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人教版八年级上册数学进阶课堂小测——11.3多边形内角和（三阶）
数学考试
考试时间：30分钟 满分：50分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
3．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
4．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；多边形内角与外角
【解析】【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析。
【解答】①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S△AFG=S△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140°．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的。
【点评】此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念。
5．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．35 C．44 D．54
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2022七下·江都期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】根据余角的性质得∠1＝∠DEC，可得∠DEC+∠2=∠1+∠2＝90°，利用三角形内角和求出∠C＝90°，即得∠B+∠C＝180°，根据平行线的判定得AB∥CD，利用平行线的性质得∠BAD+∠ADC＝180°，由∠AEB≠∠BAD得∠AEB+∠ADC≠180°，据此判断①②；由角平分线的定义可得∠3＝∠1，结合∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，可得∠2＝∠4，据此判断③；根据平角的定义可求出∠EAM+∠EDN＝360°﹣（∠1+∠2）＝270°，利用角平分线的定义得∠EAF+∠EDF＝135°，结合∠3+∠4＝90°，利用角的和差求出∠FAD+∠FDA＝45°，再根据三角形的内角和求出∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝135°，据此判断④.
7．（2019七上·哈尔滨月考）如图，已知 ，点D、C分别是EM、BN上的点，连接BD、CE交于点F，满足 ， ，过点F作 交BN于点G，若 ，则 ．
【答案】36
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∴∠BFG＝90°
∴∠CFG＝90°－∠BFC＝90°－（180°－∠FBC－∠BCF）＝∠FBC＋∠BCF－90°，
∵
∴∠FBC＝EDF，∠BCF＝∠DEF
∵ ，
即∠A＝ ∠EFG＝ （90°＋∠DFE）＝ ＝
在四边形ABCE中，∠A+∠ABF+∠CBF+∠BCF+∠AEF＝360°
∵∠BCF＝∠AEF，∠ABF＝∠EDF
∴∠A＝360°－2∠CBF－2∠BCF
则 =360°－2∠CBF－2∠BCF
∴∠CBF＋∠BCF＝126°
∴∠CFG＝∠CBF＋∠BCF－90°＝126°－90°=36°
故答案为:36
【分析】根据平行线的性质，四边形的内角和进行求解即可。
8．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
9．（2020七下·建湖月考）小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍．你认为正确的内角和应该是 °.
【答案】1980
【知识点】一元一次不等式的特殊解；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设重复计算的角为x,
则（n-2）×180+x=2005,
x=2005-180n+360,
x=2365-180n
∵0∴0<2365-180n<180,
解得：12.14∴n=13（n为整数）.
∵（13-2）×180°=1980°，
故答案为：1980.
【分析】设重复计算的角为x, 根据多边形内角和公式列式，求出x的表达式，因为每个内角的范围是010．（2019七下·江岸月考）如图，直线 ， ， ， ， ，则 的大小是 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于 ，延长 交 于 .
，
，
， ，
，
，
，
在四边形 中， ，
故答案为 .
【分析】如图，延长 交 于 ，延长 交 于 .在四边形 中，利用四边形内角和定理即可解决问题.
11．（2017七下·常州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是 ．
【答案】175°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】如图所示，
∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD= （∠ADC+∠DCB），
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD= （∠O1DC+∠O1CD）= （∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O3DC+∠O3CD= （∠O2DC+∠O2CD）= （∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O5DC+∠O5CD= （∠O4DC+∠O4CD）= （∠ADC+∠DCB），
∴△CO5D中，∠CO5D=180°﹣（∠O5DC+∠O5CD）=180°﹣ （∠ADC+∠DCB），
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO5D=180°﹣ ×160°=180°﹣5°=175°，
故答案为：175°．
【分析】根据四边形的内角和是360°，由∠A+∠B=200°，得到另两个角的和是160°，再根据角平分线定义得到∠O1DC+∠O1CD的度数，依次类推得到∠O2DC+∠O2CD的度数，由规律得到∠O5DC+∠O5CD的代数式，再根据三角形内角和定理，得到∠CO5D的度数.
12．（2023七下·无锡期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
【答案】94°
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F ，
∴设∠ABF=∠EBF=∠BFH=α，∠DCG=∠ECG=∠CFH=β，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=α-β，
∴∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC，
∴∠E+2∠BFC=180°.
∵∠E-∠F=51°，
∴2∠E-2∠F=102°，
∴3∠E=282°，
∴∠E=94°.
故答案为：94°.
【分析】过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，根据角平分线的概念以及平行线的性质可得
∠ABF=∠EBF=∠BFH=α，∠DCG=∠ECG=∠CFH=β，根据邻补角的概念以及角的和差关系可得∠ECF=180°-β，∠BFC=α-β，结合四边形内角和为360°可得∠E+2∠BFC=180°，由已知条件可知∠E-∠F=51°，联立求解即可.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、综合题
得分
13．（2022八上·台州月考）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．
【答案】（1）解：结论：
∵∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，
∠1=180°-∠ADC，∠2=180°-∠ABC，
∴∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠C.
（2）解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，
∴∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，
∴∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），
∵∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO）=360°-∠A-∠C=360°-58°-152°=150°，
∴∠CDO+∠CBO=75°，
∴∠BOD=360°-（∠CDO+∠CBO+∠C）=360°-（75°+152°）=133°
（3）2∠O=∠C-∠A
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）结论：2∠O=∠C-∠A
理由如下：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C，
∵ BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，
∴∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，
∴∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，
∴360°-∠A-∠C=360°-2∠ODC-2∠OBC即∠A+∠C=2∠ODC+2∠OBC，
∴∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；
在四边形ADOB中 ∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，
∴∠A+360°-∠A-∠C+（∠A+∠C）+∠O=360°，
∴-∠C+（∠A+∠C）+∠O=0 ，
∴2∠O=∠C-∠A
【分析】（1）利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，利用平角的定义去证明∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，由此可得到∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系.
（2）利用角平分线的性质可知∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，可推出∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），利用四边形的内角和定理可求出∠CDO+∠CBO的值；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠BOD的度数.
（3） 在四边形ABCD中，利用四边形的内角和为360°，可证得∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C；利用角平分线的定义可推出∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，利用平角的定义可证得∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，再代入可推出∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；再在四边形ADOB中可得到∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，然后整体代入，可证得∠A、∠C与∠O的数量关系.
14．（2022七下·井研期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ ；（用含x，y的代数式表示）
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由：
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角．
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y；
②作图时发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【答案】（1）360°-x°-y°
（2）解：DE⊥BF，理由如下：
如图1，延长DE交BF于点H，
∵DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，
∴∠CDH=∠ADC，∠CBH=∠MBC，
由（1）可得：∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠A=∠C ＝90°，
∴∠MBC=∠ADC，
∴∠CDH=∠CBH，
又∵∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C ＝90°，
∴DE⊥BF.
（3）解：①由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-x°-y°，
∴180°-∠MBC+180°-∠CDN=360°-x°-y°，
∴∠MBC+∠CDN=x°+y°，
∵∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角，x°+y°=140°，
∴∠FBC+∠FDC=（x°+y°）=70°，
∵在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，
∴30°+x°+360°-x°-y°+70°=360°，
∴y=100°，
∴x=40°；
②若x=y，∠DFB不存在，理由如下：
∵x+y=140°，x=y，
∴x=y=70°，
由①可知：在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，
∴∠DFB+70°+360°-140°+70°=360°+∠DFB，
∴∠DFB=0°，
∴当x=y时，∠DFB不存在.
【知识点】多边形内角与外角；平面中直线位置关系；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°），
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠A+∠C）=360°-x°-y°.
故答案为：360°-x°-y°.
【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得∠ABC+∠ADC=360°-（∠A+∠C），代入数据即可求解；
（2）如图1，延长DE交BF于点H，由角平分线定义得∠CDH=∠ADC，∠CBH=∠MBC，由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C，结合∠MBC+∠ABC=180°，∠A=∠C＝90°，推出∠MBC=∠ADC，从而得∠CDH=∠CBH，进而得到∠BHE=∠C＝90°，即可证明DE⊥BF；
（3）①由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-x°-y°，由邻补角性质得180°-∠MBC+180°-∠CDN=360°-x°-y°，推出∠MBC+∠CDN=x°+y°，再由角平分线定义得∠FBC+∠FDC=（x°+y°）=70°，再由四边形内角和得∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，即30°+x°+360°-x°-y°+70°=360°，解得y=100°，代入求得x=40°；②若x=y，∠DFB不存在，由x=y，易得x=y=70°，由①可知：在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，得∠DFB+70°+360°-140°+70°=360°+∠DFB，则∠DFB=0°，即∠DFB不存在.
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题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
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第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
2．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
3．（2019八上·昭阳开学考）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
4．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④
5．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．35 C．44 D．54
阅卷人 二、填空题
得分
6．（2022七下·江都期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有 ．
7．（2019七上·哈尔滨月考）如图，已知 ，点D、C分别是EM、BN上的点，连接BD、CE交于点F，满足 ， ，过点F作 交BN于点G，若 ，则 ．
8．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形.
9．（2020七下·建湖月考）小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍．你认为正确的内角和应该是 °.
10．（2019七下·江岸月考）如图，直线 ， ， ， ， ，则 的大小是 .
11．（2017七下·常州期末）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是 ．
12．（2023七下·无锡期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、综合题
得分
13．（2022八上·台州月考）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．
（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；
（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．
14．（2022七下·井研期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ ；（用含x，y的代数式表示）
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由：
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角．
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y；
②作图时发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图所示，
共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；
故答案为：D.
【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；多边形内角与外角
【解析】【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析。
【解答】①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S△AFG=S△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140°．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的。
【点评】此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念。
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
6．【答案】①③④
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故答案为：①③④.
【分析】根据余角的性质得∠1＝∠DEC，可得∠DEC+∠2=∠1+∠2＝90°，利用三角形内角和求出∠C＝90°，即得∠B+∠C＝180°，根据平行线的判定得AB∥CD，利用平行线的性质得∠BAD+∠ADC＝180°，由∠AEB≠∠BAD得∠AEB+∠ADC≠180°，据此判断①②；由角平分线的定义可得∠3＝∠1，结合∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，可得∠2＝∠4，据此判断③；根据平角的定义可求出∠EAM+∠EDN＝360°﹣（∠1+∠2）＝270°，利用角平分线的定义得∠EAF+∠EDF＝135°，结合∠3+∠4＝90°，利用角的和差求出∠FAD+∠FDA＝45°，再根据三角形的内角和求出∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝135°，据此判断④.
7．【答案】36
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∴∠BFG＝90°
∴∠CFG＝90°－∠BFC＝90°－（180°－∠FBC－∠BCF）＝∠FBC＋∠BCF－90°，
∵
∴∠FBC＝EDF，∠BCF＝∠DEF
∵ ，
即∠A＝ ∠EFG＝ （90°＋∠DFE）＝ ＝
在四边形ABCE中，∠A+∠ABF+∠CBF+∠BCF+∠AEF＝360°
∵∠BCF＝∠AEF，∠ABF＝∠EDF
∴∠A＝360°－2∠CBF－2∠BCF
则 =360°－2∠CBF－2∠BCF
∴∠CBF＋∠BCF＝126°
∴∠CFG＝∠CBF＋∠BCF－90°＝126°－90°=36°
故答案为:36
【分析】根据平行线的性质，四边形的内角和进行求解即可。
8．【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
9．【答案】1980
【知识点】一元一次不等式的特殊解；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设重复计算的角为x,
则（n-2）×180+x=2005,
x=2005-180n+360,
x=2365-180n
∵0∴0<2365-180n<180,
解得：12.14∴n=13（n为整数）.
∵（13-2）×180°=1980°，
故答案为：1980.
【分析】设重复计算的角为x, 根据多边形内角和公式列式，求出x的表达式，因为每个内角的范围是010．【答案】
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，延长 交 于 ，延长 交 于 .
，
，
， ，
，
，
，
在四边形 中， ，
故答案为 .
【分析】如图，延长 交 于 ，延长 交 于 .在四边形 中，利用四边形内角和定理即可解决问题.
11．【答案】175°
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】如图所示，
∵∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1，
∴∠O1DC+∠O1CD= （∠ADC+∠DCB），
∵∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2，
∴∠O2DC+∠O2CD= （∠O1DC+∠O1CD）= （∠ADC+∠DCB），
同理可得，∠O3DC+∠O3CD= （∠O2DC+∠O2CD）= （∠ADC+∠DCB），
由此可得，∠O5DC+∠O5CD= （∠O4DC+∠O4CD）= （∠ADC+∠DCB），
∴△CO5D中，∠CO5D=180°﹣（∠O5DC+∠O5CD）=180°﹣ （∠ADC+∠DCB），
又∵四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°，
∴∠CO5D=180°﹣ ×160°=180°﹣5°=175°，
故答案为：175°．
【分析】根据四边形的内角和是360°，由∠A+∠B=200°，得到另两个角的和是160°，再根据角平分线定义得到∠O1DC+∠O1CD的度数，依次类推得到∠O2DC+∠O2CD的度数，由规律得到∠O5DC+∠O5CD的代数式，再根据三角形内角和定理，得到∠CO5D的度数.
12．【答案】94°
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F ，
∴设∠ABF=∠EBF=∠BFH=α，∠DCG=∠ECG=∠CFH=β，
∴∠ECF=180°-β，∠BFC=α-β，
∴∠E+∠BFC=360°-α-(180°-β)=180°-(α-β)=180°-∠BFC，
∴∠E+2∠BFC=180°.
∵∠E-∠F=51°，
∴2∠E-2∠F=102°，
∴3∠E=282°，
∴∠E=94°.
故答案为：94°.
【分析】过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，根据角平分线的概念以及平行线的性质可得
∠ABF=∠EBF=∠BFH=α，∠DCG=∠ECG=∠CFH=β，根据邻补角的概念以及角的和差关系可得∠ECF=180°-β，∠BFC=α-β，结合四边形内角和为360°可得∠E+2∠BFC=180°，由已知条件可知∠E-∠F=51°，联立求解即可.
13．【答案】（1）解：结论：
∵∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，
∠1=180°-∠ADC，∠2=180°-∠ABC，
∴∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+∠C.
（2）解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，
∴∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，
∴∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），
∵∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO）=360°-∠A-∠C=360°-58°-152°=150°，
∴∠CDO+∠CBO=75°，
∴∠BOD=360°-（∠CDO+∠CBO+∠C）=360°-（75°+152°）=133°
（3）2∠O=∠C-∠A
【知识点】多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）结论：2∠O=∠C-∠A
理由如下：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C，
∵ BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，
∴∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，
∴∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，
∴360°-∠A-∠C=360°-2∠ODC-2∠OBC即∠A+∠C=2∠ODC+2∠OBC，
∴∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；
在四边形ADOB中 ∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，
∴∠A+360°-∠A-∠C+（∠A+∠C）+∠O=360°，
∴-∠C+（∠A+∠C）+∠O=0 ，
∴2∠O=∠C-∠A
【分析】（1）利用四边形的内角和为360°，可得到∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，利用平角的定义去证明∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，由此可得到∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系.
（2）利用角平分线的性质可知∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，可推出∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），利用四边形的内角和定理可求出∠CDO+∠CBO的值；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠BOD的度数.
（3） 在四边形ABCD中，利用四边形的内角和为360°，可证得∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C；利用角平分线的定义可推出∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，利用平角的定义可证得∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，再代入可推出∠ODC+∠OBC=（∠A+∠C）；再在四边形ADOB中可得到∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，然后整体代入，可证得∠A、∠C与∠O的数量关系.
14．【答案】（1）360°-x°-y°
（2）解：DE⊥BF，理由如下：
如图1，延长DE交BF于点H，
∵DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，
∴∠CDH=∠ADC，∠CBH=∠MBC，
由（1）可得：∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠A=∠C ＝90°，
∴∠MBC=∠ADC，
∴∠CDH=∠CBH，
又∵∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C ＝90°，
∴DE⊥BF.
（3）解：①由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-x°-y°，
∴180°-∠MBC+180°-∠CDN=360°-x°-y°，
∴∠MBC+∠CDN=x°+y°，
∵∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角角平分线构成的锐角，x°+y°=140°，
∴∠FBC+∠FDC=（x°+y°）=70°，
∵在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，
∴30°+x°+360°-x°-y°+70°=360°，
∴y=100°，
∴x=40°；
②若x=y，∠DFB不存在，理由如下：
∵x+y=140°，x=y，
∴x=y=70°，
由①可知：在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，
∴∠DFB+70°+360°-140°+70°=360°+∠DFB，
∴∠DFB=0°，
∴当x=y时，∠DFB不存在.
【知识点】多边形内角与外角；平面中直线位置关系；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°），
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠A+∠C）=360°-x°-y°.
故答案为：360°-x°-y°.
【分析】（1）利用四边形内角和为360°，得∠ABC+∠ADC=360°-（∠A+∠C），代入数据即可求解；
（2）如图1，延长DE交BF于点H，由角平分线定义得∠CDH=∠ADC，∠CBH=∠MBC，由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C，结合∠MBC+∠ABC=180°，∠A=∠C＝90°，推出∠MBC=∠ADC，从而得∠CDH=∠CBH，进而得到∠BHE=∠C＝90°，即可证明DE⊥BF；
（3）①由（1）得：∠ABC+∠ADC=360°-x°-y°，由邻补角性质得180°-∠MBC+180°-∠CDN=360°-x°-y°，推出∠MBC+∠CDN=x°+y°，再由角平分线定义得∠FBC+∠FDC=（x°+y°）=70°，再由四边形内角和得∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，即30°+x°+360°-x°-y°+70°=360°，解得y=100°，代入求得x=40°；②若x=y，∠DFB不存在，由x=y，易得x=y=70°，由①可知：在四边形ABFD中，∠DFB+∠A+∠ABC+∠ADC+∠FBC+∠FDC=360°，得∠DFB+70°+360°-140°+70°=360°+∠DFB，则∠DFB=0°，即∠DFB不存在.
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