∵＋＝，－＝，
∴在平行四边形中，|＋|＝|－|，
即||＝||，∴ABCD是矩形．
二、填空题
7．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，|c－a－b|＝________.
[答案] 0
[解析] 如图，
|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝|c－c|＝|0|＝0.
8．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ①②③④
[解析] 若＋＝，则
＝－，故①正确；
若＋＝，则－＝＋＝，故②正确；
若＋＝，则－＝，故③正确；
若＋＝，则－－＝－，即＋＝，故④正确．
三、解答题
9．化简：
(1)－＋－；
(2)－＋；
(3)－－.
[解析] (1)－＋－＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
(2)－＋＝＋(＋)
＝＋＝0.
(3)－－＝－(＋)
＝－＝.
一、选择题
1．设a、b为非零向量，且满足|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b的关系是( )
A．共线 B．垂直
C．同向 D．反向
[答案] D
[解析] 设a、b的起点为O，终点分别为A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B，则a－b＝，由|a－b|＝|a|＋|b|，故O、A、B共线，且O在AB之间．故与反向，所以选D.21世纪教育网版权所有
2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
[答案] D
[解析] 在正六边形ABCDEF中，＝，
∴＋＋＝＋＋＝.
二、填空题
3．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：
①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ①②④
[解析] 非零向量a、b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．
4．已知||＝||＝，且∠AOB＝120°，则|＋|＝________.
[答案]
[解析] 以，为邻边作 OACB，
∵||＝||，∴ OACB为菱形，
∴|＋|＝||，
∵∠AOB＝120°，∴△OAC为正三角形，∴||＝.
三、解答题
5．已知两个非零不共线的向量a、b，试用几何法和代数法分别求出(a＋b)＋(a－b)＋(－a)．
[解析] 代数法．(a＋b)＋(a－b)＋(－a)＝(a＋a－a)＋(b－b)＝a.
几何法．如图，作 ABCD与 BECD，
使＝a，＝b，
则＝a＋b，＝＝－＝a－b，
＝－＝－＝－a.
∴(a＋b)＋(a－b)＋(－a)＝＋＋＝＝a.
6．已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，M为斜边中点，设＝a，＝b，试用向量a、b表示、、、.21教育网
[解析] 如图所示，
＝－＝a－b，
＝＝a－b，
＝＋＝b＋2
＝b＋2a－2b＝2a－b，
＝－2＝－2(a－b)
＝2b－2a.
7．如图所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，求证：＋＝＋.
[解析] 由图可知＝＋，
＝＋，两式相加，
得＋＝＋＋＋.
又∵与的模相等，方向相反，故＋＝0.
∴＋＝＋.
8．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是3.464m/s，现在有风，如果雨滴以4m/s21cnjy.com
的速度着地，且这个速度的方向是偏西，求这时的风速．
[解析] 设风速为，无风时雨滴下落的速度是，雨滴着地速度为，
因为＋＝，所以＝－
在Rt△ABC中，
||＝＝≈2(m/s)，
所以这时的风速为2m/s，方向向西．
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第二章 2.4
一、选择题
1．△ABC中，＝c，＝a，且c·a<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
[答案] D
[解析] ∵c·a<0，∴∠B为锐角．
∴△ABC无法确定．
2．已知点A(2,1)、B(3,2)、C(－1,4)，则△ABC的面积为( )
A． B．3
C．3 D．6
[答案] B
[解析] 由＝(1,1)，＝(－3,3)，
得·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形，且∠A＝90°.
∴S△ABC＝||·||＝××3＝3.
3．已知△ABC的重心是G，CA的中点是M，且A、M、G三点分标分别是(6,6)、(7,4)、，则|BC|＝( )21教育网
A．4 B．
C． D．2
[答案] D
[解析] 由题意M是中点得C(8,2)
设B(x，y)则由G是△ABC的重心，
∴＝3
(7－x,4－y)＝3，
∴x＝2 y＝0，∴＝(6,2)，||＝2.
4．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
[答案] D
[解析] 由已知向量(1－m,1)与向量(－2，m)平行，
∴m(1－m)－1×(－2)＝0，
∴m＝－1或2，故选D.
5．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝( )
A．2 B．
C． D．
[答案] D
[解析] 设BD＝a，则BC＝a，作CE⊥BA交BA的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝＝.21世纪教育网版权所有
在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB＝a·＝，
∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝.
∴·＝||·||cos∠DAC＝AD·AC·＝.
6．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
[答案] B
[解析] 如图，＝v2，＝v1，
由图知：||>||，又||＝||，
∴||>||，即|v1|>|v2|.
二、填空题
7．已知平面内三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝________.21cnjy.com
[答案] －25
[解析] 由题设可知，△ABC为直角三角形，并且AB⊥BC，所以·＝0，
·＝－·＝－||||cosC＝－4×5×＝－16，
·＝－·＝－||||cosA＝－5×3×＝－9.
故·＋·＋·＝0－16－9＝－25.
8．点P在平面上作匀速直线运动，速度向 ( http: / / www.21cnjy.com )量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为______．21·cn·jy·com
[答案] (10，－5)
[解析] ，∴P(10，－5)．
三、解答题
9．已知A(－1,2)、B(0，－2)，且2||＝3||，若点D在线段AB上，求点D的坐标．
[解析] 设D(x，y)，由题意知，2||＝3||，
且点D在线段AB上，所以2＝3，
即2(x＋1，y－2)＝3(－x，－2－y)．
所以，解得.
故D点坐标为.
一、选择题
1．在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a、＝b，则下列向量中与同向的是( )
A． B．＋
C． D．－
[答案] A
[解析] ＝＋＝(a＋b)，而是与a＋b同方向的单位向量，故选A.
2．已知O为△ABC所在平面内一点，满足||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2，则点O是△ABC的( )www.21-cn-jy.com
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
[答案] C
[解析] 设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，
＝a－c，＝b－a.
由题可知|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，
化简可得c·b＝a·c，即(b－a)·c＝0.
即·＝0，故⊥，即OC⊥AB.
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC.故O是△ABC的垂心．
3．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，绳夹角为60°，则物体重量W为( )
A．5 N B．5 N
C．5 N D．10 N
[答案] B
[解析] W＝2|F1|·cos30°＝2×5×＝5 N.
4．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若(－)·(＋－2)＝0，则△ABC是( )2·1·c·n·j·y
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
[答案] B
[解析] 如图，D为△ABC边BC的中点，
(－)·(＋－2)＝·(＋)＝·2＝0，
∴BC⊥AD，
∴AB＝AC，故选B.
二、填空题
5．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
[答案] 1
[解析] 取BC的中点D，则＋＝2.且OD⊥BC，AH⊥BC，
由＝m(＋＋)，
可得＋＝m(＋2)，
∴＝(m－1)＋2m.
·＝(m－1)··＋2m··，
即0＝(m－1)··＋0，
故得到m＝1.
6．某重量为P的物体用绳子缚着， ( http: / / www.21cnjy.com )某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ＝，那么绳子与地面成________角时，拉力最小．
[答案] 30°
[解析] 如图，
由题设知，
∴|F|＝＝
＝＝，
∴θ＝30°时，|F|最小，|F|min＝.
三、解答题
7．某人在静水中游泳，速度为4km/h.
(1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为4km/h，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？
[解析] (1)如图甲所示，由于v实＝v水＋v人，
∴|v实|＝＝8(km/h)．
又tanθ＝＝＝，∴θ＝60°.
(2)如图乙所示，根据平行四边形法则及解直角三角形知识可得|v实|＝＝＝4(km/h)．
又tanθ＝＝＝，∴θ＝arctan.
答：(1)他实际沿水流方向成60°角的方向前进，大小为8km/h.
(2)他必须沿水流方向成90°＋arctan角的方向前进，大小为4km/h.
8．如图所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点．
求证：EF∥BC.
[解析] 设＝a，＝b，
∵∥，∴＝λ＝λb，即＝－＝b－a.
∵E为BD的中点，∴＝＝(b－a)．∵F为AC的中点，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)＝(－)＝(λb－a)．
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)＝b＝.
∴∥，即EF∥BC.
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
[解析] 设＝a、＝b、＝e、＝c、＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，由条件知：a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，即·＝0，
所以AD⊥BC.
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平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算
第二章
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？向量a与λa(λ为常数)共线吗？
基线互相平行或重合
a＝λb
a∥b(b≠0)
同方向且长度为1
4．轴上向量的坐标及其运算
(1)轴：规定了______和__________的直线叫做轴．轴与我们学过的数轴不同，在轴上确定了原点，则该轴就成了数轴．
(2)轴上的坐标：已知轴l，取单位向量e，使e与l的方向相同，对于轴上任意向量a，一定存在惟一实数，x使a＝_____；反过来，任意给定一个实数x，总能作出一个向量a＝xe，即实数与这条轴上的向量建立了___________关系，x叫做a在轴l上的______________．x的绝对值等于a的长，当a与e的方向相同时，________；当a与e的方向相反时________．
轴上向量坐标化，奠定了向量数量化的基础，轴上向量的运算可以转化为实数的运算．
方向
长度单位
xe
一一对应
坐标(或数量)
x>0
x<0
(x1＋x2)e
x2－x1
|x2－x1|
[答案] B
[解析] 由轴上向量坐标的定义
AB＝xB－xA＝3，BC＝xC－xB＝3.
∴选B.
[答案] C
[答案] C
[答案] －6
[答案] {3,13}
[解析] A、B、C共线时，只有两种可能，C在线段AB上或BA的延长线上．
课堂典例讲练
证明三点共线
[点评] 在解题过程中，利用了实数与向量的积以及它们满足的交换律，结合律，再根据两向量共线的充要条件，从而得证．
(1)已知e1、e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
(2)已知e1、e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
轴上向量的坐标运算
已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－3、－1、4求AB，BD，DA的坐标和长度．
共线向量定理的应用
[点评] 本题从正反两方面运用了向量共线的充要条件，即a与b共线 存在λ使b＝λa.
[答案] B
易错疑难辨析
[错解] ∵a＝－2e，b＝2e，∴b＝－a，∴a与b共线．
[辨析] 错解的原因是没有考虑到“e＝0”这种情况，原题已知中对向量e并无任何限制．
[正解] ①当e＝0时，则a＝－2e＝0，
∵“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，
此时a与b共线．
②当e≠0时，a＝－2e≠0，b＝2e≠0，
∴b＝－a(这时满足定理中的a≠0，有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b＝λa成立)，
∴a与b共线，
综合①②可知a与b共线．
思想方法技巧
课后强化作业
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第二章
当我们乘车外出时，在公路上会看到很多指路标志，通过路标我们可以知道关于目的地的两个有用信息是什么？
2.1 向量的线性运算
第二章
2.1.1 向量的概念
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要头脑和全身器官的整体协调，击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)．初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要．擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离重要”．方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若方向走错了，不仅白忙一场，更可能离成功越来越远．那么，你如何从数学的角度来揭示这个问题的本质呢？
1．向量的概念
我们把具有________和________的量称为向量．看一个量是否是向量，就要看它是否具备了________和________这两个要素．
大小
方向
大小
方向
2．向量的表示
几何表示．向量可以用____________表示，有向线段的_______表示向量的方向，线段的_______表示向量的长度．注意向量虽然可以用有向线段表示，但它与有向线段是有区别的，向量可以自由平行移动，故当用有向线段来表示向量时，规定有向线段的起点是任意的．
3．相等的向量
同向且等长的有向线段表示_________，或_________．如a＝b，就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同．
有向线段
方向
长度
同一向量
相等向量
长度
模
长度等于0的向量
共线
平行
a∥b
1．下列物理量：面积、力、加速度、电流、质量，其中是向量的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] 电流、力和加速度是向量，其它都是标量．
2．下列说法正确的个数是( )
①零向量的长度为0；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任一向量平行；
④长度相等的向量叫相等向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由零向量的概念知，①②③正确，④错误，相等向量是长度相等且方向相同，故选C.
[答案] C
[答案] 8
5．已知a、b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；④a与b都是单位向量．
由条件________一定可以得到a与b平行．
[答案] ②③
[解析] 长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥b.故填②③.
课堂典例讲练
相等向量与共线向量
[分析] 利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量．
[点评] (1)向量共线是指向量的基线互相平等或重合；
(2)共线向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a＝b，则a∥b；③若a∥b，则a＝b.
其中正确命题的序号是________．
[答案] ②
[解析] 在讨论向量共线的问题时，要考虑方向、长度、位置，尤其不能忘记对零向量的讨论．
对于①，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故①错误．
对于②，a＝b，则a与b同向，∴a∥b，故②正确．
对于③，|a|与|b|不一定相等，a与b的方向也不一定相同，故a＝b不一定成立，故③错误．
[点评] 应正确理解平行向量的概念，向量平行和直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况，而向量平行是可以重合的.
向量的作法及向量的模
[分析] 先作出表示东南西北的方位图及100km长度的线段，然后解答本题问题．
[点评] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小将向量画出．
飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？
易错疑难辨析
[辨析] 错解一中对零向量的认知不到位，忽略了零向量与任何向量共线．错解二中错因是非零向量共线传递的负迁移，是平行线传递性的负迁移．错解三的错因是对向量共线与线段共线在认知上的错位．
思想方法技巧
[点评] 证明两个向量相等，必须证明两个向量的模相等，同时两个向量方向也相同．
课后强化作业
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第二章
2．4 向量的应用
第二章
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40km/h时，他又感到风从西南方向吹来，那么实际的风向和风速是怎样呢？
直线的方向向量：________的向量以及与它________的向量都称为直线的方向向量．已知直线的方向向量，可以用向量平行的条件求出过一点与方向向量平行的直线方程．
直线的法向量：如果向量n与直线l________，则称向量n为直线l的法向量．已知法向量，可以由向量垂直的条件写出直线方程．
直线上
平行
垂直
对于直线Ax＋By＋C＝0，它的方向向量为v＝________，它的法向量为n＝________.
(1)若a＝(a1，a2)平行于直线l，则l的斜率k＝_______，
反之若直线l的斜率为k，则方向向量为________．
(2)过点P(x0，y0)与a＝(a1，a2)平行的直线方程，_________ ____________________.
(3)过点P(x0，y0)与a＝(a1，a2)垂直的直线方程为_____________________________．
(－B，A)
(A，B)
(1，k)
a2(x－x0)
a1(x－x0)＋a2(y－y0)＝0
－a1(y－y0)＝0
1．共点力F1＝(lg2，lg2)、F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg2 B．lg5
C．1 D．2
[答案] D
[解析] F1与F2的合力F＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2)，又s＝(2lg5,1)，∴W＝F·s＝2lg5＋2lg2＝2.
[答案] B
3．作用于原点的两个力F1＝(1,1)、F2＝(2,3)，为使它们平衡，需加F3＝________.
[答案] (－3，－4)
[解析] 由题意知，F1＋F2＋F3＝0，
∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4)．
5．已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．
求证：AC⊥BD.
课堂典例讲练
向量在平面几何中的应用
如图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
[点评] 在解决平面几何时多用选择基底的方法，也可以建立坐标系利用坐标运算.
[分析] 设出圆上任一点的坐标，利用向量关系建立关于x、y的等式．
平面向量在解析几何中的应用
[点评] 利用向量解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，写出向量的坐标，利用向量的坐标运算解决与平行、垂直、长度、夹角等有关的问题．
求通过点A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程．
[分析] 力和位移的数量积就是力做的功．
向量在物理中应用
[分析] 设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，则vb＝va－w.
易错疑难辨析
思想方法技巧
[点评] 当用代数方法求解比较烦琐问题时，可考虑用向量方法解题．构造向量，利用向量数量积的性质a·b≤|a||b|，当且仅当a＝λb(λ>0)时，等号成立，进而求解.
课后强化作业
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第二章 2.1 2.1.4
一、选择题
1．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
[答案] B
[解析] 原式＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b＝2b－a.
2．点C在线段AB上，且＝，若＝λ，则λ等于( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] C
[解析] ∵＝＝(＋)，
∴＝＝－，∴λ＝－，故选C.
3．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 解法一：∵A、D、B三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝.
解法二：∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
∴λ＝，故选A.
4．若O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] ∵＝4e1，＝6e2，
∴3e2－2e1＝－
＝(＋)＝＝，
故选B.
5．(2014·山东曲阜师范大学附属中学高一模块测试)在△ABC中，＝a，＝b，且＝，＝，则＝( )2·1·c·n·j·y
A．a＋b B．a＋b
C．－a－b D．－a－b
[答案] A
[解析] 如图所示，
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
6．(2014·山东济宁任城一中高 ( http: / / www.21cnjy.com )一期中测试)给出下列四个命题：①＋＝0；②＋＝；③－＝；④0·＝0.其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ＋＝0，故①正确；＋＝，故②正确；－＝，故③不正确；0·＝0，故④不正确，∴选B.21教育网
二、填空题
7．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
[答案] －
[解析] ∵＝，C在线段AB上，如图
，
∴设AC＝3，则CB＝2，∴AB＝5，
∴＝，＝－.
8．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
[答案]
[解析] 由已知得，∴.
三、解答题
9．已知：如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证：DE綊BC.
[解析] ∵D、E分别为AB、AC的中点，故
＝，＝.
＝－＝(－)＝.
∴DE綊BC.
一、选择题
1．已知向量a、b不共线，实数x、y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )www.21-cn-jy.com
A．3 B．－3
C．0 D．2
[答案] A
[解析] 由，解得，
∴x－y＝3，故选A.
2．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋ B．－－
C．－ D．＋
[答案] A
[解析] ∵D是AB的中点，∴＝，
∴＝＋＝－＋，故选A.
3．O是 ABCD所在平面内任一点，＝a、＝b、＝c，＝d，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a＋b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b＋c－d＝0
[答案] D
[解析] ∵a－d＝，c－b＝，
∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝＋＝0，
∴选D.
4．设λ、u∈R，a、b为向量，下面叙述不正确的是( )
A．λ(ua)＝(λu)a B．(λ＋u)a＝λa＋ua
C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．λa与a的方向相同(λ≠0)
[答案] D
[解析] ∵λ<0时，λa与a方向相反，
∴D不正确．
二、填空题
5．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
[答案] －
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，
又方向相反，∴a＝－b.
6．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________.21世纪教育网版权所有
[答案] 3e1－e2 e1＋3e2 e1＋8e2
[解析] ∵a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，
∴a＋b＝3e1－e2，
a－b＝e1＋3e2，
2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2
＝e1＋8e2.
三、解答题
7．已知G是△ABC内的一点，若＋＋＝0.求证：G是△ABC的重心．
[解析] 如图，∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)
以，为邻边作平行四边形BGCD，则
＝＋，∴＝－，
又∵在 BGCD中，BC交GD于E，
∴＝，＝，
∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||，
∴G为△ABC的重心．
8．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于E点，O是任意一点，如图所示．求证：＋＋＋＝4.21cnjy.com
[解析] 解法一：因为E为平行四边形两对角线的交点，所以2＝＋，2＝＋.
即4＝＋＋＋.
解法二：因为＝＋＝＋＝＋＝＋，而＋＝0，＋＝0，
所以4＝＋＋＋.
9．如图，在平行四边形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝2AB＝2，∠BAD＝60°，M、N分别是对角线BD、AC上的点，AC、BD相交于点O，已知BM＝BO，ON＝OC.设向量＝a，＝b.试用a、b表示.21·cn·jy·com
[解析] ＝－＝－(＋)
＝－－
＝(＋)－－(－)
＝(－1＋)＋(－)
＝－＋
＝－a＋b.
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成才之路 · 数学
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平面向量
第二章
2.3 平面向量的数量积
第二章
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
一个物体，在力f的作用下产生位移s，如图．如何计算这个力所做的功？力f在位移方向上的分力的数值是多少？
向量a与b的夹角
同向
反向
垂直
0
正射影
|a|·cosα
|a|
－|a|
3．向量的数量积(内积)
(1)_______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________.
(2)两向量的数量积不是向量而是________，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．
(3)向量数量积的几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的正射影的数量|b|cos的乘积，或看作是__________与____________________________________的乘积．
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|cos〈a，b〉
数量
b的长度|b|
a在b方向上的正射影的数量|a|cos〈a，b〉
4．向量数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________.
(2)a⊥b ________；
(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；
(4)cos＝_________(a≠0，b≠0)；
(5)|a·b|≤________.
|a|·cos〈a，e〉
a·b＝0
|a||b|
[答案] C
[解析] a·b＝|a|·|b|cos
＝2×1×cos60°＝1.
[答案] A
[答案] B
4．已知a·b＝12，且|b|＝5，则向量a在向量b的方向上的正射影的数量为________．
课堂典例讲练
向量在轴上的射影
[分析] 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．
[解析] a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量．
故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角的范围可知⑦不正确．
故选③⑤.
[答案] ③⑤
已知向量a、b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b与a上的投影是________．
[答案] 1
[分析] 已知|a|与|b|，只需确定其夹角θ，特别需注意a∥b时有θ＝0°和θ＝180°两种可能．
关于向量数量积的定义和应用
[解析] (1)当a∥b时，若a、b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10；
若a、b反向，则它们的夹角为180°.
所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10.
(2)当a⊥b时，夹角为90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.
(3)当a、b夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5.
[点评] (1)用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角；
(2)当a∥b时，要注意夹角为0°和180°两种情况．
若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.
易错疑难辨析
[正解] 如图所示，
思想方法技巧
[解析] (1)如图，向量－a与a互为相反向量，
所以向量－a，b的夹角为120°.
课后强化作业
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第二章 2.1 2.1.5
一、选择题
1．已知数轴上A点坐标为－5，AB＝－7，则B点坐标是( )
A．－2 B．2
C．12 D．－12
[答案] D
[解析] ∵xA＝－5，AB＝－7，
∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.
2．已知e1、e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8 B．－8
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
即3e1－4e2＝6me1＋mke2，
∴，即.
3．在四边形ABCD中，若＝－，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
[答案] B
[解析] ∵＝－，
∴AB∥CD，且AB>CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝( )
A．2－ B．－＋2
C．－ D．－＋
[答案] A
[解析] ∵2＋＝0，
∴2(－)＋(－)＝0，
∴＋－2＝0，∴＝2－.
5．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )
A．a＝±a|e| B．a＝|a|e
C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e
[答案] D
[解析] e与a同向时，a＝|a|e，e与a反向时，
a＝－|a|e，∴a＝±|a|e.
6．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、C B．A、B、D
C．B、C、D D．A、C、D
[答案] B
[解析] ∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴与共线，又∵与有公共点B，∴A、B、D三点共线．21cnjy.com
二、填空题
7．轴上三点A、B、C的坐标分别为1、－1、－5，则AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.21·cn·jy·com
[答案] －10 10
[解析] AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，
|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.
8．设数轴上A、B的坐标分别是2、6，则AB的中点C的坐标是________．
[答案] 4
[解析] ∵xA＝2，xB＝6.
∴AB中点C的坐标为xC＝＝＝4.
三、解答题
9．设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．www.21-cn-jy.com
[解析] ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，∴、共线，
又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
一、选择题
1．设a、b是不共线的向量，＝a＋kb，AC＝ma＋b(k、m∈R)，则当A、B、C三点共线时，有( )2·1·c·n·j·y
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
[答案] B
[解析] ∵A、B、C三点共线，
∴＝n，∴a＋kb＝mna＋nb，
∴，∴mk－1＝0.
2．若O为平行四边形ABCD对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则e2－e1等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 如图，3e2－2e1＝－＝－
＝＋＝＝2，
∴＝e1－e1，故选A.
3．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] ∵a、b不共线且c∥d，
∴＝，∴k＝－1，此时c＝－d，即c与d反向．
4．设四边形ABCD中，＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．矩形 B．正方形
C．等腰梯形 D．菱形
[答案] C
[解析] ∵四边形ABCD中，＝，
∴DC∥AB，且DC≠AB.
又∵||＝||，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
二、填空题
5．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.21世纪教育网版权所有
[答案] 或－2
[解析] ∵a∥b，
∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，
∴，
即3k2＋5k－2＝0，
∴k＝或－2.
6．已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且＝，＝，设＝a，＝b，则＝________.21教育网
[答案] －a＋b
[解析] 如图，
＝＋＋
＝－＋＋
＝－(b－a)－a＋b
＝－a＋b.
三、解答题
7．如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M、N、C三点共线．【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] 设＝e1，＝e2，则：
＝＋＝－e1＋e2，
＝＝－e1＋e2，
＝e1，＝＝e2，
＝＋＝e1＋e2，
＝＋＝e1－e1＋e2
＝e1＋e2＝.
故＝，故M、N、C三点共线．
8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位线，求证：EF∥AD∥BC且EF＝(AD＋BC)．www-2-1-cnjy-com
[解析] 在梯形ABCD中，由AD∥BC可知∥且≠0∴可设＝λ(λ∈R)．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴E、F分别是AB、CD的中点，
∴＋＝0，＋＝0.
∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＝＋λ，即＝(1＋λ).∴∥，
又EF与AD没有公共点，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC.
又由2＝(＋)及与同向，可得||＝|＋|＝(||＋||)，
∴EF＝(AD＋BC)．
综上可知，EF∥AD∥BC，且EF＝(AD＋BC)．
9．(2014·山东济宁鱼台二中高一月考)设a、b是不共线的两个非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．2-1-c-n-j-y
[解析] ∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即，解得或.故k＝±4.21·世纪*教育网
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第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．向量(＋)＋(＋)＋等于( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 原式＝＋＋＋＋＝＋0＝.
2．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
[答案] B
[解析] ∵a与b方向相反，且|a|<|b|时，a＋b与a的方向相反，a＋b与b的方向相同，故B不正确．21世纪教育网版权所有
3．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( )
A．a＝b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
[答案] C
[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则四边形是菱形，因此|a|＝|b|.21教育网
4．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是( )
A．＝＋ B．＋＝0
C．＋＋≠0 D．＋＋≠0
[答案] D
[解析] ＝＋，又≠，故排除A；＝，故＋≠0，排除B；＋＋＝0，排除C；故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
5．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.其中结果为零向量的个数为( )21·世纪*教育网
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ＋＋＝0，＋＋＋＝＋＋＋＝0，＋＋＋＝＋，故选C.
6．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 在四边形ABCD中，＝＋，
又＝＋，∴＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
二、填空题
7．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝________.
[答案]
[解析] ＋＋＝＋＝.
8．根据右图填空：
b＋c＝________；
a＋d＝________；
b＋c＋d＝________；
f＋e＝________；
e＋g＝________.
[答案] a f f b δ
[解析] 由向量加法的多边形法则可知．
三、解答题
9．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40N，方向向北，求它们的合力．21cnjy.com
[解析] 如图所示，表示F1，表示F2，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F.2·1·c·n·j·y
易知F＝80N，合力F与F1的夹角为60°.
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示( )
A．向东南航行km B．向东南航行2km
C．向东北航行km D．向东北航行2km
[答案] A
[解析] 如图所示，故选A.
2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列各式中不成立的是( )
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
[答案] C
[解析] 如图，
a＋b＝c，|a＋b|＝|c|，a＋d＝b，b＋d≠a，故选C.
3．已知正方形ABCD的边长为1，＝a、＝b、＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3
C． D．2
[答案] D
[解析] ∵＋＝，∴|a＋b＋c|＝|2c|，
∵|c|＝，∴|a＋b＋c|＝2，故选D.
4．下列命题中正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ①中a＋b有可能是0；
③中A、B、C共线时不成立；
④|a＋b|≤|a|＋|b|.只有②成立．
二、填空题
5．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
[答案] 3
[解析] 设以，为邻边的平行四边形为OADB，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OADB为矩形，
∴OD＝3.即|a＋b|＝3.
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，若||＝2，则|＋|＝________.
[答案] 2
[解析] |＋|＝|＋|＝||＝2.
三、解答题
7．如图所示，在△ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证＋＋＝0.
[解析] 解法一：＝＋，＝＋，＝＋.
又∵P、Q、R分别为BC、CA、AB的中点，
∴＝，＝，＝，
∴＋＋＝(＋＋)＋＋＋＝(＋＋)＝0.
解法二：＝(＋)，＝(＋)，＝(＋)，
∴＋＋＝(＋＋＋＋＋)＝0.
8．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )了40n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．www.21-cn-jy.com
[解析] 如右图，、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的和位移，＝＋.
在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，||＝40，
所以||＝20，||＝20.
在△ADC中，∠ADC＝90°，||＝60，
所以||＝
＝＝40(n mile)．
因为||＝2||，所以∠CAD＝60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40n mile的C处．
9．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N.求F1和F2的合力．21·cn·jy·com
[解析] 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，|F1|＝24，||＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°.∴||＝12.
∴F1与F2的合力为12N，与F2成 90°角竖直向上．
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第二章 2.3 2.3.3
一、选择题
1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b.
2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则·等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] ＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝1×(－3)＋1×3＝0.
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )21教育网
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
[答案] C
[解析] ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，
且||＝||＝.∴△ABC为等腰直角三角形．
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] A
[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，
由(λa＋b)⊥(a－2b)，
得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A． B．
C．5 D．25
[答案] C
[解析] ∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
6．(2014·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )21世纪教育网版权所有
A．－ B．0
C．3 D．
[答案] C
[解析] 本题考查了平面向量的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．21cnjy.com
二、填空题
7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．www.21-cn-jy.com
[答案]
[解析] b在a方向上的投影为|b|cos〈b，a〉＝＝＝.
8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[答案]
[解析] a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，
∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
三、解答题
9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．
[解析] ∵＝(3，－2)，＝(3，－2)，∴＝.
又＝(4,6)，∴·＝3×4－2×6＝0，
∴⊥.∵||＝＝，||＝＝2，∴||≠||，
故四边形ABCD是矩形．
一、选择题
1．(2014·山东文，7)已知向量a＝(1，)、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为，则实数m＝( )2·1·c·n·j·y
A．2 B．
C．0 D．－
[答案] B
[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积．
a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos
＝2××.解得，m＝.
2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
[答案] B
[解析] m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)，
∵m＋kn与m垂直，
∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1.
3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B．
C． D．
[答案] C
[解析] 本题考查了向量的坐标运算．
∵a＝(1,2)，b＝(1，－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，∴?2a＋b，a－b?＝.21·cn·jy·com
4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是( )
A．或
B．或
C．或
D．或
[答案] D
[解析] 设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，
则，解得，或.
二、填空题
5．(2014·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
[答案] ±3
[解析] 因为a＋λb＝ ( http: / / www.21cnjy.com )(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.21·世纪*教育网
6．(2014·四川文，14) ( http: / / www.21cnjy.com )平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.www-2-1-cnjy-com
[答案] 2
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题意有：＝2-1-c-n-j-y
即：＝，代入得：
＝，解得m＝2.
三、解答题
7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
[解析] a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，
|a＋tb|＝＝，
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，
得5t＋5＝，
即t2＋2t－3＝0，解得t＝－3或t＝1.
经检验知t＝－3不符合题意，舍去．所以t＝1.
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：
(1)a与b夹角为90°；
(2)a与b夹角为钝角；
(3)a与b夹角为锐角．
[解析] 设＝θ，
(1)由a⊥b得λ＝－.
(2)cosθ＝，由cosθ<0且
cosθ≠－1得λ<－.
(3)由cosθ>0且cosθ≠1，得λ>－，且λ≠2.
9．已知a＝(3,4)、b＝(4,3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1.
[解析] ∵a＝(3,4)，b＝(4,3)，∴xa＋yb＝(3x＋4y,4x＋3y)．
又(xa＋yb)⊥a，∴(xa＋yb)·a＝0，
∴3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0，
即25x＋24y＝0， ①
又|xa＋yb|＝1，∴|xa＋yb|2＝1，
∴(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1.
整理得25x2＋48xy＋25y2＝1，
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1. ②
由①②有24xy＋25y2＝1， ③
将①变形代入③可得y＝±.
当y＝时，x＝－，
当y＝－时，x＝.
所以或.
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成才之路 · 数学
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平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算
第二章
2.1.3 向量的减法
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．
想一想，向量a、b、c有何关系？
1．相反向量
与向量a方向________且________的向量叫做a的相反向量，记作－a，并规定零向量的相反向量仍是零向量．
关于相反向量有：
①－(－a)＝________.
②a＋(－a)＝(－a)＋a＝________.
③若a、b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝________.
相反
等长
a
0
－b
0
差
a－b
向量的减法
加上这个向量的相反向量
[答案] C
[答案] D
3．设a表示向西北走10km，b表示向东北走10km，c表示向正南走2km，则a＋b－c表示________．
[解析] 由向量加法的多边形法则分别表示出a＋b＋(－c)的图形可求得．
5．已知a、b、c(如图)，求作向量a－b＋c.
课堂典例讲练
向量加、减法的综合应用
[答案] D
向量加、减法的几何作图
[分析] 利用三角形法则和平行四边形法则作图求解．
[点评] 在作向量的和时，要合理使用三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的差时，应注意：两个向量的起点重合；差向量的方向是箭头指向被减向量．
易错疑难辨析
[错解] (1)a、b垂直．
(2)a、b方向相同．
(3)a、b方向相反，且|a|>|b|.
(4)a、b方向相反．
[辨析] 忽略“a、b中至少一个为零向量”的条件，使答案不完整．
[正解] (1)a、b垂直或a、b中至少一个为零向量．
(2)a、b方向相同或a、b中至少一个为零向量．
(3)a、b方向相反且|a|>|b|，或b＝0.
(4)a、b方向相反，或a、b中至少一个为零向量．
思想方法技巧
[解析] 如图，
课后强化作业
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第二章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
[答案] B
[解析] ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，不能作为基底．
2．已知c＝ma＋nb，要使a、b、c的终点在一条直线上(设a、b、c有公共起点)，m、n(m、n∈R)需满足的条件是( )www.21-cn-jy.com
A．m＋n＝－1 B．m＋n＝0
C．m－n＝1 D．m＋n＝1
[答案] D
[解析] a、b、c的终点要在同一直线上，
则c－a与b－a共线，
即c－a＝λ(b－a)，
∵c＝ma＋nb，∴ma＋nb－a＝λb－λa，
∴(m－1＋λ)a＝(λ－n)b，
∵a、b不共线，∴，消去λ，
∴m＋n＝1.
3．下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；
③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．21世纪教育网版权所有
4．给出下列结论：①若a≠b，则| ( http: / / www.21cnjy.com )a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有( )个．( )21教育网
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①中有一个为零向量时不成立；②中a，b若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.
5．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )21·cn·jy·com
A．3 B．－3
C．6 D．－6
[答案] C
[解析] ∵e1、e2不共线，∴由平面向量基本定理可得，解得.
6．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．＝＋λ B．＝λ＋(1＋λ)
C．＝ D．＝＋
[答案] C
[解析] ∵＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴(1＋λ)＝＋λ，∴＝.
二、填空题
7．在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)． 21*cnjy*com
[答案] －a＋b
[解析] ∵＝3，∴4＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，
∴＝(a＋b)－＝－a＋b.
8．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
[答案]
[解析] ∵a、b不共线，∴，解得.
三、解答题
9．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1、e2表示、、.【出处：21教育名师】
[解析] 利用中点的向量表达式得：
＝e1＋e2；＝e1＋e2；
＝e1＋e2.
一、选择题
1．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．－a＋b
C．a＋b D．－a＋b
[答案] B
[解析] ∵＝＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(a＋b)＝a＋b.∴＝－＝－a＋b.【版权所有：21教育】
2．已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( )
A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部 D．△ABC的外部
[答案] D
[解析] 由＋＝，得＝－＝，
所以PA∥BC，所以P在△ABC的外部．
3．已知在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 由＋＋＝eq \o(AB,\s\up6(→))，得＋＋－＝0，即＋＋＋＝0，∴＋＋＝0，即2＝，所以点P是CA边上靠近点A的三等分点，故＝.
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )21教育名师原创作品
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] B
[解析] 因与都为单位向量且λ∈[0，＋∞)，所以λ平分与的夹角，即平分∠A，∴P点轨迹通过△ABC的内心．21*cnjy*com
二、填空题
5．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a、＝b、＝c、＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________．
[答案] 平行四边形
[解析] 如图所示，∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，即＝，故AB∥CD，且AB＝CD，即ABCD为平行四边形．21cnjy.com
6．如图，在△ABC中，AB＝2， ( http: / / www.21cnjy.com )BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.21·世纪*教育网
[答案]
[解析] 因为AB＝2，BC＝3，
∠ABC＝60°，AH⊥BC，
所以BH＝1，BH＝BC.
因为点M为AH的中点，
所以＝＝(＋)＝(＋)
＝＋，即λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
三、解答题
7．如图，在△AOB中，＝a、＝b，设＝2，＝3，而OM与BN相交于点P，试用a、b表示向量.www-2-1-cnjy-com
[解析] ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
∵与共线，令＝t，
则＝t.
又设＝(1－m)＋m＝a·(1－m)＋mb
∴，∴.
∴＝a＋b.
8．在 OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E，求证：BE＝BA.
[分析] 利用向量证明平面几何问题的关键是选好一组与所求证的结论密切相关的基底．
[解析] 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证点E、E′重合即可，设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a.2·1·c·n·j·y
∴＝＋＝b＋＝b＋(a－b)
＝(a＋3b)＝(b＋a)＝，
∴O、E′、D三点共线，∴E、E′重合．∴BE＝BA.
9．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP?PM的值．2-1-c-n-j-y
[解析] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2，
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2
由基本定理，得，解得.
故＝，即AP?PM＝4?1.
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平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算
第二章
2.1.4 数 乘 向 量
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
两个实数可以进行乘法运算，向量作为既有大小又有方向的量，它是否可以与实数相乘呢？如果可以，那么它们相乘以后得到的是实数还是向量呢？实数与向量相乘以后的结果与这个向量又有什么关系？实数与向量相乘有怎样的运算规律？是否与实数相乘的运算规律完全一样？
1．实数与向量的积的定义
实数λ与向量a的积是个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
|λa|＝|λ|·|a|；
当________时，λa与a的方向相同；
当________时，λa与a的方向相反；
当________时，λa＝0.
λ>0
λ<0
λ＝0
2．数乘向量的运算律
设λ、μ为实数，则：
(1)(λ＋μ)a＝_________；
(2)λ(μa)＝__________；
(3)λ(a＋b)＝__________(分配律)．
λa＋μb
(λμ)a
λa＋λb
[答案] B
[解析] λμ<0知λ，μ符号相反，∵a≠0，∴λa与μa方向一定相反，故选B.
[答案] C
3．已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列各项中正确的个数为( )
①m(a－b)＝ma－mb; ②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b; ④若ma＝na，则m＝n.
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] A
[解析] ①②由数乘的运算法则可知正确．
ma－mb＝m(a－b)＝0，
∵m≠0，∴a－b＝0即a＝b，∴③正确．
ma－na＝(m－n)a＝0，
∵a≠0，∴m－n＝0，∴m＝n，∴④正确．
4．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.
[答案] 3 －4
5．若|a|＝m，b与a的方向相反，且|b|＝2，则a＝________b.
课堂典例讲练
[分析] 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．
数乘运算
[点评] 熟练掌握和运用运算律(实数与向量的积满足的结合律与分配律)，即当λ，μ为实数时，有：①(λμ)a＝λ(μa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
[分析] 本例中已知条件没有涉及方向，但欲求结果中却涉及了方向．因此，解答此类问题，要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡．
数乘向量的几何意义
几何图中的向量表示
[答案] ①②③④
易错疑难辨析
[错解] 正确
[辨析] λa＝0的一种情况是a＝0，另一种情况是λ＝0.
[正解] 不正确，要注意0与任意一个向量的积还是一个向量，为0，而不是数0.
思想方法技巧
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第二章 2.3 2.3.1
一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则( )
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等
[答案] D
[解析] ∵a·c＝b·c，
∴|a|·|c|cos＝|b|·|c|cos，
即|a|cos＝|b|cos，故选D.
2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°.
3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为( )
A．2 B．
C．2 D．4
[答案] C
[解析] a在b方向上的投影为|a|cos＝4×cos30°＝2.
4．|m|＝2，m·n＝8，＝60°，则|n|＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] D
[解析] ∵＝cos，
∴＝，∴|n|＝8.
5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为( )
A．－5 B．5
C．－5 D．5
[答案] A
[解析] a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5.
6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cos＝4＋1＝5.
二、填空题
7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.21世纪教育网版权所有
[答案] 3
[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30°
＝2××＝3.
8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．
[答案] －3
[解析] ∵|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，
∴a在b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－)＝－3.
三、解答题
9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
[解析] (1)∵<，P1P3>＝，||＝2.
∴·＝||·||cos
＝2×2×＝6.
(2)∵<，>＝，||＝4，
∴·＝2×4×cos＝4.
(3)∵<，>＝，
∴·＝0.
(4)∵<，>＝，
∴·＝2×2×cos＝－2.
一、选择题
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] A中，若a·b＝0，则a ( http: / / www.21cnjy.com )＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确．
2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] cos＝＝＝，
又∵∈[0，π]，∴＝.
二、填空题
3．已知△ABC中，||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状为________．
[答案] 等边三角形
[解析] ∵·＝8，∴||·||cos<，>＝8，∴4×4×cos<，>＝8，
∴cos<，>＝，∴<，>＝60°，
又||＝||，∴三角形是等边三角形．
4．对于任意向量a、b，定义新运算“ ( http: / / www.21cnjy.com ) ”：a b＝|a|·|b|·sinθ(其中θ为a与b的夹角)．利用这个新知识解决：若|a|＝1，|b|＝5，且a·b＝4，则a b＝________.
[答案] 3
[解析] 设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，
∴sinθ＝.
∴a b＝|a|·|b|·sinθ＝1×5×＝3.
三、解答题
5．如图所示，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
[解析] (1)因为∥，且方向相同，所以与夹角是0°.所以·＝||·||·cos0°＝3×3×1＝9.21教育网
(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||·||·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.21cnjy.com
(3)与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，(←此处易错为60°.)
所以·＝||·||·cos120°＝4×3×＝－6.
6．在△ABC中，三边长均为1，设＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴＝120°，＝120°，＝120°，
∴a·b＝|a||b|cos120°＝－，
b·c＝|b||c|cos120°＝－，
c·a＝|c||a|cos120°＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
7．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．21·cn·jy·com
[解析] ∵方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，
∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴a·b≤|a|2.
cos＝＝＝≤＝，
又∵0≤≤π，∴≤≤π.
即a与b的夹角的取值范围为.
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第二章 2.2 2.2.3
一、选择题
1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于( )
A．－3 B．－
C． D．3
[答案] C
[解析] 由a∥b，得(－1)×(－1)－3x＝0，解得x＝.
2．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝( )21·cn·jy·com
A．13 B．－13
C．9 D．－9
[答案] D
[解析] ∵A、B、C共线，∴与共线，
∵＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)＝24，∴y＝－9.
3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于( )
A．3 B．－3
C．5 D．－5
[答案] C
[解析] a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，由题意得，9－3k＝－6，∴k＝5.
4．设e1、e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线，则( )www.21-cn-jy.com
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
[答案] D
[解析] 由共线向量定理，存在t∈R，使a＝tb，
即e1＋λe2＝t(－e2＋2e1)，
∵e1，e2不共线，∴，解得λ＝－.
5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tanα＝( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴3sinα－4cosα＝0，∴tanα＝.
6．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b与向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2，则b＝( )21cnjy.com
A．(4,2) B．(－4,2)
C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)
[答案] D
[解析] 设b＝(x，y)，由题意，得，
解得或.
二、填空题
7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为________．2·1·c·n·j·y
[答案] (1，－1)
[解析] 由已知＝(2,0)，＝(4,2)，∴＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y)，【来源：21·世纪·教育·网】
∵＝－2，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，
∴，解得.
∴点C的坐标为(1，－1)．
8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
[答案]
[解析] 由已知，得12sin2α＝6，
∴sinα＝±，∴α为锐角，∴α＝.
三、解答题
9．设向量＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．
[解析] ∵＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，
∴＝－＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．
∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝11或k＝－2.
一、选择题
1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[答案] D
[解析] ∵a、b共线，∴存在t∈R，使a＝tb，
∴e1＋λe2＝2te1，
∴(1－2t)e1＋λe2＝0 ①
若e1、e2共线，则一定存在t、λ.使①式成立；
若e1、e2不共线，则.
2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
[答案] C
[解析] ∵a∥b，∴1×m－2×(－2)＝0，
∴m＝－4.∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案] C
[解析] ∵a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，
∴a＋b＝(0，x2＋1)，
∵1＋x2≠0，
∴向量a＋b平行于y轴．
4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，
又a、b不共线，∴，∴.
∴c＝－d，∴c与d反向．
二、填空题
5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
[答案] 或
[解析] 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由 .
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
6．已知点A(，1)、B(0,0)、C(，0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于________．21教育网
[答案] －3
[解析] ∵AE为∠BAC的平分线，
∴＝＝＝2.
∴＝－2.
∴＝－＝－2－＝－3.
三、解答题
7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴，解得.
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，
求证：∥.
[解析] 设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意有：
＝(2,2)、＝(－2,3)、＝(4，－1)．
因为＝，所以＝.
因为＝，所以＝.
因为(x1＋1，y1)＝，所以E.
因为(x2－3，y2＋1)＝，所以F.
∴＝.
又因为4×－×(－1)＝0，所以∥.
9．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．21世纪教育网版权所有
[解析] 由已知，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
又＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，
∴3×(－1)－3×2≠0，
∴与不共线．
∴AB∥CD，AB与AD不平行．
又||＝3，||＝2，
∴||≠||，即AB≠CD.
∴＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝||.
故四边形ABCD是等腰梯形．
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平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算
第二章
2.1.2 向量的加法
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
3
课后强化作业
5
课前自主预习
1
思想方法技巧
4
课前自主预习
我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？
a与b的和
a＋b
和
2．向量求和的三角形法则
利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的______指向第二个向量的______的向量．
起点
终点
a＋b
4．向量加法的运算律
(1)交换律：_________________；
(2)结合律：_________________________.
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．已知非零向量a、b、c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 根据向量加法的运算律．
[答案] A
[答案] C
4．向量a、b满足|a|＝8，|b|＝2，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
[答案] 10 6
[解析] 由向量加法的三角形法则知，
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，即6≤|a＋b|≤10.
5．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
课堂典例讲练
[分析] 根据向量加法的结合律，可以按三角形法则或平行四边形法则进行．
求作向量的和
[点评] 应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：
(1)求作三个或三个以上的向量和时，用多边形法则更简单．作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的始点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
如图，已知平行向量a、b，求作a＋b.
[分析] 求向量的和要考虑用向量加法的运算法则和运算律．
向量的加法运算
[点评] 求和的关键是利用三角形法则，将“首尾连接”的两个向量分在一组．向量加法运算出现零向量时不要将其写成0.
[分析] 要证明四边形是平行四边形，只需证明一组对边平行且相等即可．而且向量证明，只需证明一组对边对应的向量相等即可．
向量运算在平面几何中的应用
[点评] 利用向量的加法可以证明线段相等和平行．用向量法证明几何问题的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系还原为几何关系．
易错疑难辨析
[辨析] 此题错在没有对a、b的各种位置关系讨论清楚．
思想方法技巧
课后强化作业
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平面向量
第二章
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
第二章
2.2.1 平面向量基本定理
课堂典例讲练
2
易错疑难辨析
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课后强化作业
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1
思想方法技巧
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课前自主预习
在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力．试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
1．平面向量基本定理
如果e1和e2是平面内的两个________的向量，那么对该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数________，使a＝____________.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________，记为{e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的________．平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础．
不共线
a1，a2
a1e1＋a2e2
基底
分解式
中点
1．设e1、e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是( )
①e1和e1＋e2 ②e1－2e2和e2－2e1
③e1－2e2和4e2－2e1 ④e1＋e2和e1－e2
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ③中，∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴两向量共线，其它不共线，故选C.
2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
[答案] B
3．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )
A．若实数λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对
[答案] A
[解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是惟一的．
6．e1、e2是不共线的向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，以b、c为一组基底表示向量a.
课堂典例讲练
用基底表面平面内的向量
平面向量基本定理的应用
直线的向量参数方程的应用
易错疑难辨析
[辨析] 不能正确应用直线的向量参数方程致错．
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平面向量
第二章
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
第二章
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课堂典例讲练
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课前自主预习
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km)．
晶晶：502×4＝2 008(km)．
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简化运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便．
想一想，我们能否类比向量的线性运算，在坐标平面内施向量的坐标运算呢？
a1b2－a2b1＝0
a∥b
1．(2014·广东云浮市云浮中学高一月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x＝( )
A．2 B．－2
C．8 D．－8
[答案] A
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(x,4)，a∥b，∴2x＝4，∴x＝2.
[答案] D
3．下列各组向量相互平行的是( )
A．a＝(－1,2)、b＝(3,5)
B．a＝(1,2)、b＝(2,1)
C．a＝(2，－1)、b＝(3,4)
D．a＝(－2,1)、b＝(4，－2)
[答案] D
[解析] ∵b＝(4，－2)＝－2(－2,1)＝－2a，
∴b∥a，所以D正确．
4．若向量a＝(x,1)、b＝(4，x)，则当x＝________时，a、b共线且方向相同．
[答案] 2
[解析] ∵a＝(x,1)、b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，∴x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
5．已知a＝(3,2)、b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
[答案] 1或－1
[解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)
＝(3λ＋2,2λ－1)，
a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)．
∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
∴(3λ＋2)(2－λ)－(3＋2λ)(2λ－1)＝0，
即7λ2＝7.∴λ＝1或－1.
6．(2014·河北邯郸市馆陶一中高一第二次调研)已知向量a＝(2,0)、b＝(1,4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值.
课堂典例讲练
[分析] 由a、b可以用坐标表示ka＋b，a－3b，然后由向量共线的条件便可以求出k的值．而向量是否同向，可以由λ的符号确定．
平面向量共线的坐标表示
向量共线的坐标表示的应用
[点评] 比较以上两种解法可见，解法一的设法比较好，运算量较小；解法二运算量大些，但属常规方法．
已知向量a＝(2，－1)、b＝(－1，m)、c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
[答案] －1
[解析] ∵a＝(2，－1)、b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)，
又∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0，
解得m＝－1.
易错疑难辨析
[辨析] a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)平行的条件应为a1b2－a2b1＝0，上述误解错用公式①为a1b1－a2b2＝0，②为a1b2＋a2b1＝0.
思想方法技巧
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平面向量
第二章
2.3 平面向量的数量积
第二章
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂典例讲练
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思想方法技巧
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课前自主预习
向量数量积的运算解决了几何中与度量有关的角度、距离等问题，那么将向量坐标化之后，运用坐标解决这些问题又该如何进行呢？运算是不是更简化了？
1．向量数量积的坐标运算
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝___________，即两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的条件
如果a⊥b，则______________；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则________．
a1b1＋a2b2
a1b1＋a2b2＝0
a⊥b
1．(2014·山东曲阜师范大学附属中学高一模块测试)已知向量a＝(1,2)、b＝(2，y)，且a⊥b，则y的值为( )
A．4 B．1
C．－1 D．－4
[答案] C
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝2＋2y＝0，∴y＝－1.
2．(2014·河南滑县二中高一月考)若向量a＝(1,2)、b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于( )
A．120° B．135°
C．60° D．45°
[答案] B
[答案] A
4．已知a＝(x－2，x＋3)、b＝(2x－3，－2)，若a⊥b，则x＝________.
[答案] 4
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两向量垂直的坐标表示
[答案] A
已知a＝(cosα，sinα)、b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)，求证a＋b与a－b互相垂直．
[分析] 只要证(a＋b)·(a－b)＝0即可．
[解析] 解法一：由已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，得a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，
a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．
又∵(a＋b)·(a－b)
＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2
＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.
∴y＝－3.∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
向量的模与夹角问题
已知a＝(3，－4)、b＝(2，x)、c＝(2，y)，且a∥b，a⊥c，求b·c及b和c的夹角．
向量数量积的坐标运算的应用
易错疑难辨析
[辨析] a与b的夹角是锐角，
则a·b>0，且剔除a与b同向．
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平面向量
第二章
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
第二章
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
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易错疑难辨析
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卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
1．向量的直角坐标
向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量__________．
正交分解：如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为____________，在正交基底下分解向量，叫做__________．
互相垂直
正交基底
正交分解
向量的直角坐标：在直角坐标系xOy内(如图所示)，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}，任作一向量a，由平面向量基本定理可知，存在惟一的有序实数对(a1，a2)使得a＝___________，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的______，即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．
a1e1＋a2e2
坐标
2．向量的直角坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
a＋b＝____________________；
a－b＝____________________；
λa＝______________.
(a1＋b1，a2＋b2)
(a1－b1，a2－b2)
(λa1，λa2)
1．设平面向量a＝(3,5)、b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
[答案] A
[解析] a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
[答案] C
[答案] D
[答案] (5,14)
5．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝________.
[答案] 2
课堂典例讲练
向量的坐标
[答案] (－3，－2)
[分析] 根据平行四边形的对角线互相平分，求出对角线交点，再利用中点坐标公式求顶点坐标．
中点坐标公式
[点评] 应用平行四边形对角线互相平分这一性质是本题用中点公式解题的前提．
易错疑难辨析
[辨析] 混淆了向量的坐标与点P的坐标，导致错误．
思想方法技巧
[答案] (1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
课后强化作业
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第二章 2.1 2.1.1
一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
[答案] D
[解析] 图形是一个以始点为圆心，以1为半径的圆．
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( )
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
[答案] B
[解析] 由相等向量的定义知B正确．
3．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
[答案] D
[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向 ( http: / / www.21cnjy.com )量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.
4．有下列说法：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④共线向量一定在同一直线上．
其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，故①错；对于②，零向量的模为0，故②错；③正确；对于④，共线向量不一定在同一直线上，故④错．21cnjy.com
5．下列说法错误的是( )
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
[答案] D
[解析] 零向量的方向是任意的，故选项D说法错误．
6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量、、是( )
A．有相同起点的相等向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
[答案] C
[解析] 模都等于半径，但方向不同．
二、填空题
7．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为________．www.21-cn-jy.com
[答案] 、
[解析] 三角形的中位线平行且等于底边的一半，＝＝＝.
8．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是________．
[答案] ||＝||
[解析] 由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量与满足||＝||.
三、解答题
9．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知||＝120m，求的方向和A、B的距离．【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] 依题意，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
||＝＝60(m)．
所以的方向是A点的东偏北30°，||＝60.
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.
其中正确的是( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
[答案] D
[解析] |a|与|b|大小关系不能确定， ( http: / / www.21cnjy.com )故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|>0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．21·世纪*教育网
2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝|| B．与共线
C．＝ D．与共线
[答案] C
[解析] 当ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C.
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
[答案] D
[解析] 易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝；
对于B，||＝||＝||＝||＝||；
对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||；
对于D，∥成立，故D是错误的．
4．四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形
[答案] C
[解析] 因为与为共线向量，所以∥，但||与||可能相等，也可能不相等．
二、填空题
5．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为________．
[答案] 菱形
[解析] ∵四边形ABCD中，＝，∴AB∥CD，且||＝||，∴四边形ABCD为平行四边形，21世纪教育网版权所有
又∵||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
6．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.21·cn·jy·com
[答案] 0
[解析] ∵A、B、C是不共线的三点，∴向量与向量不共线，又向量m与平行，与共线，故m＝0.2·1·c·n·j·y
三、解答题
7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：www-2-1-cnjy-com
(1)分别写出，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解析] (1)＝，＝.
(2)与共线的向量为：，，.
(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝
||＝||.
(4)不相等．
8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正 ( http: / / www.21cnjy.com )东方向前行1m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
(1)按1?100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
[解析] (1)如图所示，操作6次赛车的位移为零．
(2)要使赛车能回到出发点 ( http: / / www.21cnjy.com )，只需赛车的位移为零；按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有n(180°－α)＝(n－2)·180°，所以n＝(n为不小于3的整数)，即α应为360°的约数，如α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点；又α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．21教育网
9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．2-1-c-n-j-y
[解析] ∵＝∴||＝||，从而D是AB的中点．
∵＝，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC，
又||＝||，即DF＝BE，
从而E为BC的中点．
于是DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE綊AF，故＝.
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