北师数学必修第一册第一章集合1.2集合的基本关系（知识点+题型+自测题）（有答案）

第一章　集合
1.2集合的基本关系
知识点1　两个集合之间的关系
1．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__任何一个__元素都属于集合B中的元素，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A为集合B的子集
记法与读法 记作__A B__(或__B A__)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A． (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C．
2．真子集
定义 对于两个集合A与B，如果__A B__，且__A≠B__，那么称集合A是集合B的真子集．
记法 记作A?B(或B?A)
图示
结论 (1)A?B，B?C，则A?C． (2)A B且A≠B，则A?B．
思考2：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？
(2)符合“∈”与“ ”有什么区别？
提示：(1)不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系．
(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1 N．
②“ ”是表示集合与集合之间的关系，比如N R，{1，2，3} {3，2，1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“ ”的两边均为集合．
知识点2　集合相等
自然 语言 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等．
符号语言 A B且B A A＝B
图形语言
思考3：怎样证明或判断两个集合相等？
提示：(1)若A B且B A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A B与B A均成立．
(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．
题型一　集合间关系的判断
例 1　(2023·石家庄高一教学质检)指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|0＜x＜5}；
(2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}；
(3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝；
(4)A＝{(x，y)|xy＞0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＞0或x＜0，y＜0}．
[分析]　(1)中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；(2)根据集合表示数集的意义进行判断；(3)解集合A中方程得到集合A，再根据集合B中n分别为奇数、偶数得到集合B，进行判断；(4)可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断．
[解析]　(1)方法一　集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故B?A．
方法二　利用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知B?A．
(2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴B?A．
(3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B．
(4)方法一　由xy＞0得x＞0，y＞0或x＜0，y＜0；由x＞0，y＞0或x＜0，y＜0得xy＞0，从而A＝B．
方法二　集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B．
[归纳提升]　判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法
首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A B；②若由q(x)可推出p(x)，则B A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系．
【对点练习】 　(2023·四川广元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(　D　)
① ＝{0}；② {0}；③ ∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2} {1，2，3}；⑧{a，b} {b，a}．
A．1　 B．2
C．3　 D．4
[解析]　 表示空集，没有元素，{0}有一个元素，则 ≠{0}，故①错误；∵空集是任何集合的子集，故②正确； 和{0}都表示集合，故③错误；0表示元素，{0}表示集合，故④错误；0∈{0}，故⑤正确；{1}，{1，2，3}都表示集合，故⑥错误；{1，2}中的元素都是{1，2，3}中的元素，故⑦正确；由于集合的元素具有无序性，故{a，b} {b，a}，故⑧正确．综上，正确的个数是4个．
题型二　确定集合的子集、真子集
例 2　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[分析]　→→
[解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4．
故集合A＝{－4，－1，4}，由0个元素构成的子集为： ．
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}．
因此集合A的子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．
真子集为： ，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}．
[归纳提升]　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集： 和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……一一写出，保证不重不漏．
【对点练习】 　满足{a，b} A?{a，b，c，d}的集合A的个数是(　B　)
A．2 B．4
C．5　 D．7
[解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
题型三　由集合间的关系求参数范围问题
例 3　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B A．求实数m的取值范围．
[分析]　借助数轴分析，注意B是否为空集．
[解析]　(1)因为B A，
当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2．
(2)当B≠ 时，有
解得－1≤m＜2，综上得m≥－1．
[归纳提升]　(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
【对点练习】 　(1)已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝__1__；
(2)已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为B A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1．当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，满足B A，故m＝1．
(2)当B＝ 时，只需2a＞a＋3，即a＞3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得a＜－4或2＜a≤3．
综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2．
误区警示
忽视“空集”的存在
例 4　已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为(　D　)
A．{－1}　 B．{1}
C．{－1，1}　 D．{－1，0，1}
[错解]　因为B A，而B＝，因此有－∈A，所以a＝±1，故选C．
[错因分析]　空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为 ．在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解．本例求解过程中有两处错误，一是方程ax＝－1的解不能写成x＝－，二是忽视了B A时，B可以为空集．事实上a＝0时，方程无解．
[正解]　因为B A，所以当B≠ ，即a≠0时，B＝，因此有－∈A，所以a＝±1；
当B＝ ，即a＝0时满足条件．
综上可得实数a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．故选D．
[方法点拨]　已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．
一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2 A；②{－2}∈A；③ A；④{－2，2}＝A．则上列式子表示正确的有(　　)
A．1个　 B．2个
C．3个　 D．4个
2．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　　)
A．b＝－3，c＝2　 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3　 D．b＝2，c＝－3
3．满足{3，4} M {0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是(　　)
A．6　 B．7
C．8　 D．9
4．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则(　　)
A．M?N　 B．N?M
C．M＝N　 D．M，N的关系不确定
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A B，则a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤2}　 B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}　 D．{a|a≥2}
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ ．
其中正确的是____．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为____．
8．已知集合A＝{－1，5，6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝____．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
B　组·基础提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为(　　)
A．P?Q　 B．Q?P
C．P＝Q　 D．不确定
2．已知集合A＝{x|1＜x＜2021}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥2021}　 B．{a|a＞2021}
C．{a|a≥1}　 D．{a|a＞1}
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．1∈A　 B．B A
C．(1，1)∈B　 D． ∈A
4．(多选题)(2023·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是(　AB　)
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
二、填空题
5．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是____．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B A，则a的取值范围为____．
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2 A；②{－2}∈A；③ A；④{－2，2}＝A．则上列式子表示正确的有(　B　)
A．1个　 B．2个
C．3个　 D．4个
[解析]　∵集合A＝{－2，2}，故③④正确．
2．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　A　)
A．b＝－3，c＝2　 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3　 D．b＝2，c＝－3
[解析]　由题意可知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴∴
3．满足{3，4} M {0，1，2，3，4}的所有集合M的个数是(　C　)
A．6　 B．7
C．8　 D．9
[解析]　由题意知M中必须有3，4这两个元素，则M的个数就是集合{0，1，2}的子集的个数，即23＝8(个)．
4．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则(　B　)
A．M?N　 B．N?M
C．M＝N　 D．M，N的关系不确定
[解析]　由题意，得N＝{0，1}，故N?M．
5．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A B，则a的取值范围是(　D　)
A．{a|a≤2}　 B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}　 D．{a|a≥2}
[解析]　∵A B，∴a≥2，故选D．
二、填空题
6．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ ．
其中正确的是__④__．
[解析]　 不是其自身的真子集，所以④正确．
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为__M＝P__．
[解析]　∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P．
8．已知集合A＝{－1，5，6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B A，则实数m＝__3__．
[解析]　∵B A，∴m2＝6m－9，∴m＝3．
三、解答题
9．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求m的值．
[解析]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
∵B?A，∴当B＝ 时，m＝0符合题意；
当B≠ 时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，则－＝－3或2，∴m＝或－．
综上可知，m的值为0或或－．
10．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析]　E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2．
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F．
②当a≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F．
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F．
B　组·基础提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为(　A　)
A．P?Q　 B．Q?P
C．P＝Q　 D．不确定
[解析]　∵Q＝{x|x－5＜0}＝{x|x＜5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，P?Q．
2．已知集合A＝{x|1＜x＜2 021}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是(　A　)
A．{a|a≥2 021}　 B．{a|a＞2 021}
C．{a|a≥1}　 D．{a|a＞1}
[解析]　∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2 021，故选A．
3．(多选题)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是(　BC　)
A．1∈A　 B．B A
C．(1，1)∈B　 D． ∈A
[解析]　B＝＝{(1，1)}，又点(1，1)在直线y＝x上，故选BC．
4．(多选题)(2023·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是(　AB　)
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
[解析]　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S．同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0，1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．
二、填空题
5．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是__{(1，2)}，{(－3，4)}__．
[解析]　集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x＜－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B A，则a的取值范围为__{a|a＜－8或a≥3}__．
[解析]　利用数轴法表示B A，如图所示，
则a＋3＜－5或a＋1≥4，解得a＜－8或a≥3．
三、解答题
7．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析]　由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，则
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
8．已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
[解析]　(1)当P＝ 时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m＜0，所以m＞．
(2)当P≠ 时，易得Q＝{－1，－4，1}．
①当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，易得P＝{4，－1}，不是集合Q的一个子集；
②当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，易得P＝{－4，7}，不是集合Q的一个子集；
③当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，易得P＝{1，2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是．