北师数学必修第一册第一章集合1.1.集合的概念与表示第2节集合的表示（知识点+题型+自测题）（有答案）

第一章　集合
1.1集合的概念与表示
第2节　集合的表示
知识点1　列举法
(1)方法：把集合中的元素__一一列举__出来写在花括号“{}”内．
(2)一般形式：{a，b，c，…}．
(3)关注点：元素的排列__顺序__可以不同．
思考1：哪些集合适合用列举法表示？
提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合．
(2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0，1，2，…，n，…}．
(3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}．
知识点2　描述法
定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法
形式 __{x及x的范围|x满足的条件}__
方法 在花括号内先写出集合中元素的__一般符号__及__范围__，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的__共同特征__
思考2：{(x，y)|y＝x2＋2}能否写成{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？为什么？
提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么．
知识点3　有限集、无限集和空集
(1)有限集：含有__有限个__元素的集合叫作有限集；
(2)无限集：含有__无限个__元素的集合叫作无限集；
(3)空集：不含__任何__元素的集合叫作空集，记作 ．
思考3： 与0，{0}，{ }有何区别？
提示：
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合；0是实数 不含任何元素；{0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是空集
知识点4　区间
定义 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} __[a，b]__
{x|a＜x＜b} __(a，b)__
{x|a≤x＜b} __[a，b)__
{x|a＜x≤b} __(a，b]__
{x|x≥a} __[a，＋∞)__
{x|x＞a} __(a，＋∞)__
{x|x≤b} __(－∞，b]__
{x|x＜b} __(－∞，b)__
说明：(1)实数a，b称为区间的端点．[a，b]称为__闭区间__，(a，b)称为__开区间__，[a，b)，(a，b]称为半开半闭区间．
(2)在数轴上表示区间时，用__实心点__表示属于区间的端点，用__空心点__表示不属于区间的端点．
(3)符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为__(－∞，＋∞)__．
题型一　列举法表示集合
例 1　用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．
[分析]　(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．
[解析]　(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4，2，所求集合为{2，4}．
(3)方程组的解是所求集合为．
[归纳提升]　1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【对点练习】 　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合．
[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．
(3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}．
题型二　描述法、区间法表示集合
例 2　(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　D　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
(2)使有意义的所有实数x取值的集合为__[－3，＋∞)__．(用区间表示)
(3)用描述法表示下列集合：
①；
②被5除余1的正整数组成的集合；
③坐标平面内坐标轴上的点集．
[解析]　(1)由题意得，－1≤x≤1，－1≤y≤1，x∈Z，y∈Z，A＝{(0，1)，(1，0)，(－1，0)，(0，－1)}，所以A中元素的个数为4．
(2)为使有意义，实数x需满足x＋3≥0，即x≥－3，
故所求集合可表示为[－3，＋∞)．
(3)①集合用描述法表示为．
②根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
[归纳提升]　1．描述法表示集合的两个步骤
—

—
2．用描述法表示集合应注意的四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如：{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
3．区间表示集合的适用情况和注意点
(1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数．
(2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大；
②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号．
【对点练习】 　(1)已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 018__∈__M，2 019__ __M．(填“∈”或“ ”)．
(2)用描述法表示下列集合：
①小于10的非负整数构成的集合；
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
④集合{1，3，5，7，…}．
[解析]　(1)因为2 018＝7×288＋2，2 019＝7×288＋3，所以2 018∈M，2 019 M．
(2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x＜10}．
②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|＞3}．
③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy＜0}．
④{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
题型三　集合表示方法的综合应用
角度1　用适当的方法表示集合
例 3　用适当的方法表示下列集合：
(1)函数y＝x2－2x的图象与x轴的公共点的集合；
(2)不等式2x－3＜5的解组成的集合；
(3)3和4的正的公倍数构成的集合；
(4)大于4的奇数构成的集合．
[解析]　(1)列举法：{(0，0)，(2，0)}．
(2)不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜5}，即{x|x＜4}．也可用区间表示为(－∞，4)．
(3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
(4)用描述法表示为D＝{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}或D＝{x|x＝2k＋3，k∈N*}．
角度2　方程、不等式等知识与集合交汇
例 4　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．
[归纳提升]　1．解答集合表示方法综合题的策略
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．
2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．
(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．
【对点练习】 　(1)(角度1)以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为__{－2，2，3}__．
(2)(角度2)设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B．
[解析]　(1)解方程x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，
解方程x2－x－6＝0，得x＝－2或3，所以以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为{－2，2，3}．
(2)集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0．
因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1．
由根与系数的关系，得
解得
所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
误区警示
忽视集合中元素的互异性
例 5　方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为__{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)__．
[错解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}．
[错因分析]　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
[正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a．
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)．
[方法点拨]　在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1，1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性．
A　组·基础自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　　)
A．{(1，2)}　 B．{(2，1)}
C．{1，2}　 D．{x2－3x＋2＝0}
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　　)
A．{0，1}　 B．{(0，1)}
C．　 D．
3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　　)
A．{x|x＝2} B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1} D．{1，－2}
4．若A＝{－1，3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　　)
A．{(－1，3)}
B．{－1，3}
C．{(－1，3)，(3，－1)}
D．{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1}　 B．{x|x2＝1}
C．{1}　 D．{y|(y－1)2＝0}
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图象交点组成的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为(　　)
A．3　 B．2
C．1　 D．0
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__，__．
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为____．
9．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1 A，则实数a的取值范围是___．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组，的解集；
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
B　组·基础提升
一、选择题
1．方程组的解集是(　　)
A．{x＝1，y＝－1}　 B．{1}
C．{(1，－1)}　 D．{(x，y)|(1，－1)}
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　　)
A．{1，2}
B．{(1，2)}
C．{(1，1)，(2，2)}
D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　　)
A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
二、填空题
5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是___．
6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为____．
三、解答题
7．已知集合A＝，试用列举法表示集合A．
8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
A　组·基础自测
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　C　)
A．{(1，2)}　 B．{(2，1)}
C．{1，2}　 D．{x2－3x＋2＝0}
[解析]　解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2．用列举法表示为{1，2}．
2．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　B　)
A．{0，1}　 B．{(0，1)}
C．　 D．
[解析]　解方程组得
故该集合为{(0，1)}．
3．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　C　)
A．{x|x＝2} B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1} D．{1，－2}
[解析]　方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2．由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．
4．若A＝{－1，3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　D　)
A．{(－1，3)}
B．{－1，3}
C．{(－1，3)，(3，－1)}
D．{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}
[解析]　因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}．
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　B　)
A．{x|x＝1}　 B．{x|x2＝1}
C．{1}　 D．{y|(y－1)2＝0}
[解析]　因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1，1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图象交点组成的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为(　D　)
A．3　 B．2
C．1　 D．0
[解析]　由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1．因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．联立方程组可得解得∴一次函数与y＝－2x＋8的图象交点为(2，4)，∴所求集合为{(x；y)|x＝2且y＝4}，故③不正确．
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}__．
[解析]　∵x＋y＝4，x∈N，y∈N，
∴x＝4－y∈N，
∴
∴A＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}．
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为__{x|x＝，n∈N*}__．
[解析]　注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．
9．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1 A，则实数a的取值范围是__(－∞，－2]__．
[解析]　因为1 A，则应有2×1＋a≤0，
所以(－∞，－2]．
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组，的解集；
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
[解析]　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x|x2－2x＋1＝0}．
(3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x＜0且y＞0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点，可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
B　组·基础提升
一、选择题
1．方程组的解集是(　C　)
A．{x＝1，y＝－1}　 B．{1}
C．{(1，－1)}　 D．{(x，y)|(1，－1)}
[解析]　方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　D　)
A．{1，2}
B．{(1，2)}
C．{(1，1)，(2，2)}
D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
[解析]　x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2．
∴集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，故选D．
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　BD　)
A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析]　选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4．
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　ABD　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
[解析]　选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
二、填空题
5．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__．
[解析]　集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－，此时A＝，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1．
6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__．
[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6．
∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素．
三、解答题
7．已知集合A＝，试用列举法表示集合A．
[解析]　由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2，而x≥0，∴x＝2，4，5，即A＝{2，4，5}．
8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝，当a＝时，A＝．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0．
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤．