数学人教A版（2019）必修第一册3.2.3函数的奇偶性（共24张ppt）

(共24张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2.3 函数的奇偶性
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
3.2.3 函数的奇偶性
观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2-的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
图形特征：图象关于y轴对称；
符号表达： ？
1
偶函数
符号表达： x∈R, f(-x)=f(x)
称y=x2为偶函数.
同理，y=2-也是偶函数.
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如，函数f(x)=x2+1, g(x)=都是偶函数.
观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
图形特征：图象关于原点O对称；
符号表达： ？
2
奇函数
符号表达： x∈R, f(-x)=-f(x)
称y=x为奇函数.
同理，y=也是奇函数.
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝-f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数.
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
x
y
o
y=x3
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t= .
答案：t = 1
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+; (4)f(x)=;
(5)f(x)=x-1; (6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
答案：(1) 偶 ; (2) 奇 ; (3) 奇 ; (4) 偶 ;
(5) 非奇非偶 ; (6) 非奇非偶 ;
知识篇
素养篇
思维篇
3.2.3 函数的奇偶性
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)= .
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
从而g(-m)=-g(m)=-1
故 f(-m)=g(-m)+4= 3
方法：利用奇函数的性质，推导出f(m)与f(-m)的关系.
2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且
f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式.
解：用-x替换f(x) +g(x)=x2+2x中的x，得
f(-x)+g(-x)=x2-2x ①
由已知，f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)，
所以有： f(x)-g(x)=x2-2x ②
联立①②，解得f(x)=x2 ，g(x)=2x
方法：利用奇偶性质构造对偶式，是解决此类问题的关键.
3.函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)+1；
求f(x)的解析式.
解：由 f(-0)=-f(0)知 f(0)=0
当x<0时，-x>0 , 从而f(-x)=-x(1-x)+1,
又f(-x)=-f(x)
所以x<0时 f(x)=x(1-x)-1，
故f(x)解析式为 f(x)=
4.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断
y=f(x)+g(x), y=f(x)g(x), y=f[g(x)]的奇偶性.
解：因为f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x))
所以y=f(x)+g(x)是R上的奇函数；
因为f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x)
所以y=f(x)g(x)是R上的偶函数；
因为f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)]
所以y=f[g(x)]是R上的奇函数.
方法：判断组合函数或复合函数的奇偶性时，先验证定义
域关于原点对称，再验证f(x)与f(-x) 的关系.
知识篇
素养篇
思维篇
3.2.3 函数的奇偶性
5.定义在［-5,5]上的奇函数f(x)部分图象如图，
则不等式 x f(x)>0 的解集为 .
方法：奇函数图象关于坐标原点对称；数与形结合，可直接
读取不等式的解集.
答案：(-5，-2)∪(0，2)
数形结合
6.判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=
(2) f(x)= (a∈R)
解：(1)当x<-1时，-x>1,
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
分类讨论
6.判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=
(2) f(x)= (a∈R)
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)=是奇函数；
当a=0时，f(x)=0在R上恒成立
函数f(x)=既是奇函数又是偶函数.
方法：定义域关于原点对称，只需分两种情况考虑f(x)与
f(-x)的关系即可.
分类讨论
7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则不等式
f(x-1)+f(2x+4)>0 的解集为 .
简解：由 f(x-1)+f(2x+4)>0
推出 f(x-1)>-f(2x+4)= f(-2x-4)
又f(x)在[0,+∞)上单调递减，
由对称性知 f(x)在R上单调递减,
所以x-1<-2x-4
解得：x<-1
方法：逆用奇函数的性质，将函数式约束条件转化为自变
量的约束条件.
转化与化归
课堂小结
一、本节课学习的新知识
偶函数
奇函数
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
直观想象
三、本节课训练的数学思想方法
数形结合
课堂小结
分类讨论
转化与化归
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业