北师数学必修第一册第一章集合1.1.集合的概念与表示（第一节集合的概念）（知识点+题型+自测题）（有答案）

第一章　集合
1.1集合的概念与表示
第一节集合的概念
知识点1　元素与集合的概念
1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母__A，B，C，…__表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母__a，b，c，…__表示．
3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是__确定__的、__互异__的、顺序任意的．
思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
知识点2　元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a__∈__A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A __a A__ a__不属于__集合A
思考2：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
(2)符合“∈”“ ”的左边可以是集合吗？
提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
(2)∈和 具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．如：{1}∈{{1}，{2}}
知识点3　常用数集及其记法
数集 意义 符号
自然数集 全体自然数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N＋或N*
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数组成的集合 R
正实数集 全体正实数组成的集合 R＋
思考3：N，N*，N＋有什么区别？
提示： (1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0．
(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．
题型一　元素与集合的相关概念
例 1　下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②③__．
[分析]　结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析]　①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③．
[归纳提升]　1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【对点练习】 　下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2022年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析]　(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3．∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3，3，能构成集合．
题型二　元素与集合的关系
例 2　若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－2是不是集合A中的元素．
[分析]　根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2．
[解析]　因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，即可得到6－2，
所以6－2是集合A中的元素．
[归纳提升]　1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集．
2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
【对点练习】 　(1)下列关系中，正确的有(　C　)
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q．
A．1个　　　　 B．2个
C．3个　 D．4个
(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为__2，1，0__．
[解析]　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误．
(2)由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，0．因此A中元素有2，1，0．
题型三　集合中元素的特性的应用
例 3　设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
[解析]　(1)若a∈A，则∈A．
又因为2∈A，所以＝－1∈A．
因为－1∈A，所以＝∈A．
因为∈A，所以＝2∈A．
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．
[归纳提升]　根据集合中元素的特性求值的三个步骤
—
↓
—
↓
—
【对点练习】 　已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是(　D　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
[解析]　因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a．
所以a(a－3)≠0．所以a≠0且a≠3．
A　组·基础自测
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14　 B．－5
C．　 D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是(　　)
A．所有的正数　 B．等于2的数
C．接近于0的数　 D．不等于0的偶数
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(　　)
A．0∈A　 B．a A
C．a∈A　 D．a＝A
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为(　　)
A．2　 B．3
C．4　 D．5
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　　)
A．0　 B．1
C．－1　 D．0或1
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“∈”或“ ”)．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)____P(填“∈”或“ ”)．
三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
10．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2 020＋b2 020的值．
B　组·基础提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　　)
A．矩形　 B．平行四边形
C．菱形　 D．梯形
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　)
A．2　 B．3
C．0或3　 D．0或2或3
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　　)
A．－2∈A　 B．－11 A
C．3k2－1∈A　 D．－34 A
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是(　　)
A．3∈A，－1 A　 B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A　 D．3 A，－1 A
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17____A；－5____A；17____B．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为____．
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
A　组·基础自测
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　D　)
A．3.14　 B．－5
C．　 D．
[解析]　由题意知元素a为无理数，故选D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是(　C　)
A．所有的正数　 B．等于2的数
C．接近于0的数　 D．不等于0的偶数
[解析]　由集合元素的特性知C不能组成集合，故选C．
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(　C　)
A．0∈A　 B．a A
C．a∈A　 D．a＝A
[解析]　由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　C　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
[解析]　方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为(　A　)
A．2　 B．3
C．4　 D．5
[解析]　∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0，它们分别是x，－x，－x，－x，x．最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　B　)
A．0　 B．1
C．－1　 D．0或1
[解析]　∵－1 N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__ __A，广州__∈__A(填“∈”或“ ”)．
[解析]　深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)__∈__P(填“∈”或“ ”)．
[解析]　直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2，7)∈P．
三、解答题
9．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析]　因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2．解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2．故M含有两个元素－1，2．
10．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2 020＋b2 020的值．
[解析]　由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1．
B　组·基础提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　D　)
A．矩形　 B．平行四边形
C．菱形　 D．梯形
[解析]　由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　B　)
A．2　 B．3
C．0或3　 D．0或2或3
[解析]　因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是(　BC　)
A．－2∈A　 B．－11 A
C．3k2－1∈A　 D．－34 A
[解析]　令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，
∴－2 A；
令3k－1＝－11，解得k＝－，－ Z，∴－11 A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．故选BC．
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是(　ACD　)
A．3∈A，－1 A　 B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A　 D．3 A，－1 A
[解析]　当x＞0，y＞0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x＞0，y＜0时，z＝1－1－1＝－1；
当x＜0，y＞0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x＜0，y＜0时，z＝－1－1＋1＝－1．
所以3∈A，－1∈A．故选ACD．
二、填空题
5．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__ __A；17__∈__B．
[解析]　令3k＋2＝17，得k＝5，5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－ Z，所以－5 A；令6m－1＝17，得m＝3，3∈Z，所以17∈B．
6．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__．
[解析]　因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0．
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0．
三、解答题
7．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析]　(1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1．
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2，1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－．
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5．
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
8．已知集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)试分别判断x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系；
(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．
[解析]　(1)x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；
x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z，但 Z，所以x2 A；
x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A．
(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，
所以x1·x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．
因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1·x2∈A．