福建省漳州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（PDF含答案）

漳州市 ２０２２－２０２３ 学年 (下) 期末高中教学质量检测
高二数学试题
(考试时间: １２０ 分钟　 满分: １５０ 分)
考生注意:
１. 答题前 考生务必在试题卷、 答题卡规定的地方填写自己的准考证号、 姓名 考生
要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否
一致
２. 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡
上 写在本试卷上无效
３. 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回
一、 单项选择题 (本大题共 ８ 小题 每小题 ５ 分 共 ４０ 分 在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的)
１. 下列导数运算正确的是
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
Ａ. (ａｘ) ′ ＝ ｘａｘ－１ Ｂ. ( ｘ ) ′ ＝ １ Ｃ. ( １ ) ′ ＝ ｌｎｘ Ｄ. (ｓｉｎｘ) ′ ＝ － ｃｏｓｘ
２ ｘ ｘ
２. 已知事件 Ａ Ｂ 设 Ｂ Ａ 且 Ｐ(Ａ) ＝ ０ ７ Ｐ(Ｂ) ＝ ０ ４２ 则 Ｐ(Ｂ ｜ Ａ) 的值是
Ａ. ０ ２９４ Ｂ. ０ ４２ Ｃ. ０ ５ Ｄ. ０ ６
３. 根据分类变量 Ｘ 和 Ｙ 的样本观察数据的计算结果 有不少于 ９９ ５％ 的把握认为 Ｘ 和 Ｙ 有
关 则 χ２ 的一个可能取值为
Ｐ(χ２ ≥ ｘ０) ０ １０ ０ ０５ ０ ０２５ ０ ０１０ ０ ００５
ｘ０ ２ ７０６ ３ ８４１ ５ ０２４ ６ ６３５ ７ ８７９
Ａ. ３ ９７１ Ｂ. ５ ８７２ Ｃ. ６ ７７５ Ｄ. ９ ６９８
４. 已知空间向量 →ａ ＝ (１ － ３ ２) →ｂ ＝ (１ １ ｔ) 若 →ａ ⊥ →ｂ 则 ｜ →ａ － ２→ｂ ｜ ＝
Ａ. ５ Ｂ. １７ Ｃ. ２６ Ｄ. １４ － ２ ３
５. 若 ｘ ＝ ａ 为函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｘ － ａ) ２(ｘ － ｂ) 的极大值点 则
Ａ. ａ > ｂ Ｂ. ａ < ｂ Ｃ. ａｂ > ０ Ｄ. ａｂ < ０
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ｎ
６. 对于集合 Ａ ＝ {θ１ θ２ θｎ} 和常数 θ０ 定义: μ ＝
１∑ ｔａｎ２(θｉ － θ０) 为集合 Ａ 相对 θ０ 的ｎ ｉ ＝ １
“正切方差” . π ５π若集合 Ａ ＝ { ５π θ π３ １２ ６ } ０ ＝ 则 μ ＝１２
Ａ. ２ Ｂ. １ Ｃ. ５ Ｄ. ２
３ ３
７. 若 ａ ＝ ｅ０ ３ ｂ ＝ １ ３ ｃ ＝ ｌｎ３ ３ 则 ａ ｂ ｃ 的大小关系为
Ａ. ａ > ｂ > ｃ Ｂ. ａ > ｃ > ｂ Ｃ. ｂ > ａ > ｃ Ｄ. ｃ > ａ > ｂ
８. 某人在 ｎ 次射击中击中目标的次数为 Ｘ 且 Ｘ ~ Ｂ(ｎ ０ ７) 记 Ｐｋ ＝ Ｐ(Ｘ ＝ ｋ)
ｋ ＝ ０ １ ２ ｎ 若 Ｐ７ 是唯一的最大值 则 Ｅ(Ｘ) 的值为
Ａ. ７ Ｂ. ７ ７ Ｃ. ８ ４ Ｄ. ９ １
二、 多项选择题(本大题共 ４ 小题 每小题 ５ 分 共 ２０ 分. 在每小题给出的四个选项中 有
多项符合题目要求. 全部选对的得 ５ 分 选对但不全的得 ２ 分 有选错的得 ０ 分)
９. 下列结论正确的是
Ａ. 对于成对样本数据 样本相关系数越大 相关性越强
Ｂ. 利用 χ２ 进行独立性检验时 χ２ 的值越大 说明有更大把握认为两事件有关系
Ｃ. ｙ＾ ＝ ｂ＾ ｘ ＋ ａ＾线性回归直线方程 至少经过样本点数据中的一个点
Ｄ. 用模型 ｙ ＝ ａｅｂｘ ＋ ｃ 拟合一组数据时 设 ｚ ＝ ｌｎ(ｙ － ｃ) 得到回归方程 ｚ ＝ ０ ８ｘ ＋ ３
则 ａ ＝ ｅ３
１０. 已知函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) ｙ ＝ ｇ(ｘ) 的导函数图象如图 那么 ｙ ＝ ｆ(ｘ) ｙ ＝ ｇ(ｘ) 的图象可能是
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１１. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字１ ２ ３ ４ 连续抛掷这个正四面体
木块两次 并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字 记事件 Ａ 为“两次记录的数字
之和为偶数” 事件Ｂ为“第一次记录的数字为偶数” 事件Ｃ为“第二次记录的数字为偶
数” 则下列结论正确的是
Ａ. 事件 Ｂ 与事件 Ｃ 是互斥事件 Ｂ. 事件 Ａ 与事件 Ｂ 是相互独立事件
Ｃ. Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｐ(Ｃ) ＝ １ Ｄ. Ｐ １(ＡＢＣ ) ＝
８ ４
１２. 如图 棱长为 ２ 的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中 Ｅ Ｆ 分别为棱 Ａ１Ｄ１ ＡＡ１ 的中点 Ｇ 为
线段 Ｂ１Ｃ 上的动点 则下列说法正确的是
Ａ. 三棱锥 Ａ１ － ＥＦＧ 的体积为定值 D1 C1
E
Ｂ. 存在点 Ｇ 使得 Ｂ１Ｄ ⊥ 平面 ＥＦＧ A B11
G
Ｃ. 当点 Ｇ 与点 Ｂ１ 重合时 线段 ＥＧ 长度最短
F D C
Ｄ. １设直线 ＦＧ 与平面 ＢＣＣ１Ｂ１ 所成角为 θ 则 ｃｏｓθ 的最小值为 ３
A B
三、 填空题(本大题共 ４ 小题 每小题 ５ 分 共 ２０ 分)
１３. 已知随机变量 Ｘ ~ Ｎ(２ σ２) 且 Ｐ(Ｘ > ３) ＝ ０ ３ 则 Ｐ(１ < Ｘ < ２) ＝ .
１４. 甲、 乙、 丙三人相互做传球训练 第 １ 次由甲将球传出 每次传球时 传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人 则 ４ 次传球后球在甲手中的概率为 .
１５. 已知函数 ｆ(ｘ)(ｘ∈Ｒ) 的导函数为 ｆ ′(ｘ) 若 ２ｆ(ｘ) ＋ ｆ ′(ｘ) > ０ 且 ｆ(０) ＝ ２０２３ 则不
等式 ｆ(ｘ) － ２０２３ｅ －２ｘ > ０ 的解集为 .
１６. 古代城池中的“瓮城” 又叫“曲池” 是加装在城门前面或里面的又一层门 若敌人攻
入瓮城中 可形成“瓮中捉鳖” 之势. 如下图的“曲池” 是上、 下底面均为半圆形的柱
体 ＡＡ１⊥平面 ＡＢＣＤ ＡＡ１ ＝ ３ ＡＢ ＝ ２ ＣＤ ＝ ２π Ｅ 为Ａ１Ｂ１ 的中点 则直线 ＣＥ 与平面
ＤＥＢ１ 所成角的正弦值为 .
　 　
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(
(
(
四、 解答题(本大题共 ６ 小题 共 ７０ 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤)
１７. (本小题满分 １０ 分)
已知平行六面体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 底面 ＡＢＣＤ 是正方形 ＡＤ ＝ ＡＢ ＝ ２ ＡＡ１ ＝ １
∠Ａ１ＡＢ ＝ ∠ＤＡＡ１ ＝ ６０° Ａ
→
１Ｃ１ ＝ ３ ＮＣ
→
１ Ｄ
→
１Ｂ ＝ ２ Ｍ
→Ｂ →设ＡＢ ＝ →ａ Ａ→Ｄ ＝ →ｂ ＡＡ→１ ＝
→ｃ .
(１) 试用 →ａ →ｂ →ｃ 表示Ａ→Ｎ
(２) 求线段 ＭＮ 的长度.
１８. (本小题满分 １２ 分)
某有限公司通过技术革新和能力提升 每月售出的产品数量不断增加 下表为该公司今
年 １ ~ ４ 月份售出的产品数量.
月份 ｘ １ ２ ３ ４
售出的产品数量 ｙ(万件) ６ １ ６ ３ ６ ７ ６ ９
　 　 (１) 试根据样本相关系数 ｒ 的值判断售出的产品数量 ｙ(万件) 与月份 ｘ 线性相关性强弱
(若 ０ ８ < ｒ ≤ １ 则认为变量 ｘ 和变量 ｙ 高度线性相关)(结果保留两位小数)
(２) 求 ｙ 关于 ｘ 的线性回归方程 并预测该公司 ５ 月份售出的产品数量.
ｎ ｎ
∑(ｘ － ｘ－)(ｙ － ｙ－) ∑(ｘ － ｘ－)(ｙ － ｙ－ｉ ｉ ｉ ｉ )
ｉ ＝ １ ＾ ｉ ＝ １
参考公式: ｒ ＝ ｂ ＝ ｎ ｎ ｎ
∑ (ｘ － ｘ－
－
) ２ ∑ (ｙ － ｙ－) ２ｉ ｉ ∑ (ｘｉ － ｘ) ２
ｉ ＝ １ ｉ ＝ １ ｉ ＝ １
ａ＾ ＝ ｙ－ － ｂ＾ ｘ－ ２ ≈ １ ４１４.
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１９. (本小题满分 １２ 分)
ｆ ｘ ＝ １ － ａ已知函数 ( ) ｇ(ｘ) ＝ ｌｎｘ.
ｘ
(１) 若曲线 ｙ ＝ ｆ (ｘ ) 在点(２ ｆ(２)) 处的切线与曲线 ｙ ＝ ｇ(ｘ) 在点(１ ０) 处的切线平行
求实数 ａ 的值
(２) 若函数 ｙ ＝ ｆ (ｘ ) 的图象与 ｙ ＝ ｇ(ｘ) 的图象有两个公共点 求实数 ａ 的取值范围.
２０. (本小题满分 １２ 分)
如图所示的几何体中 平面 ＰＡＤ⊥平面 ＡＢＣＤ ΔＰＡＤ为等腰直角三角形 ∠ＡＰＤ ＝ ９０°
四边形 ＡＢＣＤ 为直角梯形 ＡＢ ∥ ＤＣ ＡＢ⊥ＡＤ ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２ ＰＱ ∥ ＤＣ ＰＱ ＝ ＤＣ ＝ １.
(１) 求证: ＰＤ ∥ 平面 ＱＢＣ
(２) → →线段 ＱＢ 上是否存在点 Ｍ 满足ＱＭ ＝ λ ＱＢ(０ ≤ λ ≤１) 使得 ＡＭ⊥平面 ＱＢＣ 若存
在 求出 λ 的值 若不存在 说明理由.
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２１. (本小题满分 １２ 分)
某学校组织“中亚峰会” 知识竞赛 有 Ａ Ｂ 两类问题 每位参加比赛的同学先在两类问
题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答. 若回答错误 则该同学比赛结束 若回答正
确 则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答 无论回答正确与否 该同学比赛结束. Ａ
类问题中的每个问题回答正确得 ｍ (０ < ｍ≤１００ ｍ∈Ｎ) 分 否则得 ０ 分 Ｂ 类问题中的每个
问题回答正确得 ｎ (０ < ｎ≤１００ ｎ∈Ｎ) 分 否则得 ０ 分. 已知学生甲能正确回答 Ａ 类问题的概
率为 ｐ１ 能正确回答 Ｂ 类问题的概率为 ｐ２ 且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(１) 若学生甲先回答 Ａ类问题 ｍ ＝ ２０ ｎ ＝ ８０ ｐ１ ＝ ０ ８ ｐ２ ＝ ０ ６ 记 Ｘ为学生甲的累
计得分 求 Ｘ 的分布列和数学期望.
(２) 若 ｎ ＝ ２ｍ ｐ１ ＝ ２ｐ２ > ０ 则学生甲应选择先回答哪类问题 使得累计得分的数学期
望最大 并说明理由.
２２. (本小题满分 １２ 分)
已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ－２ － ａｌｎｘ.
(１) 若函数 ｆ(ｘ) 在区间 [１ ＋ ∞ ) 上单调递增 求实数 ａ 的取值范围
(２) 求证: 当 ０ < ａ < １ 时 ｆ(ｘ) > ０.
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漳州市 ２０２２－２０２３ 学年 (下) 期末高中教学质量检测
高二数学参考答案
评分说明:
１. 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
２. 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的
一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分.
３. 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
４. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、 单项选择题 (本大题共 ８ 小题 每小题 ５ 分 共 ４０ 分. 在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的)
１. Ｂ　 　 ２. Ｄ　 　 ３. Ｄ　 　 ４. Ｃ　 　 ５. Ｂ　 　 ６. Ｃ　 　 ７. Ａ　 　 ８. Ａ
二、 多项选择题 (本大题共 ４ 小题 每小题 ５ 分 共 ２０ 分. 在每小题给出的四个选项中
有多项符合题目要求. 全部选对的得 ５ 分 选对但不全的得 ２ 分 有选错的得 ０ 分)
９. ＢＤ　 　 １０. ＢＤ　 　 １１. ＢＣＤ　 　 １２. ＡＢＤ
三、 填空题 (本大题共 ４ 小题 每小题 ５ 分 共 ２０ 分)
１３. ０ ２　 　 １４. ３ 　 　 １５. (０ ＋ ) 　 　 １６. ４２
８ ∞ ２１
四、 解答题(本大题共 ６ 小题 共 ７０ 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤)
１７. (本小题满分 １０ 分)
解: (１) Ａ→Ｎ ＝ ＡＡ→ ＋ Ａ→Ｎ ＝ ＡＡ→ ＋ ２１ １ １ (Ａ１Ｂ
→
１ ＋ Ａ
→
１Ｄ１ ) ２ 分３
＝ →ｃ ＋ ２ →ａ ＋ →ｂ ＝ ２( ) →ａ ＋ ２ →ｂ ＋ →ｃ ４ 分
３ ３ ３
(２) Ａ→Ｍ ＝ １ →ａ ＋ １ →ｂ ＋ １ →ｃ Ｎ→Ｍ ＝ Ａ→Ｍ － Ａ→Ｎ ＝－ １ →ａ － １ →ｂ － １ →ｃ ６ 分
２ ２ ２ ６ ６ ２
→ａ２ ＝ →ａ ２ ＝ ４ →ｂ ２ ＝ →ｂ ２ ＝ ４ →ｃ ２ ＝ →ｃ ２ ＝ １
→ａ →ｂ ＝ ２ × ２ × ｃｏｓ ９０° ＝ ０ →ａ →ｃ ＝ ２ × １ × ｃｏｓ ６０° ＝ １
→ｂ →ｃ ＝ １ × ２ × ｃｏｓ ６０° ＝ １ ８ 分
∴ Ｎ→ １
２
Ｍ ＝ － → ａ － １ →ｂ － １ →ｃ ÷
è ６ ６ ２
＝ １ →ａ２ ＋ １ →ｂ ２ ＋ １ →ｃ ２ ＋ １ →ａ →ｂ ＋ １ →ａ →ｃ ＋ １ →ｂ →ｃ
３６ ３６ ４ １８ ６ ６
＝ １ × ４ ＋ １ × ４ ＋ １ × １ ＋ １ × ０ ＋ １ × １ ＋ １ × １ ＝ ２９ １０ 分
３６ ３６ ４ １８ ６ ６ ６
高二数学参考答案　 第 １ 页 (共 ５ 页)
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１８. (本小题满分 １２ 分)
－ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋: (１)ｘ ４ ＝
＋
２ ５ ｙ－ ＝ ６ １ ６ ３
＋ ６ ７ ＋ ６ ９
解 ＝ ６ ５ ２ 分
４ ４
４
∑(ｘｉ － ｘ－)(ｙ －ｉ － ｙ) ＝ － １ ５ × ( － ０ ４) ＋ ( － ０ ５) × ( － ０ ２) ＋ ０ ５ × ０ ２ ＋ １ ５ ×
ｉ ＝ １
０ ４ ＝ １ ４
４
∑ (ｘ － ２ｉ － ｘ) ＝ (１ － ２ ５) ２ ＋ (２ － ２ ５) ２ ＋ (３ － ２ ５) ２ ＋ (４ － ２ ５) ２ ＝ ５
ｉ ＝ １
４
∑ (ｙ － ｙ－ｉ ) ２ ＝ (６ １ － ６ ５) ２ ＋ (６ ３ － ６ ５) ２ ＋ (６ ７ － ６ ５) ２ ＋ (６ ９ － ６ ５) ２ ＝ ０ ４
ｉ ＝ １
５ 分
ｎ
∑(ｘｉ － ｘ－)(ｙ －ｉ － ｙ)
ｒ ＝ ｉ ＝ １ ＝ １ ４ ≈ ０ ９９ > ０ ８ ６ 分
ｎ ｎ
∑ (ｘ － ２ － ２ ５ ０ ４ｉ － ｘ) ∑ (ｙｉ － ｙ)
ｉ ＝ １ ｉ ＝ １
∴ 售出的产品数量 ｙ(万件) 与月份 ｘ 具有高度线性相关. ７ 分
４
∑(ｘ － ｘ－ｉ )(ｙｉ － ｙ－)
(２) ｂ＾ ＝ ｉ ＝ １ ＝ １ ４ ＝４ ０ ２８ ８ 分
∑ － ５(ｘｉ － ｘ) ２
ｉ ＝ １
ａ＾ ＝ ｙ－ － ｂ＾ ｘ－ ＝ ６ ５ － ０ ２８ × ２ ５ ＝ ５ ８ ９ 分
ｙ＾ ＝ ０ ２８ｘ ＋ ５ ８ １０ 分
当 ｘ ＝ ５ 可得 ｙ＾ ＝ ０ ２８ × ５ ＋ ５ ８ ＝ ７ ２ 万件 １１ 分
∴ 预测该公司 ５ 月份出售产品数量为 ７ ２ 万件 １２ 分
１９. (本小题满分 １２ 分)
解: (１) ｆ ′(ｘ) ＝ ａ ｇ′(ｘ) ＝ １２ １ 分ｘ ｘ
依题意得 ｆ ′(２) ＝ ｇ′(１) ａ即 ＝ １ 解得 ａ ＝ ４ ３ 分
４
故 ｆ(ｘ) ＝ １ － ４ ｆ(２) ＝ － １ ４ 分
ｘ
ｆ(ｘ) 在点(２ ｆ(２)) 处的切线方程为 ｙ － ( － １) ＝ ｘ － ２ 即 ｙ ＝ ｘ － ３
而 ｇ(ｘ) 在点(１ ０) 处的切线方程为 ｙ ＝ ｘ － １ 这两条切线平行 故 ａ ＝ ４
５ 分
(２) 函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 的图象与 ｙ ＝ ｇ(ｘ) 的图象有两个公共点
方程 ｆ(ｘ) ＝ ｇ(ｘ) 有两个不等实根
高二数学参考答案　 第 ２ 页 (共 ５ 页)
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方程 １ － ａ ＝ ｌｎｘ 有两个不等实根
ｘ
方程 ａ ＝ ｘ － ｘｌｎｘ 有两个不等实根
直线 ｙ ＝ ａ 与函数 ｈ(ｘ) ＝ ｘ － ｘｌｎｘ 的图象有两个交点
７ 分
∵ ｈ′(ｘ) ＝ １ － (１ ＋ ｌｎｘ) ＝ － ｌｎｘ ８ 分
当 ｘ∈(０ １) 时 ｈ′(ｘ) >０ ｈ(ｘ) 单调递增 当 ｘ∈(１ ＋∞) 时 ｈ′(ｘ) <０ ｈ(ｘ)
单调递减
∴ ｈ(ｘ) 有极大值 也是最大值为 ｈ(１) ＝ １ ９ 分
∵ 当 ｘ → ０ 时 ｈ(ｘ) → ０ 当 ｘ →＋∞ 时 ｈ(ｘ) ＝ ｘ(１ － ｌｎｘ) →－∞
１０ 分
∴ 可以画出 ｈ(ｘ) 的草图: (如上图)
由图可知当 ａ∈(０ １) 时 直线 ｙ ＝ ａ与函数 ｈ(ｘ) ＝ ｘ － ｘｌｎｘ的图象有两个交点
１１ 分
即函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 的图象与 ｙ ＝ ｇ(ｘ) 的图象有两个公共点 故 ａ∈(０ １)
１２ 分
２０. (本小题满分 １２ 分)
解: (１) ∵ ＰＱ ∥ ＣＤ ＰＱ ＝ ＣＤ ∴ 四边形 ＰＱＣＤ 是平行四边形
∴ ＰＤ ∥ ＱＣ ２ 分
∵ ＰＤ 平面 ＱＢＣ ＱＣ 平面 ＱＢＣ ∴ ＰＤ ∥ 平面 ＱＢＣ ４ 分
(２) 取 ＡＤ 的中点为 Ｏ ∵ ＰＡ ＝ ＰＤ ∴ ＯＰ⊥ＡＤ
∵ 平面 ＰＡＤ⊥平面 ＡＢＣＤ ＯＰ 平面 ＰＡＤ 平面 ＰＡＤ∩平面 ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ
∴ ＯＰ⊥平面 ＡＢＣＤ ５ 分
以点 Ｏ 为坐标原点 分别以直线 ＯＤ ＯＰ 为
ｙ 轴 ｚ 轴建立空间直角坐标系 Ｏ － ｘｙｚ 则 ｘ
轴在平面 ＡＢＣＤ 内.
∵ ∠ＡＰＤ ＝ ９０° ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ２ ＰＱ ＝ ＣＤ ＝ １
∴ Ａ(０ － １ ０) Ｂ(２ － １ ０) Ｃ(１ １ ０)
Ｑ(１ ０ １)
∴ Ｂ→Ｑ ＝ ( － １ １ １) Ｃ→Ｑ ＝ (０ － １ １) ７ 分
→ｎ Ｂ→Ｑ ＝ ０ － ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝→ ０ 设平面 ＱＢＣ 的法向量为 ｎ ＝ (ｘ ｙ ｚ) ∴ { → 即→ ＝ {ｎ ＣＱ ０ － ｙ ＋ ｚ ＝ ０
高二数学参考答案　 第 ３ 页 (共 ５ 页)
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{ｘ ＝ ｙ ＋ ｚ ∴ 令 ｚ ＝ １ 则 ｙ ＝ １ ｘ ＝ ２ ∴ →ｎ ＝ (２ １ １) ９ 分ｙ ＝ ｚ
∵ Ｑ→Ｂ ＝ (１ － １ － １) ∴ Ｑ→Ｍ ＝ (λ － λ － λ)
∴ Ａ→Ｍ ＝ Ａ→Ｑ ＋ Ｑ→Ｍ ＝ (１ ＋ λ １ － λ １ － λ) １０ 分
又平面 ＱＢＣ 的法向量为 →ｎ ＝ (２ １ １) ＡＭ ⊥ 平面 ＱＢＣ
１ ＋ λ ＝ １ － λ ＝ １ － λ所以
２ １ １
∴ λ ＝ １ １１ 分
３
所以在线段 ＱＢ 上存在点 Ｍ 使 ＡＭ ⊥ 平面 ＱＢＣ 且 λ １的值是 １２ 分
３
２１. (本小题满分 １２ 分)
解: (１) 由题知 Ｘ ＝ ０ ２０ １００ １ 分
Ｐ(Ｘ ＝ ０) ＝ ０ ２ Ｐ(Ｘ ＝ ２０) ＝ ０ ８ × ０ ４ ＝ ０ ３２
Ｐ(Ｘ ＝ １００) ＝ ０ ８ × ０ ６ ＝ ０ ４８ ４ 分
Ｘ ０ ２０ １００
∴ Ｘ 的分布列为: ５ 分
Ｐ ０ ２ ０ ３２ ０ ４８
∴ Ｅ(Ｘ) ＝ ０ × ０ ２ ＋ ２０ × ０ ３２ ＋ １００ × ０ ４８ ＝ ５４ ４ ６ 分
(２) 学生甲选择先回答 Ａ 类问题时: Ｘ ＝ ０ ｍ ３ｍ
Ｐ(Ｘ ＝ ０) ＝ １ － ｐ１ ＝ １ － ２ｐ２ Ｐ(Ｘ ＝ ｍ) ＝ ｐ１(１ － ｐ２) ＝ ２ｐ２(１ － ｐ２)
Ｐ(Ｘ ＝ ３ｍ) ＝ ｐ１ × ｐ２ ＝ ２ｐ２２
∴ Ｅ１(Ｘ) ＝ ０ × (１ － ２ｐ２) ＋ ｍ × ２ｐ２(１ － ｐ２) ＋ ３ｍ × ２ｐ２２ ＝ ２ｍｐ ２２ ＋ ４ｍｐ２
８ 分
学生甲选择先回答 Ｂ 类问题时: Ｘ ＝ ０ ２ｍ ３ｍ
Ｐ(Ｘ ＝ ０) ＝ １ － ｐ２ Ｐ(Ｘ ＝ ２ｍ) ＝ ｐ２(１ － ｐ１) ＝ ｐ２(１ － ２ｐ２)
Ｐ(Ｘ ＝ ３ｍ) ＝ ｐ ２１ × ｐ２ ＝ ２ｐ２
∴ Ｅ２(Ｘ) ＝ ０ × (１ － ｐ２) ＋ ２ｍ × ｐ２(１ － ２ｐ２) ＋ ３ｍ × ２ｐ２２ ＝ ２ｍｐ２ ＋ ２ｍｐ２２
１０ 分
∵ Ｅ１(Ｘ) － Ｅ２(Ｘ) ＝ ２ｍｐ２２ > ０ ∴ Ｅ１(Ｘ) > Ｅ２(Ｘ) １１ 分
∴ 学生甲应选择先回答 Ａ 类问题 １２ 分
２２ (本小题满分 １２ 分)
解: ｆ(ｘ) ａ的定义域为(０ ＋∞) ｆ ′(ｘ ) ＝ ｅｘ－２ － １ 分ｘ
高二数学参考答案　 第 ４ 页 (共 ５ 页)
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(１) 依题意得: ｆ ′(ｘ) ＝ ｅｘ－２ － ａ ≥ ０ 对 ｘ∈ [１ ＋∞ ) 恒成立ｘ
ａ ≤ ｘｅｘ－２ 对 ｘ∈ [１ ＋∞ ) 恒成立
令 ｇ(ｘ) ＝ ｘｅｘ－２ ｘ∈ [１ ＋∞ ) 则 ｇ′(ｘ) ＝ ｅｘ－２ ＋ ｘｅｘ－２ ＝ (ｘ ＋ １)ｅｘ－２
当 ｘ∈[１ ＋∞) 时 ｇ′(ｘ) > ０ 故 ｇ(ｘ) 在[１ ＋∞) 上单调递增 ３ 分
所以 ｇ(ｘ) １的最小值为 ｇ(１) ＝
ｅ
１ １
故 ａ ≤ 即 ａ 的取值范围为( －∞ ] ５ 分ｅ ｅ
(２) (法一) 当 ０ < ａ < １ 时 由 ｆ″(ｘ ) ＝ ｅｘ－２ ＋ ａ > ０ 得 ｆ ′(ｘ) ＝ ｅｘ－２ － ａ２ 在(０ ＋∞) 上ｘ ｘ
单调递增
又 ｆ ′(ａ) ＝ ｅａ－２ － １ < ０ ｆ ′(２) ＝ １ － ａ > ０
２
由零点存在定理可得 ｆ ′(ｘ) 在(０ ＋∞) 上有唯一零点 ７ 分
设此零点为 ｘ 则 ｆ ′(ｘ ) ＝ ｅｘ０－２ － ａ ＝ ０ ｅｘ －２ ＝ ａ００ ０ 有 ８ 分ｘ０ ｘ０
两边取对数并整理得 － ｌｎｘ０ ＝ ｘ０ － ２ － ｌｎａ ９ 分
当 ｘ∈(０ ｘ０) 时 ｆ ′(ｘ) < ０ ｆ(ｘ) 单调递减
当 ｘ∈(ｘ０ ＋∞) 时 ｆ ′(ｘ) > ０ ｆ(ｘ) 单调递增
故 ｆ(ｘ) ≥ ｆ(ｘ ) ＝ ｅｘ ａ０－２０ － ａｌｎｘ０ ＝ ＋ ａ(ｘ０ － ２ － ｌｎａ) １０ 分ｘ０
＝ ａ ＋ ａｘ０ － ２ａ － ａｌｎａ ≥ ２
ａ ａｘ０ － ２ａ － ａｌｎａ ＝ － ａｌｎａ > ０ １１ 分ｘ０ ｘ０
即当 ０ < ａ < １ 时 ｆ(ｘ) > ０. １２ 分
(法二) 我们先证明 ｅｘ ≥ ｘ ＋ １ 当且仅当 ｘ ＝ ０ 时等号成立
构造函数 ｇ(ｘ) ＝ ｅｘ － ｘ － １ 则 ｇ′(ｘ) ＝ ｅｘ － １ ６ 分
当 ｘ < ０ 时 ｇ′(ｘ) < ０ ｇ(ｘ) 单调递减
当 ｘ > ０ 时 ｇ′(ｘ) > ０ ｇ(ｘ) 单调递增
故 ｇ(ｘ) ≥ ｇ(０) ＝ ０ 当且仅当 ｘ ＝ ０ 时等号成立 ７ 分
当 ｘ > － １ 时 对 ｅｘ ≥ ｘ ＋ １ 两边同时取对数有 ｘ ≥ ｌｎ(ｘ ＋ １)
故当 ｘ > ０ 时 ｘ － １ ≥ ｌｎｘ 当且仅当 ｘ ＝ １ 时等号成立 ８ 分
所以 ｅｘ－２ ≥ (ｘ － ２) ＋ １ ＝ ｘ － １ ≥ ｌｎｘ
两个“≥” 中等号成立的条件分别为 ｘ ＝ ２ 和 ｘ ＝ １
故当 ｘ > ０ 时 ｅｘ－２ > ｌｎｘ ９ 分
当 ０ < ｘ < １ 时 ｌｎｘ < ０ 又 ０ < ａ < １ 所以 ｅｘ－２ > ０ > ａｌｎｘ １０ 分
当 ｘ ≥ １ 时 ｌｎｘ > ０ 又 ０ < ａ < １ ｅｘ－２ > ｌｎｘ ≥ ａｌｎｘ １１ 分
综上所述 当 ０ < ａ < １ 时 ｆ(ｘ) > ０. １２ 分
高二数学参考答案　 第 ５ 页 (共 ５ 页)
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