江苏省泰州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省泰州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 620.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-07 18:22:35 | ||
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文档简介
泰州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知向量与垂直，则实数x的值为（ ）
A． B． C．4 D．10
2．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ）
A．7 B．12 C．21 D．42
3．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布．则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，．
A．23 B．46 C．158 D．317
5．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．6 B．10 C．24 D．35
6．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 2.3 4.3 4.4 4.8 m
A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
7．已知三棱柱的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，，若和相交于点M．则（ ）
A． B．2 C． D．
8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有．某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．随机变量X服从以下概率分布：
X 1 2 3
P a b
若，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．关于二项式的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．含的项的系数为 B．二项式系数和为32
C．常数项为10 D．只有第3项的二项式系数最大
11．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X～0－1分布，则方差
B．正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1
C．若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1
D．若，，，则事件A与B相互独立
12．如图，正方形ABCD的边长为2，AE和CF都与平面ABCD垂直，，点P在棱DE上，则下列说法正确的有（ ）
A．四面体BDEF外接球的表面积为
B．四面体BDEF外接球的球心到直线AE的距离为
C．当点P为DE的中点时，点P到平面BEF的距离为
D．直线EF与平面PAB所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：______．（用数字作答）
14．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______．
15．在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，，，则直线AM与CN夹角的余弦值为______．
16．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为．质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
设．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题12分）
某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下列联表：
关注 不关注 合计
男性 50 50 100
女性 30 70 100
合计 80 120 200
（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为，且相互独立．设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为，求的概率分布和数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（本小题12分）
某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序．在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加．
20．（本小题12分）
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为．
（1）求m的值；
（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个自球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率．
21．（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点。
请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：
（1）求二面角所成角的正弦值；
（2）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围．
条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为．
22．（本小题12分）
某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如下表所示．
x 3 4 5 6 6 7 8 9
y
（1）根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）；
（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，其中c为单个零件的加工成本（单位：元），且．引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差．若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？
附：（1）参考数据：，．
（2）参考公式：，，．
（3）若随机变量服从正态分布，则，．
泰州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A B C D B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 AD BC ABD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．35 14．（答案不唯一，在内均可）
15． 16．；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
解：（1）∵，，∴．
（2）令，得；令，得；
∵，∴．
18．（本小题12分）
解：（1）提出假设：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异．
由列联表中的数据可得：，
因为当成立时，，这里的，
所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异．
（2）由题意知的可能取值为：0，1，2，3．因为，
所以，其中0，1，2，3，
故的概率分布表为：
0 1 2 3
P
所以，
所以随机变量的数学期望为1．
19．（本小题12分）
解：（1）完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有种方法；第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法．
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法．
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法．
20．（本小题12分）
解：记事件：从甲袋中取出2个红球，事件：从甲袋中取出2个白球，事件：从甲袋中取出1个红球和1个白球，事件B：从乙袋中取出2个红球，事件C：从乙袋中取出1个红球和1个白球．
（1）因为，
所以，所以（负舍），故m的值为2．
（2），
，．
所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为．
21、（本小题12分）
解：因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC，
所以，，又．
以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，（，），
则，，，，，．
（1）选①②
由①得平面的面积为，由②得，
解得，．所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设二面角所成角的平面角为，
所以，因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
选①③
由①得平面的面积为，
由①利③得，即，解得，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设二面角所成角的平面角为，
所以，
因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
（2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以，
因为，，所以，所以，
设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知
，
因为，所以，
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为．
解法二：设，
由得，
因为，所以，即，所以．
设CP与平面所成角为，，
又由（1）知，平面的一个法向量为，
所以，，因为，所以．
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为．
22．（本小题12分）
解：（1）由，得，
即，由得（负舍）．
因为，所以，
，
所以，所以，所以，
所以，y关于x的线性回归方程为．
（2）未引进新的工业软件前，，所以，
又，即，所以，所以（元）．
引进新的工业软件后，，所以，，
若保持零件加工质量不变，则，所以（元），因为（元），
所以单个零件加工的成本下降了8元．
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知向量与垂直，则实数x的值为（ ）
A． B． C．4 D．10
2．书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为（ ）
A．7 B．12 C．21 D．42
3．口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同．任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需的时间，发现这些学生每天完成作业所需的时间（单位：小时）近似地服从正态分布．则这1000名学生中每天完成作业所需的时间不少于1.5小时的人数大约为（ ）
附：随机变量服从正态分布，则，．
A．23 B．46 C．158 D．317
5．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．6 B．10 C．24 D．35
6．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
x 0 1 2 3 4
y 2.3 4.3 4.4 4.8 m
A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
7．已知三棱柱的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，，若和相交于点M．则（ ）
A． B．2 C． D．
8．在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有．某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为．则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．随机变量X服从以下概率分布：
X 1 2 3
P a b
若，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．关于二项式的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．含的项的系数为 B．二项式系数和为32
C．常数项为10 D．只有第3项的二项式系数最大
11．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X～0－1分布，则方差
B．正态密度曲线在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1
C．若两个变量的相关性越强，则其相关系数越接近于1
D．若，，，则事件A与B相互独立
12．如图，正方形ABCD的边长为2，AE和CF都与平面ABCD垂直，，点P在棱DE上，则下列说法正确的有（ ）
A．四面体BDEF外接球的表面积为
B．四面体BDEF外接球的球心到直线AE的距离为
C．当点P为DE的中点时，点P到平面BEF的距离为
D．直线EF与平面PAB所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算：______．（用数字作答）
14．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______．
15．在棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，，，则直线AM与CN夹角的余弦值为______．
16．一质点从平面直角坐标系原点出发，每次只能向右或向上运动1个单位长度，且每次运动相互独立，质点向上运动的概率为．质点运动5次后，所在位置对应的坐标为（3，2）的概率为______，质点运动2023次后，最有可能运动到的位置对应的坐标为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
设．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题12分）
某市举办大型车展，为了解该市人民对此次大型车展的关注情况，在该市随机地抽取男性和女性各100人进行调查统计，得到如下列联表：
关注 不关注 合计
男性 50 50 100
女性 30 70 100
合计 80 120 200
（1）能否有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差差异？
（2）有3位市民去参观此次大型车展，假设每人去新能源汽车展区的概率均为，且相互独立．设这3位市民参观新能源汽车展区的人数为，求的概率分布和数学期望．
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（本小题12分）
某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序．在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
（1）男选手甲必须参加，且第4位出场；
（2）男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
（3）男选手甲和女选手乙至少有一人参加．
20．（本小题12分）
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和m（，）个红球，这些球除颜色外完全相同，现先从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任意取出2个球，已知从乙袋中取出的是两个红球的概率为．
（1）求m的值；
（2）在从乙袋中取出的两球是一个红球和一个自球的条件下，求从甲袋中取出的是两个红球的概率．
21．（本小题12分）
如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点。
请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：
（1）求二面角所成角的正弦值；
（2）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围．
条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为．
22．（本小题12分）
某软件科技公司近8年的年利润y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如下表所示．
x 3 4 5 6 6 7 8 9
y
（1）根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，请用最小二乘法求出线性回归方程（，用分数表示）；
（2）某配件加工厂加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，其中c为单个零件的加工成本（单位：元），且．引进该公司最新研发的某工业软件后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差．若保持零件加工质量不变（即误差的概率分布不变），则单个零件加工的成本下降了多少元？
附：（1）参考数据：，．
（2）参考公式：，，．
（3）若随机变量服从正态分布，则，．
泰州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A B C D B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 AD BC ABD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．35 14．（答案不唯一，在内均可）
15． 16．；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
解：（1）∵，，∴．
（2）令，得；令，得；
∵，∴．
18．（本小题12分）
解：（1）提出假设：男性和女性对此次大型车展的关注程度没有明显差异．
由列联表中的数据可得：，
因为当成立时，，这里的，
所以我们有99%的把握认为男性和女性对此次大型车展的关注程度有明显差异．
（2）由题意知的可能取值为：0，1，2，3．因为，
所以，其中0，1，2，3，
故的概率分布表为：
0 1 2 3
P
所以，
所以随机变量的数学期望为1．
19．（本小题12分）
解：（1）完成该件事情可分两步进行：第一步，选出选手，有种方法；第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法．
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法．
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法．
20．（本小题12分）
解：记事件：从甲袋中取出2个红球，事件：从甲袋中取出2个白球，事件：从甲袋中取出1个红球和1个白球，事件B：从乙袋中取出2个红球，事件C：从乙袋中取出1个红球和1个白球．
（1）因为，
所以，所以（负舍），故m的值为2．
（2），
，．
所以在从乙袋中取出1个红球和1个白球的条件下，从甲袋中取出两个红球的概率为．
21、（本小题12分）
解：因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC，
所以，，又．
以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，（，），
则，，，，，．
（1）选①②
由①得平面的面积为，由②得，
解得，．所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设二面角所成角的平面角为，
所以，因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
选①③
由①得平面的面积为，
由①利③得，即，解得，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，取，则，
设二面角所成角的平面角为，
所以，
因为，所以，
所以二面角所成角的正弦值为．
（2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以，
因为，，所以，所以，
设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知
，
因为，所以，
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为．
解法二：设，
由得，
因为，所以，即，所以．
设CP与平面所成角为，，
又由（1）知，平面的一个法向量为，
所以，，因为，所以．
所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为．
22．（本小题12分）
解：（1）由，得，
即，由得（负舍）．
因为，所以，
，
所以，所以，所以，
所以，y关于x的线性回归方程为．
（2）未引进新的工业软件前，，所以，
又，即，所以，所以（元）．
引进新的工业软件后，，所以，，
若保持零件加工质量不变，则，所以（元），因为（元），
所以单个零件加工的成本下降了8元．
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