数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性（共28张ppt）

(共28张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2.1 函数的单调性
高中数学/人教A版/必修一
知识篇
素养篇
思维篇
3.2.1 函数的单调性
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据.
数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”(如图)
1
2
3
t
y
o
20
40
60
80
记忆的数量(百分数)
天数
100
你能用自然语言描述记忆量y随着时间t的变化而变化的趋势吗？
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性．
下面进一步用符号语言刻画这种性质．
先研究二次函数 f(x)＝x2 的单调性.
如图，图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小．
用符号语言描述:任意取x1，x2∈(－∞,0］，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么
当x1＜x2时，有f(x1)>f(x2)．
这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间(－∞,0］上是单调递减的.
如图，图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大．
用符号语言描述:任意取x1，x2∈[0,+∞)，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么
当x1＜x2时，有f(x1)＜ f(x2)．
这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间[0,+∞)上是单调递增的.
思考：
函数f(x)＝-x2 和 f(x)＝各有怎样的单调性？
1
函数的单调性
一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D I：
如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
x
y
o
m
n
f(x1)
x1
x2
f(x2)
1
函数的单调性
一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D I：
如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
f(x1)
x1
x2
f(x2)
O
x
y
m
n
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．
例1.上图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数
函数 f(x)= 有单调递减区间 ；
能否说 f(x)= 是单调递减函数？为什么？
思考
例2.根据定义证明以下各命题：
2
函数的单调性的证明
(1)函数f(x)= 在定义域上是增函数;
(2)函数 f(x)=-x3 在定义域上是减函数.
证明：(1)定义域为[0, + ∞).
x1,x2[0, + ∞)，且x1y1-y2=
=
由x1所以，函数f(x)=在定义域上是增函数.
取点
作差
变形
定号
结论
例2.根据定义证明以下各命题：
2
函数的单调性的证明
(1)函数f(x)= 在定义域上是增函数;
(2)函数 f(x)=-x3 在定义域上是减函数
证明：(2)定义域为R.
x1,x2R，且x1y1-y2 = x23-x13 =(x2-x1)(x22-x1x2+x12)
=(x2-x1)[(x2-x1)2+x12]
由x10
得 y1-y2 > 0 ,即y1>y2
所以，函数f(x)=-x3 在定义域上是减函数.
根据定义证明函数 f(x)=x+ 在[1, +∞)上是增函数.
练一练
知识篇
素养篇
思维篇
3.2.1 函数的单调性
1）函数y＝x2－4x＋5的单调区间是 .
问题系列：
答案：单调递增区间：[2, +∞)
单调递减区间：[-∞, 2)
2）函数y＝x2－4x＋5在区间(4, 5)上单调递增吗？
问题系列：
答案：单调递增
3）函数y＝x2－4x＋5的单调递增区间是(4, 5)吗？
问题系列：
答案：不是
4）函数y＝x2－4x＋5在区间(k, 5)上单调,则k∈ ；
问题系列：
答案：2问题系列：
5）函数y＝x2－4x＋5在区间(k, k+3)上不单调,则
k∈ .
答案: -1知识篇
素养篇
思维篇
3.2.1 函数的单调性
1.若函数 的单调递减区间
为 ，则 a 的值为______.
答案：a=-3
2. 若函数 在区间
上是减函数，则实数 a 的取值范围是________.
答案：a≤-3
3. 若函数 f(x)是定义域为R的减函数，且 f(a-2)则a的取值范围是 ；
答案：4. 若函数 f(x)定义域为[-1, 1]，对于x1,x2[-1, 1]，
<0恒成立，且f(a-2)范围是 .
答案：课堂小结
一、本节课学习的新知识
函数的单调性
单调区间
二、本节课提升的核心素养
数学抽象
数据分析
课堂小结
直观想象
数学建模
三、本节课训练的数学思想方法
分类讨论
课堂小结
数形结合
函数思想
01
基础作业： .
02
能力作业： .
03
拓展延伸：（选做）
作业