直线的方程-2024年新高考数学一轮考点题型高分精准复习
专题 直线的方程
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点二 直线与线段相交求斜率范围
考点三 两直线的位置关系
考点四 求直线的方程
考点五 与直线方程有关的最值问题
考点六 距离问题
考点七 对称问题
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．
（2）范围：直线l倾斜角的范围是
2．斜率公式
（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）在直线l上，且，则直线l的斜率．
二、直线的方程
方程 适用范围
点斜式： 不包含直线
斜截式： 不包含垂直于x轴的直线
两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时）
截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用
三、两条直线的位置关系
位置关系 与 与
相交
垂直
平行 且 或
重合 且
注意：
（1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况；
（2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
四、距离问题
条件 距离公式
点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线与的距离
五、对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为；
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过，两点，且倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由斜率公式直接列方程求解即可.
【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为，
所以，解得，
故选：C.
例2．（2023·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为______．
【答案】
【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得，由此可得倾斜角；
方法二：根据三角函数定义可知在圆上，根据图形关系可求得，由此可得倾斜角.
【分析】方法一：设直线的倾斜角为，
则.
直线的倾斜角为；
方法二：由三角函数的定义可知：点在圆上，如图所示，
设为直线与轴的交点，则，，
，又，，
，直线的倾斜角为.
故答案为：.
例3．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
例4．（2022秋·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知直角坐标系中，连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据斜率的定义以及斜率的坐标公式即可判断．
【详解】因为，，，而在上单调递增，且，在上递增，且，，所以连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线为，其斜率为．
故选：B．
例5．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）倾斜角为的直线经过点和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由倾斜角和两点坐标分别表示出斜率，由此可构造方程求得的值.
【详解】直线斜率，.
故选：C.
考点二 直线与线段相交求斜率范围
例6．（2023秋·江西抚州·高三统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
例7．（2022秋·广东梅州·高三校联考阶段练习）已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率分别为,
结合图形可知：直线过点且与线段相交时，，
故选：B
例8．（2023·全国·高二专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
例9．（2022秋·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以直线的斜率的取值范围是或.
故答案为：或
例10．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点的求法可求得直线恒过定点，由此可得临界值，根据直线与线段相交可得的范围.
【详解】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，
直线与线段相交，直线的斜率或.
故选：A.
考点三 两直线的位置关系
例11．（2023秋·高三课时练习）以为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.
【详解】
在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，
，
，
所以四边形ABCD是直角梯形；
故选：D.
例12．（2022秋·青海海东·高三校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标；
【详解】设C点标为，直线AH斜率，
∴，而点B的横坐标为6，则，
直线BH的斜率，
∴直线AC斜率，
∴，
∴点C的坐标为．
故选:.
例13．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．
【答案】或
【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故答案为：或.
例14．（2023秋·广东广州·高三广州市培正中学校考期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.
【答案】
【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．
【详解】因为，，所以，
因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在，
又，，则，，
又所以，解得．
所以．
故答案为：.
例15．（2022秋·高三课时练习）若直线与直线平行，则a的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用直线平行的性质得到关于的方程组，从而得解.
【详解】因为直线与直线平行，显然，
所以，即，解得，
所以.
故选：D.
考点四 求直线的方程
例16．（2021秋·高三课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.
【详解】因为是直线和的公共点，
所以，且，
所以两点和都在同一条直线上，
故两点和所确定的直线方程是，
故选:A.
例17．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知点，则直线的一般式方程为___________.
【答案】
【分析】利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可.
【详解】，
则直线的方程为，即.
故答案为：.
例18．（2022秋·江苏常州·高三常州高级中学校考阶段练习）直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为_________.
【答案】
【分析】设出直线的方程，代入，求出答案.
【详解】设直线的方程为，将代入可得，
解得，故直线的方程为.
故答案为：
例19．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用直线l过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答.
【详解】依题意，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，方程为，即；
当直线不不过原点时，设直线的方程为，于是，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
故答案为：或
例20．（2021秋·高三课时练习）过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是________.
【答案】=1或=1
【分析】设直线的方程为，根据条件先求a,再列方程求解即可.
【详解】设直线的方程为=1，点在直线上，
∴.
由得或，∴所求直线的方程为=1或=1.
故答案为: 或.
考点五 与直线方程有关的最值问题
例21．（2021秋·陕西·高三校考阶段练习）已知直线过定点P，若点P在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先求出定点，然后利用点P在直线上得到，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为直线可化为：，
令，解得：，所以定点，
又因为点P在直线上，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：.
例22．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
【答案】10
【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值.
【详解】由得，故,由得,
由于直线与直线互相垂直，所以,
故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10
故答案为：10
例23．（2023届江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试数学试题）设，直线，直线，记分別过定点，且与的交点为，则的最大值为__________.
【答案】4
【分析】根据题意得到直线恒过定点，直线恒过定点，以及直线与的斜率，得到，求得，结合，即可求解.
【详解】由直线，可化为，可直线恒过定点，
直线，可化为，可得直线恒过定点，
又由直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以，
因为与的交点为，所以，
又由，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
例24．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）已知直线．
(1)求直线过定点的坐标；
(2)当直线时，求直线的方程；
(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直线可化为即可得解；
（2）根据已知条件列式求出即可得解；
（3）根据直线的方程，分别求出直线在轴，轴上的截距，再结合三角形的面积公式，以及基本不等式的公式即可求解.
【详解】（1）直线可化为，
直线过定点．
（2）直线，，，
直线的方程为，
即直线的方程为．
（3）解法：设，
直线过得：，
，当且仅当，即取等号，
，
，当时，最小值为，
此时，直线的方程为，即．
解法：由直线的方程得：，，由题设得：．
当且仅当时取等号．
取最小值时，直线的方程为．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点坐标分别是，，.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程；
(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得的中点坐标，进而可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（2）由斜率公式可得的斜率，由平行关系可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（3）由条件可得直线的斜率，可得其范围，进而可得倾斜角的范围．
【详解】（1）解：，，，
的中点坐标为，
中线的斜率为，
中线所在直线的方程为：，即；
（2）解：由已知可得AB的斜率为，
与直线平行的直线的斜率也为，
所求直线的方程为，
化为一般式可得；
（3）解：可得直线AD的斜率为，
直线倾斜角的取值范围为.
考点六 距离问题
例26．（2023春·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.
【详解】由题意知，直线：恒过定点，
直线：恒过定点，如图所示，
过作的垂线段，垂足为，
那么必有，当且仅当与重合时取等号，
从而的最大值为，
即点到直线：距离的最大值是.
故选：D.
例27．（2023秋·高三课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得，，即解得或.
故选：C
例28．（2021秋·高三课时练习）点关于点对称，则________．
【答案】
【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可.
【详解】由已知得，解得，即，
故答案为：
例29．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
【答案】3
【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得且，
所以直线为，
直线化为，
因为两平行线间的距离为，
所以，得，
因为
所以，得，
所以，
故答案为：3
例30．（2023秋·高三课时练习）求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程．
【答案】直线l的方程为或．
【分析】求出交点，讨论斜率，由距离公式得出所求方程.
【详解】由，解得，即两直线的交点为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，显然满足与原点距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.
由题意可得，两边平方整理得，即.
即直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
考点七 对称问题
例31．（2023秋·高三课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．
【答案】
【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将关于点对称的点代入已知直线中求解.
【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即，
故答案为：
例32．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为______．
【答案】
【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.
【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,
设关于直线的对称点，，解得；
由反射光线性质知
所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，
.
故答案为：.
例33．（2022秋·高三课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________.
【答案】
【分析】先利用对称的性质得到关于的坐标的方程组，解之即可求得点的坐标；再利用直线垂直的性质，结合待定系数法即可得解.
【详解】依题意，设，则，解得，
即点Q的坐标为，
设与直线垂直的直线方程为，
将代入该式，得，故，
所以所求直线方程为.
故答案为：；.
例34．（2022秋·高三课时练习）已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为____，此时点的坐标为_____.
【答案】
【分析】点关于轴的对称点为，分析可知当且仅当、、三点共线时，取得最小值为，求出直线的方程，在直线的方程中，令可求得点的坐标.
【详解】如下图所示：
点关于轴的对称点为，由对称性可知，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
直线的斜率为，直线的方程为，即，
联立，可得，即点，
故当点的坐标为时，取得最小值.
故答案为：；.
例35．（2023秋·高三课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．
【答案】 4 2
【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答.
【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点，
于是，整理得，解得，
所以.
故答案为：4；2
一、单选题
1．（广西南宁市第二十六中学等3校2022-2023学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
2．（2022·全国·高三假期作业）设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．坐标原点到直线的距离的最大值为
【答案】B
【分析】根据两直线平行和垂直的公式，列式求解，判断直线所过定点，利用数形结合判断D.
【详解】当两直线平行时，，即，
解得：或，
当时，代入两直线，，，两直线重合，不平行，故舍去，
当时，代入两直线，，，两直线平行，所以，故A错误，B正确；
当两直线垂直时，，整理为：或，故C错误；
D. ，即，可知直线恒过定点，所以原点到直线的距离的最大值为原点和定点间的距离，故D错误.
故选：B
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案.
【详解】直线，整理得，
由，解得，故直线过定点
故点到直线的距离的最大值为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【详解】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A
5．（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.
【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若平行，则，即；
若平行，则，即无解；
若平行，则，即；
若三条直线交于一点，，可得或；
经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.
故选：B
6．（2023秋·高三课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
【详解】由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
7．（2023秋·高三课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（ ）
A．三条直线的倾斜角之和为
B．三条直线在y轴上的截距满足
C．三条直线的倾斜角满足
D．三条直线在x轴上的截距之和为．
【答案】C
【分析】根据直线方程的斜率、倾斜角、截距的概念逐项判断即可.
【详解】设三条直线的倾斜角，且
则，所以
所以，且为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于，故A不正确；
对于直线，令，得纵截距，同理，所以，故B不正确；
由于，且为锐角，所以，由，故，故C正确；
直线在x轴上的截距分别为，截距之和为，故D不正确.
故选：C.
8．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.
【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
二、多选题
9．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）下列四个结论，其中正确的有（ ）．
A．方程与方程表示同一条直线
B．直线恒过定点
C．直线的倾斜角为135°
D．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条
【答案】BC
【分析】根据的范围即可判断A；根据直线过定点的求法即可判断B；根据直线方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系即可判断C；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D．
【详解】对于A，由方程中的，而方程中的，所以两个方程表示不同的直线，故A错误；
对于B，当时，不管为何值，，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C，由，则，即直线斜率为，所以其倾斜角为135°，故C正确；
对于D，当直线在坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在坐标轴上的截距都不为0时，可设其方程为，则，解得，此时直线方程为，
所以过点，且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故D错误．
故选：BC．
10．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（ ）
A．存在实数α，使l1l2，
B．存在实数α，使l2l3；
C．对任意实数α，都有l1⊥l4
D．存在点到四条直线距离相等
【答案】ACD
【分析】利用直线平行、直线垂直的条件和点到直线的距离逐项检验即可求解.
【详解】当时，，故选项A正确；
，所以与不平行，故选项B错误；
恒成立，，故选项C正确；
坐标原点到四条直线距离均为1，故选项D正确.
故选：ACD.
11．（2023春·山东菏泽·高三统考期末）下列结论正确的有（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5
D．直线与直线之间的距离为
【答案】ABD
【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系求出a判断B；利用对称方法求出两点的距离判断C；求出平行间距离判断D作答.
【详解】对于A，直线的斜率，则直线的倾斜角为，A正确；
对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确；
对于C，关于x轴对称点，连接交x轴于点，在x轴上任取点，连接，如图，
，当且仅当点与重合时取等号，
因此，C错误；
对于D，直线与直线平行，直线化为，
管两条直线间距离为，D正确.
故选：ABD
12．（2022秋·福建福州·高三福建省连江第一中学校联考期中）已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在
C．当时，直线在轴上的截距为-2 D．当时，直线与直线平行
【答案】CD
【分析】当，到直线距离相等时，或，A错误，直线斜率为，B错误，取，则，C正确，计算，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，解得或，错误；
对选项B：时，，直线斜率为，错误；
对选项C：时，，取，则，正确；
对选项D：时，，，不过A点，，，正确；
故选：CD
三、填空题
13．（2023秋·高三课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出折痕所在直线的方程，再利用对称的性质求解作答.
【详解】依题意，点与点关于折痕所在直线对称，则折痕所在直线的方程为，
因此点关于直线的对称点为，
所以与点重合的点的坐标是.
故答案为：
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）在直角坐标系xOy中，点A、B分别在射线和上运动，且的面积为1，则周长的最小值为______________．
【答案】/
【分析】设，，根据面积为1可得，根据基本不等式可求周长的最小值.
【详解】因为，故直线与直线垂直.
设，，
故，故.
设的周长为，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
15．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知直线，，则直线的倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则有，，再根据正切函数的性质即可求得答案.
【详解】解：因为直线，，
所以直线的斜率，
所以，
设直线的倾斜角为，
则有，
又因为，
所以.
故答案为：
16．（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
【答案】
【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可.
【详解】
由题意可设方程为：，
令，得，
令，得，
由题意知：，
得，
故直线方程为：，
故答案为：
四、解答题
17．（2023秋·广东广州·高三广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点.
(1)求斜率与斜率；
(2)求证：四边形为矩形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用斜率公式求解即可；
（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证.
【详解】（1）因为，
所以，即.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形.
18．（2022秋·广东阳江·高三阳江市阳东区第一中学校考期中）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标；若平行，求出两线间的距离：
(1)：，：；
(2)：，：.
【答案】(1)相交，交点坐标为；
(2)平行，两线间的距离为.
【分析】（1）求出直线，的斜率判断位置关系，再求出交点坐标作答.
（2）求出直线，的斜率及纵截距判断位置关系，再求出距离作答.
【详解】（1）直线：的斜率，直线：的斜率，
，因此直线与相交，
由解得：，因此直线，的交点坐标为，
所以直线，相交，交点坐标为.
（2）直线：的斜率，纵截距，
直线：，即的斜率，纵截距，
显然，因此与平行，且，
所以直线，平行，它们间的距离为.
19．（2021秋·北京·高三北京一七一中校考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
【答案】(1)
(2)选择见解析，或
【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.
（2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.
【详解】（1）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（2）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
20．（2022秋·江苏常州·高三常州高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.
【详解】（1）因为直线过点，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
（2）当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或.
21．（2023·上海·高三专题练习）如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；
(2)；
(3)．
【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；
（2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程；
（3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程.
【详解】（1）直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
（2）因为，，，所以，
由题意得直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，所以，
设直线与交于点，所以，
即，所以，
设，所以，即，
所以，，所以，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
（3）设关于的对称点，关于的对称点，
直线的方程为，即，
直线的方程为，所以，
解得，所以，
由题意得四点共线，，由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即.直线的方程-2024年新高考数学一轮考点题型高分精准复习
专题 直线的方程
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点二 直线与线段相交求斜率范围
考点三 两直线的位置关系
考点四 求直线的方程
考点五 与直线方程有关的最值问题
考点六 距离问题
考点七 对称问题
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_____方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_____．
（2）范围：直线l倾斜角的范围是_____
2．斜率公式
（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）在直线l上，且，则直线l的斜率．
二、直线的方程
方程 适用范围
点斜式： 不包含直线
斜截式： 不包含垂直于_____的直线
两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时）
截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用
三、两条直线的位置关系
位置关系 与 与
相交
垂直 _____
平行 且_____ 或
重合 且
注意：
（1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况；
（2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为_____的情况．
四、距离问题
条件 距离公式
点之间的距离
点到直线的距离
两条平行线与的距离
五、对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为；
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过，两点，且倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为______．
例3．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022秋·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知直角坐标系中，连接两点的所有直线中倾斜角最大的直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
例5．（2022秋·河北邢台·高三统考期中）倾斜角为的直线经过点和，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 直线与线段相交求斜率范围
例6．（2023秋·江西抚州·高三统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2022秋·广东梅州·高三校联考阶段练习）已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2023·全国·高二专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
例9．（2022秋·安徽芜湖·高三安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
例10．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
考点三 两直线的位置关系
例11．（2023秋·高三课时练习）以为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
例12．（2022秋·青海海东·高三校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．
例14．（2023秋·广东广州·高三广州市培正中学校考期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.
例15．（2022秋·高三课时练习）若直线与直线平行，则a的值为（ ）
A． B．
C． D．
考点四 求直线的方程
例16．（2021秋·高三课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
例17．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知点，则直线的一般式方程为___________.
例18．（2022秋·江苏常州·高三常州高级中学校考阶段练习）直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为_________.
例19．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______．
例20．（2021秋·高三课时练习）过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是________.
考点五 与直线方程有关的最值问题
例21．（2021秋·陕西·高三校考阶段练习）已知直线过定点P，若点P在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例22．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是______．
例23．（2023届江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试数学试题）设，直线，直线，记分別过定点，且与的交点为，则的最大值为__________.
例24．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）已知直线．
(1)求直线过定点的坐标；
(2)当直线时，求直线的方程；
(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点坐标分别是，，.
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程；
(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．
考点六 距离问题
例26．（2023春·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
例27．（2023秋·高三课时练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
例28．（2021秋·高三课时练习）点关于点对称，则________．
例29．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）若两条平行直线与之间的距离是，则__________．
例30．（2023秋·高三课时练习）求过直线和的交点并且与原点距离为1的直线l的方程．
考点七 对称问题
例31．（2023秋·高三课时练习）直线关于点对称的直线方程为__________．
例32．（2023秋·安徽六安·高三六安一中校考期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为______．
例33．（2022秋·高三课时练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为_____________，过点且与直线垂直的直线方程为_______________.
例34．（2022秋·高三课时练习）已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为____，此时点的坐标为_____.
例35．（2023秋·高三课时练习）若点关于直线对称，则_________；__________．
一、单选题
1．（广西南宁市第二十六中学等3校2022-2023学年高二下学期开学联合调研测试数学试题）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三假期作业）设直线与，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．坐标原点到直线的距离的最大值为
3．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·高二课时练习）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2023秋·高三课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·高三课时练习）已知三条直线为，则下列结论中正确的一个是（ ）
A．三条直线的倾斜角之和为
B．三条直线在y轴上的截距满足
C．三条直线的倾斜角满足
D．三条直线在x轴上的截距之和为．
8．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）下列四个结论，其中正确的有（ ）．
A．方程与方程表示同一条直线
B．直线恒过定点
C．直线的倾斜角为135°
D．过点，且在两坐标轴上截距相等的直线仅有一条
10．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（ ）
A．存在实数α，使l1l2，
B．存在实数α，使l2l3；
C．对任意实数α，都有l1⊥l4
D．存在点到四条直线距离相等
11．（2023春·山东菏泽·高三统考期末）下列结论正确的有（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．已知，及x轴上的动点P，则的最小值为5
D．直线与直线之间的距离为
12．（2022秋·福建福州·高三福建省连江第一中学校联考期中）已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当，到直线距离相等时， B．当时，直线的斜率不存在
C．当时，直线在轴上的截距为-2 D．当时，直线与直线平行
三、填空题
13．（2023秋·高三课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是__________．
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）在直角坐标系xOy中，点A、B分别在射线和上运动，且的面积为1，则周长的最小值为______________．
15．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知直线，，则直线的倾斜角的取值范围是______.
16．（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
四、解答题
17．（2023秋·广东广州·高三广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点.
(1)求斜率与斜率；
(2)求证：四边形为矩形.
18．（2022秋·广东阳江·高三阳江市阳东区第一中学校考期中）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标；若平行，求出两线间的距离：
(1)：，：；
(2)：，：.
19．（2021秋·北京·高三北京一七一中校考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
20．（2022秋·江苏常州·高三常州高级中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若直线过点，且.
(1)求直线和直线的交点坐标；
(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
21．（2023·上海·高三专题练习）如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程。
