秘密★启用前 姓名 准考证号
2023 年邵阳市高二联考试题卷
数 学
本试卷共 4 页, 22 个小题。 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 将条形码横贴在答题卡
上 “贴条形码区”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案写在试题卷上无效。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域
内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。 考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。
一、 选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项
是符合题目要求的.
1. z已知复数 z 满足: =
1+
2i (i 为虚数单位), 则 z 的共轭复数为
i
A. 2-2i B. 2+2i C. -2-2i D. -2+2i
2. 已知全集 U=R, 设集合 A={x x-1<0} , B={x x2 -2x-3≤0} , 则( UA)∪B=
A. {x 1≤x≤3} B. {x -2≤x<1}
C. {x x≥-1} D. {x x≤3}
3. π 2 7π若 sin ( +α) = , 则 cos5 3 ( +α =10 )
A. - 2 B. 2 C. - 5 D. 5
3 3 3 3
4. 3sin x 2π 2π函数 f (x ) = x 在区间
é
êê- ,
ùúú 的图象大致为e 3 3
A. B.
C. D.
2023 年邵阳市高二联考 (数学) 第 1 页 (共 4 页)
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5. “基础学科拔尖学生培养试验计划” 简称 “珠峰计划”, 是国家为回应 “钱学森之问” 而
推出的一项人才培养计划, 旨在培养中国自己的学术大师. 浙江大学、 复旦大学、 武汉大
学、 中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地. 已知某班级有 A, B, C, D, E 共 5
位同学从中任选一所学校作为奋斗目标, 每所学校至少有一位同学选择, 则 A 同学选择浙
江大学的不同方法共有
A. 24 种 B. 60 种 C. 96 种 D. 240 种
6. 设非零向量 a, b 满足 a = 8, b = 4, a+b = 6, 则 a 在 b 上的投影向量为
A. -11b B. -11a C. -11b D. -11a
8 8 4 4
7. 已知点 P 在直线 y= -x-3 上运动,M 是圆 x2 +y2 = 1 上的动点,N 是圆(x-9) 2 + (y-2) 2 = 16 上的
动点, 则 PM + PN 的最小值为
A. 13 B. 11 C. 9 D. 8
8. 已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,对任意的 x∈R 均有 f(x) < f ′(x)成立. 若 f( -1) = 1, 则
ln3
不等式 f(x) <-3x-1 的解集为
A. {x x>1} B. {x x<1} C. {x x>-1} D. {x x<-1}
二、 多选题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符
合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 若正实数 a, b 满足 a+b= 2, 则下列结论中正确的有
A. ab 1 B. 1 1的最大值为 + 的最大值为 2
a b
C. a + b的最小值为 2 D. a2 +b2 的最小值为 2
10. 下列说法中, 错误的是
A. 若事件 A, B 满足: P(A) >0,P(B) >0,且 P(AB)= P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立
B. 某医院住院的 8 位新冠患者的潜伏天数分别为 10, 3, 8, 3, 2, 15, 5, 4, 则该
样本数据的第 75 百分位数为 8
C. 若随机变量 ξ~B (7, 1 ) , 则方差 D (2ξ) = 142
D. 在回归模型分析中, 残差平方和越小, 模型的拟合效果越好
11. 设 A, B 是抛物线 C: y2 = 2x 上的两点, F 是抛物线 C 的焦点, 则下列命题中正确的是
A. 若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F, 则 AB 的最小值为 2
B. 若点 A 5的坐标为(2,2),则 AF =
2
C. 过点 P(0,1)且与抛物线 C 只有一个公共点的直线有且只有两条
D. A→若 F= 3F→B(点 A 在第一象限), 则直线 AB π的倾斜角为
3
2023 年邵阳市高二联考 (数学) 第 2 页 (共 4 页)
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12. 《九章算术·商功》中记载: “斜解立方, 得两堑堵, 斜解堑堵, 其一为阳马, 一为鳖臑.
阳马居二, 鳖臑居一, 不易之率也. 合两鳖臑三而一, 验之以棊, 其形露矣”. 文中 “堑堵”
是指底面是直角三角形, 且侧棱垂直于底面的三棱柱; 文中
“阳马” 是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥;
文中 “鳖臑” 是指四个面都是直角三角形的三棱锥. 如图(1)
所示, 在堑堵 ABC-A1B1C1 中, 若 AB⊥BC, A1A = AB =BC = 2.
则下列说法中正确的有
A. 四棱锥 C-AA1B1B 为阳马, 三棱锥 B1 -A1BC 为鳖臑
B. 点 N 在线段 A1C 上运动, 则 BN+B1N 的最小值为 2 3
C. G, H A B , CC , B, G, H 图(1)分别为 1 1 1 的中点 过点 的平面截
2 17
三棱柱 ABC-A1B1C1, 则该截面周长为 2 5 + 3
D. 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动, 点 M 在棱 AB 上运动, 若直线 C1M, AP 是共
面直线, 则点 P 的轨迹长度为 6
三、 填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 在等比数列{an}中, a4 = 2, a7 = 54, 则公比 q 为 .
14. π已知函数 f(x)= 3sin (ωx+ ) (ω>0) 5π的最小正周期为 π,则函数 y= f (x ) 在区间 êéê0, úù3 12 ú 上的
最小值为 .
15. 3某市 2022 年高二数学联考学生成绩 X ~ N(90,σ2 ),且 P(80≤X≤100) = . 现从参考的
5
学生中随机抽查 3 名学生, 则恰有 1 名学生的成绩超过 100 分的概率为 .
x2 y216. 已知双曲线 C: 2 - 2 = 1(a>0,b>0)的右焦点为 F, 点 M, N 在双曲线 C 上, 且关于原点 Oa b
a2
对称. 若 ON = OF , △MNF 的面积为 , 则双曲线 C 的离心率为 .
4
四、 解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
已知等差数列{an}的公差 d 不为 0, a4 = 7, 且 a1, a3, a13 成等比数列.
(1) 求数列{an}的前 n 项和 Sn;
(2) 1 1记 bn = , n∈N , 证明: b1 +b2 +b3 +…+b < .ana
n
n+1 2
18. (本小题满分 12 分)
在△ABC 中, 角 A, B, C cos A cos B sin C的对边分别为 a, b, c, 已知 + = .
a b 2 3 sin B
(1) 求 a 的值;
+
(2) 若 sin B C= sin A, B= 45°, 求△ABC 的面积.
2
2023 年邵阳市高二联考 (数学) 第 3 页 (共 4 页)
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19. (本小题满分 12 分)
如图 (2) 所示, 在三棱台 ABC-A1B1C1 中, 平面 BB1C1C⊥平面 ABC,
AB⊥BC, BB =B C 11 1 1 =C1C= BC= 2.2
(1) 证明: AB⊥BC1;
(2) 当二面角 B-C π1C-A 为 时, 求三棱台 ABC-A1B1C1 的体积.4
图(2)
20. (本小题满分 12 分)
f(x)= ex+1 - a +1,g(x)= ln x已知函数 +2.
x x
(1) 讨论函数 g(x)在定义域内的单调性;
(2) 若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分)
P ( 3 ) C:x2 y2已知 -1, 是椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)上的一点,F2 a b 1, F2 为椭圆 C 的左、 右焦点,
B1, B2 为其短轴的两个端点, B1B2 是 PF1 与 PF2 的等差中项.
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 4若直线 l 与椭圆 C 交于点 M, N, 与圆 O: x2 +y2 = 切于点 G, 问: GM · GN 是
5
否为定值 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.
22. (本小题满分 12 分)
新宁崀山景区是世界自然遗产、 国家 5A 级景区, 其中 “八角寨” 景区和 “天下第一巷”
景区是新宁崀山景区的两张名片. 为了合理配置旅游资源, 现对已游览 “八角寨” 景区
且尚未游览 “天下第一巷” 景区的游客进行随机调查, 若不游览 “天下第一巷” 景区记
2 分, 若继续游览 “天下第一巷” 景区记 4 分, 假设每位游客选择游览 “天下第一巷”
1
景区的概率均为 , 游客之间选择意愿相互独立.
3
(1) 从游客中随机抽取 2 人, 记总得分为随机变量 X, 求 X 的数学期望;
(2) (ⅰ) 记 p k(k∈N )表示“从游客中随机抽取 k 人,总分恰为 2k 分”的概率,求{pk}的
前 4 项和;
(ⅱ) 在对游客进行随机问卷调查中, 记 an(n∈N )表示 “已调查过的累计得分恰
为 2n 分” 的概率, 探求 an 与 an-1(n≥2)的关系,并求数列{an}的通项公式.
2023 年邵阳市高二联考 (数学) 第 4 页 (共 4 页)
{#{QQABDYYAogCgAgAAAAACEwUACEGQkhCCAIgGBEAcoEIAiRNABCA=}#}2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准
数 学
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1. C 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7. D
8. B
【 】 g(x)= f(x), g′(x)= f′(x)
-f(x) ln3
详解 设
3x
则 >0.
3x
∴ g(x)在 R 上单调递增.
又 f(-1)= 1, f(x)为奇函数,
∴ f(-1)= -f(1)= 1. ∴ f(1)= -1,g(1)= f(1) = - 1 .
31 3
f(x)<-3x-1 f(x)<- 1x g(x)故选:B.
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.
9. AD 10. BC 11. ABD
12. ABC
【详解】对于 A 选项:易知 CB⊥面 ABB1A1,四边形 ABB1A1 为长方形.
∴ 四棱锥 C-AA1B1B 为“阳马” .
在棱锥 B1 -A1BC 中,△A1BB1,△B1BC,△A1BC,△A1B1C 为直角三角形.
∴ 三棱锥 B1 -A1BC 为鳖臑,故 A 正确.
对于 B 选项:将△B1A1C 沿 A1C 旋转与△A1BC 共面且位于 A1C 的异侧,
如图(1)所示.
∴ BN+B1N=BN+B1′N≥BB1′= 2 3 ,故 B 正确. 图(1)
对于 C 选项:过 B,G,H 的截面如图(2)所示,
易知 S 为△A1B1R 的重心,
∴ BG=BH= 5 ,GS=SH= 17 .
3
∴ 截面周长为 2 5 +2 17 . 故 C 正确.
3
对于 D 选项:C1M 面 C1AB,又面 C1AB∩面 BCC1B1 =BC1 .
又 C1M,AP 共面,点 P 的轨迹为线段 BC1,且 BC1 = 2 2 ,
图(2)
故 D 错误. 故选 ABC.
2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学) 第 1 页(共 7 页)
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三、填空题:本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 3 14. - 3 15. 48
2 125
16. 5
2
【详解】设双曲线的左焦点为 F′,连 MF′,NF′,
易知四边形 MFNF′为矩形.
设 |MF′ | =m, |MF | =n,则
ì m-n= 2a,①
m2 +n2 = 4c2,②
í 由①得:m2 +n2 -2mn= 4a2 .
1 mn= a
2
,③
2 4
∴ 4c2 -a2 = 4a2,即 4c2 = 5a2,∴ e = 5 .
2
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)由题知:a 23 =a1a13, ………………………………………………………………… 1 分
故(a4 -d) 2 = (a4 -3d)·(a4 +9d) .
即(7-d) 2 = (7-3d)(7+9d) .
解得 d= 0(舍去)或 d= 2. ………………………………………………………………… 3 分
∴ an =a4 +(n-4)d
= 2n-1. ………………………………………………………………………………… 4 分
n(a1 +a S = n
)
n 2
=n2 . …………………………………………………………………………………… 5 分
(2) 1 1由(1)知 bn = = - + ………………………………………………… 6 分anan+1 (2n 1)(2n 1)
= 1 ( 1 - 1- + ) . ……………………………………………………… 7 分2 2n 1 2n 1
故 b1 +b2 +b3 +…+b
1 é
n = êê (1- 1 ) +2 3 (
1 - 1 ) + ( 1 - 1 +…+ 1 - 1 ùú3 5 5 7 ) (2n-1 2n+1 ) ú
= 1 (1- 12 2n+1 )
= 1 - 1
+ . …………………………………………………………… 9 分2 4n 2
又 n∈N ,∴ b1 +b2 +b3 +…+b <
1
n . ……………………………………………………… 10 分2
2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学) 第 2 页(共 7 页)
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18.解:(1)方法一:
cos A+cos B= sin C由 ,
a b 2 3 sin B
b cos A
+a cos B= sin C得 .
ab 2 3 sin B
sin B cos A+sin A cos B sin C
由正弦定理得 = , ……………………………………… 3 分
a sin B 2 3 sin B
sin(A+B) = sin C即 . 又 A+B= 180°-C,
a sin B 2 3 sin B
sin C sin C
故 = . ……………………………………………………………………… 5 分
a sin B 2 3 sin B
解得 a= 2 3 . ………………………………………………………………………………… 6 分
方法二:
cos A+cos B= sin C由 ,及正、余弦定理可得
a b 2 3 sin B
b2 +c2 -a2 a2 2+ +c -b
2
= c , ………………………………………………………………… 3 分
2abc 2abc 2 3 b
2c2 c
整理得 = . ……………………………………………………………………………… 5 分
ac 3
解得 a= 2 3 . ………………………………………………………………………………… 6 分
+
(2)由 sin B C= sin A,得 cos A = 2sin A cos A .
2 2 2 2
又 0< A <90°,故 cos A ≠0,sin A = 1 ,
2 2 2 2
∴ A = 30°. ∴ A= 60°,C= 75°. ……………………………………………………………… 8 分
2
b a a sin B
由正弦定理可得 = ,∴ b= = 2 2 . ……………………………………… 10 分
sin B sin A sin A
+
∴ △ABC 的面积 S= 1 absin C= 1 ×2 3 ×2 2 × 6 2 = 3+ 3 . ……………………… 12 分
2 2 4
19.证明:(1)∵ 平面 BB1C1C⊥平面 ABC,
平面 BB1C1C∩平面 ABC=BC, …………………………………………………………… 2 分
又 AB 平面 ABC,AB⊥BC,
∴ AB⊥平面 BB1C1C,又 BC1 平面 BB1C1C, …………………………………………… 4 分
∴ AB⊥BC1 . ………………………………………………………………………………… 5 分
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(2)方法一:(坐标法)过 C1 作 C1H⊥BC 交 BC 于点 H,
易得 C1H⊥平面 ABC,且 C1H= 3 , 设 BA=a. …………………………………………… 6 分
以点 B 为原点建立如图(3)所示空间直角坐标系,
∴ C (0,4,0 ) ,C1 (0,3, 3 ) ,A (a,0,0 ) .
设平面 ACC1 的一个法向量为 n1 = (x,y,z ) ,
→
又 AC= ( -a,4,0),CC→1 = (0,-1, 3 ),
{ n1·A
→C= 0,
由 则n1 = (4 3 , 3 a,a ) . 图(3)
n1·CC
→
1 = 0,
由(1)知 AB⊥平面 BB1C1C,故平面 BB1C1C 的一个法向量n2 = (1,0,0 ) . ……………… 8 分
n ·n
∴ cos〈n1,n2〉 =
1 2 = 4 3 = 2 , …………………………………………… 9 分
n1 · n2 48+4a2 2
∴ a= 2 3 . ………………………………………………………………………………… 10 分
∴ S△ABC = 4 3 ,S
1
△A1B C
= S
1 1 4 △ABC
= 3 .
∴ V 1 1ABC-A1B1C =1 3 (S上+ S ·S ) ·h
= (
上 下 +S下 3 3 +2 3 +4 3 )
× 3 = 7. ………………… 12 分
方法二:(几何法)连接 AC1,如图(4)所示.
由 BB1 =B
1
1C1 =C1C= BC= 2,2
易得 BC1 = 2 3 ,且 BC 2 21 +C1C =BC2,
∴ BC1⊥C1C. …………………………………………………… 6 分
∵ AB⊥面 BB1C1C,∴ AB⊥CC1 . 图(4)
又 AB∩BC1 =B,AB,BC1 平面 ABC1,
∴ CC1⊥平面 ABC1 .
∠AC π故 1B 即为二面角 B-C1C-A 的平面角,即∠AC1B= . …………………………… 8 分4
在 Rt△ABC π1 中,BC1 = 2 3 ,∠AC1B= ,∴ AB=BC1 = 2 3 . ……………………………… 9 分4
过 C1 作 C1H⊥BC 交 BC 于点 H,易得 C1H⊥面 ABC 且 C1H= 3 , ………………… 10 分
∴ S△ABC = 4 3 ∴ S
1
△A = S = 3 .1B1C1 4 △ABC
∴ V 1ABC-A B C = 3 (S + S S +S ) h
= 1 ( 3 +2 3 +4 3 ) × 3 = 7. ……………… 12 分1 1 1 上 上 下 下 3
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20.解:(1)∵ 函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞ ),
-
∴ g′(x)= 1 ln x2 . …………………………………………………………………………… 1 分x
由 g′(x) >0,得 0由 g′(x) <0,得 x>e. ………………………………………………………………………… 3 分
∴ g(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞ ) . …………………………… 4 分
(2) f(x)≥g(x) ex+1 - a +1≥ln x+2 a≤xex+1 -ln x-x.
x x
x+1 设 h(x)= xe -ln x-x(x>0),则 a≤h(x) min . …………………………………………… 6 分
+
h′(x)= (x+1)ex+1 -x 1 = (x+1) (ex+1 - 1 ) . ……………………………………………… 7 分x x
设 φ(x)= ex+1 - 1 (x>0),φ′(x)= ex+1 + 12 >0,x x
∴ φ(x)在(0,+∞ )上单调递增.
( 1 ) 11而 φ = e10 -100.10
∴ φ(x) 1在(0,+∞ )上存在唯一零点 x0,x0∈ ( ,1 ) , …………………………………… 8 分10
ex0+1 = 1
且 x0 +1 = -ln x0 . ………………………………………………………………… 9 分x0
当 x∈(0,x0)时,φ(x) <0,h′(x) <0,
∴ h(x)在(0,x0)单调递减.
当 x∈(x0,+∞ )时,φ(x) >0,h′(x) >0,∴ h(x)在(x0,+∞ )上单调递增. ……………… 10 分
∴ h(x) min =h(x0)= x e
x0+1
0 -ln x
1
0 -x0 = x0· +(x0 +1) -x0 = 2,x0
∴ a≤2,故 a 的取值范围是( -∞ ,2] . …………………………………………………… 12 分
21.解:(1)将点 P (-1, 3 ) 1代入椭圆方程得 2 + 32 = 1 ① ……………………………… 1 分2 a 4b
由题意可知:2 |B1B2 | = |PF1 | + |PF2 | ,∴ a= 2b ② ……………………………………… 2 分
由①②得 a= 2,b= 1. …………………………………………………………………… 3 分
2
∴ 椭圆 C x的方程为: +y2 = 1. …………………………………………………………… 4 分
4
(2)① 4当直线 l 的斜率不存在时,不妨取直线 l 的方程为:x= ,
5
∴ M ( 4 , 4 ) ,N ( 4 ,- 4 ) ,O→M·O→N= 0. ∴ OM⊥ON.5 5 5 5
∴ 在 Rt△OMN 中, |GM | · |GN | = |OG | 2 = 4 . …………………………………………… 5 分
5
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②当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y= kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2) .
∵ l O ,∴ |m | 4直线 与圆 相切 = . m2 = 4即 (1+k2) . ……………………………… 6 分
1+k2 5 5
2
ìx +y2 = 1,
由í 4 得(1+4k2)x2 +8mkx+4m2 -4 = 0,
y= kx+m,
Δ=(8mk)2-4(1+4k2)(4m2-4)= 16(16k2+1)>0.
5
2
∴ x1 +x2 = -
8mk -,x x = 4m 4, …………………………………………………………… 7 分
1+4k2 1 2 1+4k2
∴ O→M·O→N = x1x2 +y1y2 = (1+k2)x1x2 +mk(x1 +x 22) +m ,…………………………………… 8 分
2
= + 2 4m - -
2 2 2 2
(1 k )· 4+mk· 8mk+m2 = 5m
-4-4k 4(1+k ) -4-4k
1+4k2 1+4k2 1+4k2
= 2 = 0.1+4k
∴ OM⊥ON. ………………………………………………………………………………… 10 分
从而在 Rt△OMN 中, |GM | · |GN | = |OG | 2 = 4 . ……………………………………… 11 分
5
∴ 由①② 4得, |GM | · |GN |为定值 . …………………………………………………… 12 分
5
22.解:(1)X 可能取值为 4,6,8. ……………………………………………………………… 1 分
2
P(X= 4)= ( 23 ) = 4 ,9
P(X= 6)= C12 ( 13 ) ( 2 ) = 4 ,3 9
2
P(X= 8)= ( 1 ) = 1 , ……………………………………………………………………… 3 分3 9
∴ X 的数学期望 E(X)= 4 ×4+ 4 ×6+ 1 ×8 = 48 = 16. …………………………………… 4 分
9 9 9 9 3
k
(2)(ⅰ)“总分恰为 2k 分” 2的概率为 ( ) ,3
∴ 数列{pk}
2
是以首项为 , 2公比为 的等比数列,记前 n 项和为 S ,
3 3 n
2 é 4
êê1- ( 2 ùú
4 S = 3 3
) ú 130
则前 项和 4 = . ……………………………………………………… 7 分
1- 2 81
3
(ⅱ)方法一:“已调查过的累计得分恰为 2n 分” 的概率为 an,得不到 2n 分的情况只有
先得 2n-2 分,再得 4 分, 1概率为 a (n≥2),a = 2 ,所以 1-a = 1 a ,即:
3 n-1 1 3 n 3 n-1
2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学) 第 6 页(共 7 页)
{#{QQABDYYAogCgAgAAAAACEwUACEGQkhCCAIgGBEAcoEIAiRNABCA=}#}
an = 1-
1 an-1, ……………………………………………………………………………… 9 分3
∴ a - 3 = - 1n a -
3
4 3 ( n-1 4 ) . ………………………………………………………………… 10 分
∴ a 3n- = (a1 - 34 4 ) · (
n-1
- 1 ) = - 1 ·3 12 ( 1 )
n-1
- .
3
∴ a = 3 + 1n ( 1 ) n- . ……………………………………………………………………… 12 分4 4 3
方法二:得分 2n 分可以先得(2n-2)分,再得 2 分,也可以先得(2n-4)分,再得 4 分,“已调查
过的累计得分恰为 2n 分”的概率为 an,则“得(2n-2)分的概率为 an-1”,“得(2n-4)分”的概
率为 an-2, a =
2 a + 1 2 2 2 1 7所以 n 3 n-1
a
3 n-2
,a1 = ,a2 = × + = . …………………………… 8 分3 3 3 3 9
由 a 2 1n = an-1 + a3 3 n-2
,
1
得 an+ a =a +
1
n-1 n-1 a3 3 n-2
,
∴ a 1 1 1 7 1 2n+ a3 n-1
=an-1 + a = … =a + a = + × = 1,3 n-2 2 3 1 9 3 3
∴ a 1n = 1- an-1 . …………………………………………………………………………… 9 分3
(后面同方法一)
: a = 2 a + 1另解 由 n a ,3 n-1 3 n-2
a 1得 n-an-1 = - (an-1 -a3 n-2
),
∴ a2 -a1 =
7 - 2 = 1 ,
9 3 9
1 n-2 n∴ an-an-1 = · (- 1 ) = (- 1 ) . ……………………………………………………… 9 分9 3 3
1 é 1 n-1
êê1- (- ) úùú
又 an =a1 +(a2 -a1) +…+(an-an-1)=
2 + 9 3 ……………………………… 10 分
3 1+ 1
3
= 2 1
-
+ é
n 1
êê1- (- 1 úù3 12 3 ) ú
= 3 - 1 (- 14 12 3 )
n-1
= 3 + 1 (- 1 ) n . …………………………………………………………………… 12 分4 4 3
注:若解答题有不同解法,请酌情给分.
2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学) 第 7 页(共 7 页)
{#{QQABDYYAogCgAgAAAAACEwUACEGQkhCCAIgGBEAcoEIAiRNABCA=}#}
