第三章 3.1 3.1.1
一、选择题
1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( )
A．0 B．
C． D．－
[答案] A
[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15°
＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°
＝cos75cos15°－sin75°sin15°
＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.
2．在△ABC中，若sinAsinB
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[答案] D
[解析] ∵sinAsinB∴cosAcosB－sinAsinB>0，
∴cos(A＋B)>0，
∵A、B、C为三角形的内角，
∴A＋B为锐角，
∴C为钝角．
3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( )
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
[答案] B
[解析] 原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.
4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A．0 B．
C． D．1
[答案] D
[解析] sin15°cos75°＋cos15°sin105°
＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)
＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°
＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.
5．sin－cos的值是( )
A．0 B．－
C． D．2
[答案] B
[解析] 原式＝－2
＝－2·
＝－2cos＝－2×＝－.
6．△ABC中，cosA＝，且cosB＝，则cosC等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] 由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)
＝－＝.
二、填空题
7．若cosα＝，α∈(0，)，则cos(α＋)＝________.
[答案]
[解析] ∵cosα＝，α∈(0，)，
∴sinα＝.
∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.
8．已知cosx－cosy＝，sinx－siny＝，则cos(x－y)＝________.
[答案]
[解析] ∵cosx－cosy＝，sinx－siny＝，
∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝，
sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝，
两式相加得2－2cos(x－y)＝，
∴cos(x－y)＝.
三、解答题
9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.
求证：cos(α－γ)＝.
[解析] sinα＋sinβ＝sinγ?sinα－sinγ＝－sinβ①
cosα＋cosβ＝cosγ?cosα－cosγ＝－cosβ②
①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，
即得cos(α－γ)＝.
一、选择题
1．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是( )
A．π B．
C． D．2π
[答案] A
[解析] y＝cos2x－sin2x＝cosx·cosx－sinx·sinx＝cos2x，
∴最小正周期T＝＝π.
2．在△ABC中，若tanA·tanB>1，则△ABC一定是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[答案] C
[解析] ∵sinA·sinB>cosA·cosB，
∴cosA·cosB－sinA·sinB<0，
即cos(A＋B)<0，
∵A、B、C为三角形的内角，
∴A＋B为钝角，∴C为锐角．
又∵tanA·tanB>1，
∴tanA>0，tanB>0，
∴A、B均为锐角，故△ABC为锐角三角形．
3．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为( )
A．x≤y B．x>y
C．x[答案] B
[解析] y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，
∵△ABC为锐角三角形，
∴C为锐角，∵A＋B＝π－C，
∴A＋B为钝角，
∴cos(A＋B)<0，∴y4．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．[－，]
[答案] B
[解析] f(x)＝sinx－cos(x＋)
＝sinx－cosxcos＋sinxsin
＝sinx－cosx
＝(sinx－cosx)
＝sin(x－)∈[－，]．
二、填空题
5．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________．
[答案] 0
[解析] ＝ad－bc，
∴
＝coscos－sinsin
＝cos(＋)＝cos＝0.
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.
[答案]
[解析] ∵cos(α＋β)＝，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝， ①
∵cos(α－β)＝，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝， ②
由①②得，
∴tanαtanβ＝＝－.
三、解答题
7．已知cos(α－30°)＝，30°<α<90°，求cosα的值．
[解析] ∵30°<α<90°，
∴0°<α－30°<60°.
∵cos(α－30°)＝，
∴sin(α－30°)＝＝，
∴cosα＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝×－×＝.
8．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若向量a与b的夹角为60°，求cos(α－β)的值．
[解析] ∵a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β)，
∴|a|＝2，|b|＝3，
又∵a与b的夹角为60°，
∴cos60°＝＝＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝.
9．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α、β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，求cos(α＋β)的值．
[解析] (1)∵T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝2cos(x＋)，
∵－＝f(5α＋)＝2cos[(5α＋)＋]＝2cos(α＋)＝－2sinα，
∴sinα＝，cosα＝.
∵＝f(5β－)＝2cos[(5β－)＋]＝2cosβ，
∴cosβ＝，sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
课件36张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章站在地上观察转动的摩天轮上某个固定的座位，观察点与竖直方向的夹角的三角函数是怎样变化的呢？3.1 和 角 公 式第三章3.1.1 两角和与差的余弦在教室上课时，如果坐在教室靠墙的位置，会发现坐在第一排时，黑板另一侧的字看不清楚，这是什么原因呢？知能自主梳理
两角和与差的余弦公式
cos(α＋β)＝______________________，(Cα＋β)
cos(α－β)＝______________________.(Cα－β)cosαcosβ－sinαsinβ
cosαcosβ＋sinαsinβ 1．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段性测试) cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ化简为( )
A．sin(2α＋β) B．cos(α－β)
C．cosα D．cosβ
[答案] C
[解析] cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝cos[(α－β)＋β]＝cosα.[答案] A[答案] B4．cos80°cos20°＋sin100°·sin380°＝________.公式的应用
[点评] 当所需三角函数值的符号不确定时，应分情况讨论．分类讨论是一种重要的数学思想方法，注意体会和加以运用．公式的逆用 计算：(1)cos26°cos34°－cos64°sin34°；
(2)cos(16°＋α)cos(14°－α)－sin(16°＋α)cos(76°＋α)．角的变换 [分析] 把10°换成30°－10°，再用两角差的余弦公式化简．第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy的结果为( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sinx D．－sinx
[答案] D
[解析] 原式＝sin[y－(x＋y)]＝sin(－x)＝－sinx.
2．若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[答案] B
[解析] ∵cosαcosβ＝1，
∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，
∴sinα＝0，sinβ＝0，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.
3．对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的认识正确的是( )
A．对于任意的角α、β都成立 B．只对α、β取几个特殊值时成立
C．对于任意的角α、β都不成立 D．有无限个α、β的值使等式成立
[答案] D
[解析] 当α＝2kπ或β＝2kπ，有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，因此有无限个α、β的值能使等式成立．
4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin[90°－(110°－x)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝.
5．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，α、β为锐角且a∥b，则α＋β等于( )
A．0° B．90°
C．135° D．180°
[答案] B
[解析] a∥b，∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0，∴－cos(α＋β)＝0，
∴α＋β＝90°.
6．＝( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] C
[解析] ∵sin47°＝sin(30°＋17°)
＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，
∴原式＝＝sin30°＝.
二、填空题
7．化简的结果是________．
[答案]
[解析] 原式＝
＝＝.
8．化简＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝
＝
＝＝tan45°＝1.
三、解答题
9．(2014·广东理，16)已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
[解析] (1)f()＝Asin(＋)＝，
∴A×＝，
∴A＝.
(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，
∴[(sinθ＋cosθ)＋(－sinθ＋cosθ)]＝.
∴cosθ＝，∴cosθ＝，
又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝＝，
∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sinθ＝.
一、选择题
1．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是( )
A．aC．b[答案] B
[解析] a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，
b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，
c＝·＝sin60°，
由y＝sinx的单调性知：a2．已知cosx－sinx＝－，则sin(－x)＝( )
A． B．－
C． D．－
[答案] D
[解析] ∵cosx－sinx＝2(sincosx－cossinx)＝2sin(－x)＝－，∴sin(－x)＝－.
3．sin＋sin的化简结果是( )
A．2sin B．2sin
C．2sin D．2sin
[答案] A
[解析] sin＋sin
＝sin＋sin
＝cos＋sin
＝2
＝2
＝2sin＝2sin.
4．已知sin(α＋)＋cosα＝，则sin(α＋)的值为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 由sin(α＋)＋cosα＝，得
sinα＋cosα＝，即sinα＋cosα＝.
∴sin(α＋)＝.
二、填空题
5．已知α、β为锐角，且tanα＝2，tanβ＝3，则sin(α＋β)＝________.
[答案]
[解析] ∵tanα＝2，∴cosα＝＝＝，
∴sinα＝，同理cosβ＝，sinβ＝，
∴sin(α＋β)＝×＋×＝＝.
6．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.
[答案]
[解析] y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，∵x∈[0,2π]，∴x－∈[－，]，∴当x－＝，即x＝时，函数取最大值2.
三、解答题
7．已知sinα＝，cosβ＝－，α∈(，π)，β∈(，π)，求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．
[解析] ∵sinα＝，α∈(，π)，
∴cosα＝－＝－.
∵cosβ＝－，β∈(，π)，∴sinβ＝＝，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋(－)×＝－＝－，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×(－)－(－)×＝.
8．求值：
(1)(tan10°－)·；
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.
[解析] (1)(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·
＝·
＝·
＝·＝－2.
(2)[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·
＝·
＝·cos10°
＝2(sin50°cos10°＋sin10°·cos50°)
＝2sin60°＝.
9．(2014·重庆理，17)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值．
[解析] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2，
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…，因－≤φ<得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝.
所以sin(α－)＝.
由<α<得0<α－<.
所以cos(α－)＝＝＝.
因此cos(α＋)＝sinα
＝sin[(α－)＋]
＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin
＝×＋×
＝.
课件32张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章3.1 和 角 公 式 第三章3.1.2 两角和与差的正弦公园里很多游人喜欢乘坐摩天轮，如图是摩天轮的平面简图，我们来观察一下摩天轮上的两个座椅A、B的转动情况，设转轮静止时，OA平行于地面，座椅B为离地面最低的位置，当座椅A转动角α后，如果知道座椅Α到地面的距离，那么能否计算出座椅Β到地面的距离呢？两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝________________________，(S(α＋β))
sin(α－β)＝________________________.(S(α－β))．sinαcosβ＋cosαsinβ
sinαcosβ－cosαsinβ [答案] C2．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB ≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[答案] C[答案] C[答案] cosα5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．
[答案] 等腰三角形
[解析] 在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)，
2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，
＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，
∴sin(A－B)＝0，
∴A＝B.三角函数式的化简与求值 [分析] 需先对角进行讨论，然后再求值．[分析] 根据平方关系求出sinα、cosβ，从而可求出sin(α－β)．给值求角 [点评] 已知α、β的三角函数值求α、β的和或差的值，通常是先求其三角函数值，再求角．需要注意的是，要对角的范围进行判断，再确定其值．[答案] B第三章 3.1 3.1.3
一、选择题
1．若tan(－α)＝3，则cotα等于( )
A．－2 B．－
C． D．2
[答案] A
[解析] ∵tan(－α)＝＝3，
∴tanα＝－，∴cotα＝－2.
2．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] 由已知，得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
3．已知＝，则cot的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
[答案] B
[解析] 由已知得：tan＝，
∴cot＝tan＝.
4．tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°的值为( )
A．－ B．
C．3 D．
[答案] B
[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°.tan40°＝tan60°＝.
5．已知tanα＝，tanβ＝－2，则cot(α－β)的值为( )
A． B．－
C．1 D．－1
[答案] A
[解析] cot(α－β)＝＝＝.
故选A.
6．已知α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)的值等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
[答案] A
[解析] ∵tan(α＋β)＝＝－1，
∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，
∴原式＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.
二、填空题
7．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tanβ＝________.
[答案] －7
[解析] ∵sinα＝，α为第二象限角，
∴cosα＝－，tanα＝－，
tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－7.
8．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
[答案]
[解析] tan＝tan
＝＝.
三、解答题
9．求的值．
[解析] 原式＝
＝＝.
一、选择题
1．已知α∈，sinα＝，则tan等于( )
A． B．7
C．－ D．－7
[答案] A
[解析] 由于α∈，sinα＝，
∴cosα＝－，tanα＝＝－.
∴tan＝＝＝，故选A.
2．的值是( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 原式＝
＝－＝－
＝－＝.
3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
[答案] C
[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°
＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°
＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，
同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，
故原式＝4.
4．已知tanα、tanβ是方程x2＋x＋2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的是( )
A．－ B．－
C．或－ D．－或
[答案] B
[解析] 由韦达定理得，
∴tanα<0，tanβ<0，
∴α∈(－，0)，β∈(－，0)，
∴α＋β∈.
又tan(α＋β)＝－，∴α＋β＝－.
二、填空题
5．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．
[答案]
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.
6．化简＝________.
[答案] tan42°
[解析] 原式＝
＝tan(60°－18°)＝tan42°.
三、解答题
7．求证tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.
[解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝，
∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)]
＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β
＝tan(α＋β)－tan(α－β)，
∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β
＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.
8．已知tanA与tan(－A＋)是方程x2＋px＋q＝0的根，且3tanA＝2tan(－A)，求p与q的值．
[解析] 设t＝tanA，则tan(－A)＝＝，
∴3tanA＝2tan(－A)，
∴3t＝，解得t＝或t＝－2.
当t＝时，有tan(－A)＝＝＝，
∴p＝－[tanA＋tan(－A)]＝－(＋)＝－，
q＝tanAtan(－A)＝×＝.
当t＝－2时，有tan(－A)＝＝－3，
∴p＝－[tanA＋tan(－A)]
＝－[(－2)＋(－3)]＝5，
q＝tanAtan(－A)＝(－2)×(－3)＝6.
综上可知，p＝－，q＝或p＝5，q＝6.
9．在锐角△ABC中，
(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)化简：tantan＋tantan＋tantan.
[解析] (1)∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC.
∴tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC
＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC
＝tanAtanBtanC.
(2)∵A＋B＋C＝π，∴＝－，
∵tan＝tan(－)＝cot.
∴原式＝tan(tan＋tan)＋tan·tan
＝tantan(1－tantan)＋tan·tan
＝tantan(－)(1－tantan)＋tantan＝tancot(1－tantan)＋tantan
＝1－tantan＋tantan＝1.
课件29张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章3.1 和 角 公 式 第三章3.1.3 两角和与差的正切在湖上某处观察电视塔的塔顶和塔底，你能否用一个等量关系将他们仰角的三角函数联系起来？两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝_____________，(T(α＋β))
tan(α－β)＝_____________，(T(α－β))[答案] B[答案] C[答案] B三角函数式的化简与求值 给值求角 第三章 3.2 3.2.1
一、选择题
1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] D
[解析] ∵cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0，
∴sinθ<0，
∴角θ是第四象限角．
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值．
tanθ＋＝＋＝＝＝4，
∴sin2θ＝.
3．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
[答案] B
[解析] f(x)＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
4．若tanα＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案] D
[解析] 由＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
5．计算－等于( )
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[答案] C
[解析] －＝－
＝－
＝(sin40°－cos40°)
＝2(sin40°－cos40°)
＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°.
6．·＝( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D．
[答案] B
[解析] 原式＝·＝＝tan2α.
二、填空题
7．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.
[答案]
[解析] cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ
＝＝＝
＝×＝.
8．tan－的值等于________．
[答案] －2
[解析] tan－＝
＝－
＝－2cot＝－2.
三、解答题
9．已知cosα＝－，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
[解析] ∵cosα＝－，α∈(π，)，
∴sinα＝－＝－＝－，
∴sin2α＝2sinαcosα＝2×(－)×(－)＝，
cos2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝，
tan2α＝＝.
一、选择题
1．设a＝(，sinα)，b(cosα，)，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．75° D．45°
[答案] D
[解析] 由题意，得×＝sinαcosα，
∴sinαcosα＝，
∴sin2α＝，
∴sin2α＝1.
∴α为锐角，
∴2α＝90°，∴α＝45°.
2．若α∈，则＋的值为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[答案] D
[解析] ∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.
3．设a＝(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝， 则( )
A．cC．a[答案] A
[解析] a＝cos17°＋cos17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b＝2cos213°－1＝cos26°＝sin(90°－26°)＝sin64°，
c＝＝sin60°.
由正弦函数单调性可知：b>a>c.
4．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cosα＝，
∴sinα＝，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α
＝2sinαcosα＝2××＝.
二、填空题
5．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
[答案]
[解析] f(x)＝sin2(2x－)＝
＝－sin4x，
∴T＝＝.
6．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝________.
[答案]
[解析] sin4θ＋cos4θ＝，
∴(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，
∴1－sin22θ＝，
∴sin22θ＝.
∵θ为第三象限角，
∴2kπ＋π<θ<2kπ＋，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π，k∈Z，
∴sin2θ＝.
三、解答题
7．若cos(＋x)＝，(1)cosx＋sinx的值；
(2)的值．
[解析] (1)由又∵cos(＋x)＝，
∴sin(＋x)＝－，
∴cosx＋sinx＝sin(x＋)＝－.
(2)cosx＝cos[(＋x)－]
＝cos(＋x)cos＋sin(＋x)sin
＝×－×＝－.
又由∴sinx＝－＝－，
∴tanx＝7，
∴原式＝＝－.
8．(2014·江苏，15)已知α∈(，π)，sinα＝.
(1)求sin(＋α)的值；
(2)求cos(－2α)的值．
[解析] (1)∵α∈(，π)，sinα＝，
∴cosα＝－＝－，
∴sin(＋α)＝sincosα＋cossinα
＝×(－)＋×＝－.
(2)由(1)得sin2α＝2sinαcosα
＝2××(－)＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝，
所以cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α
＝(－)×＋×(－)＝－.
9．(2014·天津理，15)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)由已知，有
f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，
所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章3.2 倍角公式和半角公式第三章3.2.1 倍 角 公 式在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin2α＝____________.
C2α：cos2α＝_______________＝_____________
＝____________.
T2α：tan2α＝______________.2sinαcosα cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α [答案] A[答案] C[答案] A[分析] 将根号内的式子化为完全平方式，开方后再进行运算即可．化简求值 [点评] 本题利用1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2和1＋cos2α＝2cos2α去掉根号．去掉根号时，应注意符号的选取．化简：cos2A＋cos2(60°－A)＋cos2(60°＋A)．给值求值 三角恒等式的证明 二倍角公式的综合应用 [辨析] 错解中没能讨论2α角的范围而致误．第三章 3.2 3.2.2
一、选择题
1．cosθ＝－，<θ<3π，则sin＝( )
A． B．－
C． D．－
[答案] D
[解析] ∵<θ<3π，∴<<，
∴是第三象限角，
∴sin＝－＝－＝－.
2．(2014·河南滑县二中高一月考)下列各式中，值等于的是( )
A．cos45°cos15°＋sin45°sin15° B．cos2－sin2
C． D．
[答案] C
[解析] ＝＝tan45°＝.
3．已知2sinθ＝1＋cosθ，则cot的值为( )
A．2 B．
C．或0 D．2或0
[答案] D
[解析] 2sinθ＝2cos2，
∴2cos＝0，
∴cos＝0或2sin－cos＝0，∴cot＝0或2.
4．化简：sin2x·结果应为( )
A．2sinx B．2cosx
C．2sin2x－2sinx D．tanx
[答案] A
[解析] ∵1＋tanx·tan＝1＋tanx·
＝1＋＝，
∴原式＝sin2x·＝2sinxcosx·＝2sinx.
5．若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
[答案] A
[解析] 解法一：∵cosα＝－，α是第三象限角，
∴sinα＝－，tan＝
＝＝－3，
∴＝＝－.
解法二：∵α是第三象限角，cosα＝－，
∴sinα＝－.
∴＝＝
＝·＝＝
＝－.
6．函数y＝cos2(x＋)，x∈R( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] A
[解析] y＝cos2(x＋)＝＋cos(2x＋)＝－sin2x，x∈R.
∴函数y＝cos2(x＋)是奇函数．
二、填空题
7．已知sin＋cos＝－，且<α<3π，则cot的值为________．
[答案]
[解析] 由sin＋cos＝－，得sinα＝，
2＝1－sinα＝1－＝.
∵<α<3π，∴<<，<<.
∴sin再由已知得cos＝－，
∴cot＝－＝－＝.
8．若f(α)＝cotα－，那么f的值为________．
[答案]
[解析] 原式＝cotα＋tanα＝＝，
∴f＝＝.
三、解答题
9．化简：(0<α<π)．
[解析] ∵0<α<π，
∴0<<，
∴原式＝
＝
＝sin2－cos2＝－cosα.
一、选择题
1．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a、b、c、d的大小关系为( )
A．a>b>d>c B．b>a>d>c
C．d>a>b>c D．c>a>d>b
[答案] B
[解析] a＝sin56°cos45°－cos56°sin45°
＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°，
b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°
＝sin40°(－sin38°)＋cos40°cos38°
＝cos(40°＋38°)＝cos78°，
c＝＝cos81°，
d＝(cos80°－2cos250°＋1)
＝[cos80°－(2cos250°－1)]
＝(cos80°＋cos80°)＝cos80°，
∴b>a>d>c，故选B.
2．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式．
由θ∈[，]可得2θ∈[，π]，
cos2θ＝－＝－，
sinθ＝＝.
3．已知θ为第二象限的角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos的值为( )
A．－ B．±
C． D．±
[答案] B
[解析] 由25sin2θ＋sinθ－24＝0，得(25sinθ－24)·(sinθ＋1)＝0，∴sinθ＝或sinθ＝－1.又∵θ为第二象限的角，∴sinθ＝，且是第一象限角或第三象限角，∴cosθ＝－＝－，cos＝±＝±.
4．若＝，则的值为( )
A．3 B．－3
C．－2 D．－
[答案] A
[解析] 由条件得tanθ＝－，
∴＝＝＝3.
二、填空题
5．函数y＝coscosx的最小正周期是________．
[答案] 2
[解析] y＝coscosx
＝cos·cosx
＝sinx·cosx
＝sinπx，
∴最小正周期T＝2.
6．设向量a＝(cosα，)的模为，则cos2α的值为________．
[答案] －
[解析] 由已知，得cos2α＋＝，∴cos2α＝.
∴cos2α＝2cos2α－1＝－.
三、解答题
7．已知θ为钝角，且coscos＝，求tanθ的值．
[解析] 由条件可知cos2θ＝，又2θ∈(π，2π)，
∴sin2θ＝－，∴tanθ＝＝－.
8．求证：＝sin2α.
[解析] 左边＝
＝＝
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴等式成立．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章3.2 倍角公式和半角公式第三章3.2.2 半角的正弦、余弦和正切台风是产生于热带洋面上的一种强烈热带气旋，台风经过时常伴随着大风和暴雨或特大暴雨等强对流天气，登陆后，可摧毁庄稼、各种建筑设施等，会给人民的生命、财产造成巨大损失．一根高10m的电线杆经台风的肆虐之后，电线杆倾斜且与地面的夹角为10°，你能求出此时电线杆的顶点与地面的距离吗？[答案] C[答案] C[答案] B[答案] －2运用半角公式化简、求值 [点评] 运用半角公式来解题，尤其要注意角的取值范围对符号的影响．三角恒等变换在实际问题中的应用
[分析] 在Rt△ABE和Rt△ACE中，利用公共的AE和θ、2θ、4θ，表示出BE、CE、DE，进而用AE和θ、2θ、4θ写出BC、CD，而BC、CD的长度已知，通过二者之比可以建立关于θ的方程，利用三角公式化简可得θ的三角函数值，从而求出角θ.
[点评] 这是一个三角函数在测量方面的应用问题．在解决过程中运用了初中几何解直角三角形的知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用，特别是切化弦，使得式子的分子、分母产生可以约分的项，这种转化方法应当引起重视．[点评] 三角恒等变形通常是通过比较角的差异，化异为同来解决问题的．第三章 3.3
一、选择题
1．sin75°－sin15°的值为( )
A． B．
C． D．－
[答案] B
[解析] sin75°－sin 15＝2cossin＝2××＝.故选B.
2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] C
[解析] 由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，
∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，
即cos2α－sin2β＝.
3．化简的结果为( )
A．tanα B．tan2α
C．cotα D．cot2α
[答案] B
[解析] 原式＝
＝
＝tan2α.
4．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－ D．
[答案] A
[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2αcos2β－cos2α＋cos2αcos2β
＝cos2β－cos2α＝－m.
5．计算sin105°cos75°的值是( )
A． B．
C．－ D．－
[答案] B
[解析] sin105°cos75°＝(sin180°＋sin30°)＝.
6．＝( )
A． B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ＝
＝＝.
二、填空题
7．(2014·河北邯郸市馆陶一中高一第二次调研)在△ABC中，已知sinBsinC＝cos2，则此三角形是________三角形．
[答案] 等腰
[解析] sinBsinC＝cos2＝，
∴2sinBsinC＝1－cos(B＋C)
＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，
即cos(B－C)＝1
又－π∴A－B＝0，∴A＝B.
故△ABC是等腰三角形．
8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.
[答案]
[解析] 原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20°
＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20°
＝cos60°＝.
三、解答题
9．求证：sin(α＋β)cosα－[sin(2α＋β)－sinβ]＝sinβ.
[解析] 解法一：左边＝sin(α＋β)cosα－[sin〔(α＋β)＋α〕－sinβ]
＝sin(α＋β)cosα－[sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα]＋sinβ＝[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]＋sinβ
＝sin[(α＋β)－α]＋sinβ＝sinβ＝右边．
解法二：左边
＝sin(α＋β)cosα－
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ＝右边．
一、选择题
1．已知sin(α－β)·cosα－cos(α－β)·sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ等于( )
A． B．－
C． D．－
[答案] B
[解析] sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(－β)＝－sinβ，
∴sinβ＝－m.又β为第三象限角，
∴cosβ＝－.
2．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] D
[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.
∴cosβ－cosα>0，
∴cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．
∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：
2sin·cos＝，
∴tan＝∴＝∴α－β＝.
3．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－，]
C．[－，] D．[－，]
[答案] C
[解析] cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴cosAsinC∈.
4．tan70°cos10°(tan20°－1)等于( )
A．1 B．－1
C． D．－
[答案] B
[解析] 原式＝cot20°cos10°(tan20°－1)
＝cot20°cos10°
＝cot20°cos10°
＝－＝－1.
二、填空题
5．sin220°＋cos280°＋sin20°·cos80°＝________.
[答案]
[解析] 原式＝＋＋sin100°－sin60°
＝－cos40°－cos20°＋sin100°
＝－×2cos30°cos10°＋cos10°
＝－cos10°＋cos10°＝.
6．计算－4cos10°＝________.
[答案]
[解析] －4cos10°＝
＝
＝＝.
三、解答题
7．求函数y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．
[解析] y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋sin2x
＝sin2x－cos2x＝2sin.
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.
递增区间为，.
8．在△ABC中，求证：
(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC；
(2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos.
[解析] (1)左边＝sin2A＋－
＝sin2A＋(cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sin(B＋C)2sinBcosC＝2sinAsinBcosC＝右边，
∴等式成立．
(2)左边＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右边，∴原等式成立．
9．讨论函数f(x)＝cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)·cosx·cosα的周期、最值、奇偶性及单调区间．
[解析] f(x)＝cos(2x－2α)＋－2cos(x－α)cosx·cosα
＝＋[cos(2x－2α)＋cos2α]－[2cos(x－α)·cosα]cosx
＝＋cosx·cos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]
＝－cos2x＝－＝－cos2x.
∴函数的最小正周期T＝＝π.
f(x)max＝，此时cos2x＝－1，
即2x＝2kπ＋π，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z；
f(x)min＝－，此时cos2x＝1，
即2x＝2kπ，k∈Z，x＝kπ，k∈Z.
f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，即kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的增区间为[kπ，kπ＋](k∈Z)．
由2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z.
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.
课件32张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 必修4 三角恒等变换第三章3.3 三角函数的积化和差与和差化积 第三章变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果．在前面几节的学习中，我们已领略了三角变换的风采，用么三角函数的和差与乘积之间怎样变换呢？1．三角函数的积化和差公式
sinαcosβ＝__________________________，
cosαsinβ＝__________________________，
cosαcosβ＝__________________________，
sinαsinβ＝__________________________.2．三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝_______________________，
sinα－sinβ＝_______________________，
cosα＋cosβ＝_______________________，
cosα－cosβ＝_______________________.[答案] C[答案] D[答案] A
[解析] ①②③④均不正确，故选A.5．sin105°＋sin15°＝________.三角函数式的求值、化简
[点评] 对于给式求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看 能否直接求结果；若不能，则再对所求化简，直到找到两者的联系为止．“走一走，看一看”对解此类问题是非常必要的．试图利用已知等式及平方关系分别求取cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解．三角恒等式的证明 [点评] 解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．
解法二：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．
解法三：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．
在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．