2023北京东城高二（下）期末数学（教师版）（PDF含答案）

2023北京东城高二（下）期末
数 学
2023.7
本试卷共 6 页，满分 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题 共 36 分)
一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合 A = x x 1 ，B = 1,0,1,2 ，那么 A B =
A． 1，0 B． 0，1 C． 1，0，1 D． 0
2．从集合 1，2，3，4，5 中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为
A．10 B．15 C．20 D．25
2 1
3. 已知 a = lg e ，b = e ， c = ln （e = 2.71828 ），那么
10
A. b c a B． c b a C. b a c D. c a b
4．如图，曲线 y = f (x) 在点 (2，2)处的切线为直线 l ，直线 l 经过原点O ，则
f (2) + f (2) =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10 6
5. 在 (x 2) 的展开式中，。 x 的系数为
64C 6 6． ．64C ． 16C 4
4
A 10 B 10 C 10 D．16C10
6. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是 r1, r2 , r3 ， 那么
r1, r2 , r3 之间的关系为
(1) （2） (3)
A. r3 r2 r1 B. r2 r3 r1 C. r3 r1 r2 D. r1 r3 r2
7．已知等比数列{an}的首项和公比相等，那么数列{an}中与 a3a7 一定相等的项是
A． a5 B． a7 C． a9 D．a10
2
8．已知 x =1是函数 f (x) = (x 1) (x a)的极小值点，那么 a 的取值范围是
A. ( ，1) B. (1,+ ) C. ( ，1 D. 1,+ )
第1页/共9页
x
9．在函数 y = x ln x， y = cos x， y = 2 ， y = x ln x 中，导函数值不可能取到 1 的是
x
A. y = x ln x B. y = cos x C. y = 2 D. y = x ln x
10．已知有 7 件产品，其中 4 件正品，3 件次品，每次从中随机取出 1 件产品，抽出的产品不再放回，那
么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为
4 2 1 1
A． B． C． D．
7 3 3 6
11. 声压级（SPL ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB（分贝）.人类产
生听觉的最低声压为 20 μPa （微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为： PSPL = 20 lg ，
Pref
其中 P 是测量的有效声压值， P 声压的基准值， P = 20 μPa .由公式可知，当声压ref ref P = 20 μPa 时，
SPL = 0dB .若测得某住宅小区白天的SPL 值为50dB，夜间的SPL 值为30dB，则该小区白天与夜间的
有效声压比为
5 3
A． B．10 C． D． 20
3 2
x 1 2
12．已知函数 f (x) = ae x (a R) ，
2
① 当 a 0 时， f (x) 在区间 (0,+ )上单调递减；
1
② 当 0 a 时， f (x) 有两个极值点；
e
1
③ 当 a 时， f (x) 有最大值.
e
那么上面说法正确的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分 (非选择题 共 64 分)
二、填空题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
13．已知数列{an}的首项 a1 =1，且 an = 2an 1(n N,n 1) ，那么 a3 = _______；数列{an}的通项公式
为 an = .
14．若函数 f (x) = lg (x2 mx +1)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___________.
a
15. 设函数 f (x) = x
3 + ( a 为常数)，若 f (x) 在 (0,+ ) 单调递增，写出一个可能的 a 值________.
x
16．幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受．为研究男生与女生的
幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据：
幸福 不幸福 总计
男生 638 128 766
女生 372 46 418
总计 1010 174 1184
2 1184 (638 46 128 372)
2
由此计算得到 2= 7.022 ，已知 P( 6.635) = 0.01，
1010 174 766 418
P( 2 7.879) = 0.005 ．
第2页/共9页
根据小概率值 = 0.01的 2 独立性检验， （填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感有
差异；根据小概率值 = 0.005的 2 独立性检验， （填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感
有差异．
17．盲盒，是一种新兴的商品. 商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时
不知道自己买到的是哪一款商品. 现有一商家设计了同一系列的 A、B、C 三款玩偶，以盲盒形式售卖，已
知 A、B、C 三款玩偶的生产数量比例为 6：3：1. 以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买 4 个
盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为_________.
18. 设 f (x) = sin x + mx (m R)，给出下列四个结论：
①不论m 为何值，曲线 y = f (x) 总存在两条互相平行的切线；
②不论m 为何值，曲线 y = f (x) 总存在两条互相垂直的切线；
③不论m 为何值，总存在无穷数列{an}，使曲线 y = f (x) 在 x = an (n =1, 2, 3, ) 处的切线互相平行；
④不论 m 为何值，总存在无穷数列{an}，使曲线 y = f (x) 在 x = an (n =1, 2, 3, ) 处的切线为同一条直
线．
其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿．
三、解答题共 5 小题，共 46 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（本小题 8 分）
某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中
前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛
的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
（Ⅰ）一共有多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）若队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
20．（本小题 10 分）
1 a
已知 y = f (x) 是定义在[ 3,3]上的奇函数，当 x [ 3,0]时， f (x) ＝ + (a R) .
9x 4x
（Ⅰ）求 y = f (x) 在 (0,3]上的解析式；
1 m 1
（Ⅱ）当 x [ 1, ]时，不等式 f (x) 恒成立，求实数m 的取值范围.
2 3x 4x 1
第3页/共9页
21．（本小题 10 分）
近年来，为改善城市环境，实现节能减排，许多城市出台政策大力提倡新能源汽车的使用.根据中国汽
车流通协会的发布会报告，将 2023 年 1 月、2 月新能源乘用车市场销量排名前十的城市及其销量统计如下
表：
2023 年 1 月 2023 年 2 月
排名 城市 销量 排名 城市 销量
1 上海 12 370 1 上海 17 707
2 深圳 12 132 2 杭州 15 001
3 成都 8 755 3 深圳 13 873
4 杭州 8 718 4 广州 12 496
5 郑州 8 673 5 郑州 11 934
6 广州 8 623 6 成都 11 411
7 重庆 7 324 7 重庆 8 712
8 西安 6 851 8 北京 8 701
9 天津 6 649 9 苏州 8 608
10 苏州 6 638 10 西安 7 680
表 1 表 2
（Ⅰ）从 1 月、2 月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城
市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于 10 000 的概率;
（Ⅱ）从表 1、表 2 的 11 个城市中随机抽取 2 个不同的城市，设这两个城市中 2 月排名比 1 月上升的城市
的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
22. （本小题 10 分）
已知函数 f (x) = (m x)e
x
，m R .
（Ⅰ）若m = 2 ，求 f (x) 在区间 [ 1,2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设 g(x) = x f (x) ，求证： g(x)恰有 2 个极值点；
x
（Ⅲ）若 x [ 2,1]，不等式 ke x + 2 恒成立，求 k 的最小值.
第4页/共9页
23．（本小题 8 分）
已知数列{an}满足 a1 =1， an = 2an 1 +1(n 1，n N ) .
（Ⅰ）求 a2，a3，a4 的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式 an ；
（Ⅲ）若数列{b }满足b =1，b = b2n 1 .对任意的正整数 n ，是否都存在正整数n n 1 + 2bn 1(n 1,n N )
m，使得 am = bn ？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
第5页/共9页
参考答案
一、 选择题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
1. A 2. C 3. D 4. C 5. D 6. B
7. D 8. A 9. D 10. B 11. B 12. C
二、填空题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
n 1
13. 4 , 2 14. ( 2, 2) 15. 0（答案不唯一， a 0 即可）
16. 可以；不能 17. 0.216
18. ①③④（全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有错误选项得 0 分.）
注：两空给分 2；1
三、解答题共 5 小题，共 46 分。
19．（本小题 8 分）
解：（Ⅰ）出场阵容可以分两步确定：
第 1 步，从 5 名运动员中选择 2 人，分别参加前两场男单比赛，共有 A2 种； 5
第 2 步，从剩下的 3 名运动员中选出两人参加男双比赛，共有C2 种， 3
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容数量为 N = A2 C 2 = 60 . ---------4 分 5 3
（Ⅱ）队员 A 不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第 1 类方案是队员 A 不参加任务比赛，即除了队员 A 之外的 4 人参加本次比赛，只需从 4 人中选出两人，
分别取参加前两场单打比赛，共有 A2 种； 4
第 2 类方案是队员 A 参加单打比赛，可以分 3 个步骤完成：
第 1 步，确定队员 A 参加的是哪一场单打比赛，共 2 种；
第 2 步，从剩下 4 名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共 4 种；
第 3 步，从剩下的 3 名队员中，选出两人参加男双比赛，共有C2 种， 3
根据分步乘法计数原理，队员 A 参加单打比赛的不同的出场阵容有 2 4 C 23 种；
根据分类加法计数原理，队员 A 不参加男子双打比赛的不同的出场阵容数量为 N = A24 + 2 4 C
2
3 = 36 .
------8 分
20．（本小题 10 分）
（Ⅰ）因为 y = f (x) 是定义在[ 3,3]上的奇函数， x [ 3,0]时，
1 a
f (x) ＝ + a R ，
9x
( )
4x
1 a
所以 f (0) = + = 0 ，解得 a = 1，
90 40
1 1
所以 x ( 3,0]时， f (x) = ，
9x 4x
第6页/共9页
当 x (0,3]时， x [ 3,0) ，
1 1
所以 f ( x) = = 9
x 4x ，
9 x 4 x
又 f (x) = f ( x) = 4x 9x，
即 y = f (x) 在 (0,3]上的解析式为 f (x) = 4x 9x ； ---------------5 分
1 1 1
（Ⅱ）因为 x [ 1, ]时， f (x) = ，
2 9x 4x
m 1 1 1 m 1
所以 f (x) 可化为 ，
3x 4x 1 9x 4x 3x 4x 1
x x
1 3
整理得m +3 ，
3 4
x x
1 3
令 g (x) = + 3 ，根据指数函数单调性可得，
3 4
所以 g(x) 也是减函数，
1 1
1 3
所以 g (x) = g ( 1) = +3 max = 7 ，
3 4
所以 m 7，
故实数m的取值范围是 7,+ ) . ------- ----------10 分
21．（本小题 10 分）
解：（Ⅰ）设“抽到的城市该月新能源汽车销量大于 10000”为事件 A，“选取表 1”为事件 B ，“选取表 2”为事
件C ，则
1 2 1 6 2
P(A) = P(AB AC) = P(B)P(A B) + P(C)P(A C) = + = -----------------4 分
2 10 2 10 5 .
（Ⅱ）两个月共有 11 个城市上榜，其中 2 月排名比 1 月上升的城市有杭州，广州，北京，苏州，故 X 可取
0,1,2.
C2
P(X = 0) = 7
21
=
C2 5511 ,
C1 C1 28
P(X =1) = 7 4 =
C2 5511 ,
C2 6
P(X = 2) = 4 =
C2 5511 .
所以， X 的分布列为
X 0 1 2
P 21 28 6
55 55 55
第7页/共9页
21 28 6 8
故随机变量 X 的数学期望 E(X ) = 0 +1 + 2 = -------------------10 分
55 55 55 11 .
22. （本小题 10 分）
解： (Ⅰ) f (x) = (2 x)e
x
， f (x) = (1 x)e
x
.
综上， x 1 ( 1,1) 1 (1,2) 2
f (x) + 0
3 极大值 f (2) = 0
f (x) f ( 1) =
e f (1) = e
f (x)max = f (1) = e, f (x)min = f (2) = 0 . -------------4 分
(Ⅱ) g(x) = xf (x) = (mx x2 )ex ，
g (x) = (mx x2 +m 2x)ex = (x2 (m 2)x m)ex
,
= (m 2)2 + 4m = m2 + 4 0
,
x2所以方程 (m 2)x m = 0 有两个不同的根，设为 x1, x2 (x1 x2 ) .则有
综上， g(x)
x ( ，x1) x1 (x1， x2 ) x2 ( x2 ,+ )
恰有 2 个 极值点.
g (x) 0 0
-------------- + -------7
分 g(x) 极小值 极大值
ex(III) 0 ,
x + 2
x [ 2,1]，不等式 k 恒成立.
ex
x
x + 2 e (x + 2)e
x ( x 1)
设 h(x) = ， h (x) = =
2x x
ex e e ,
x 2 ( 2, 1) 1 ( 1,1) 12
h (x) + 0
极大值 3
h(x) h( 2) = 0 h(1) =
h( 1) = e e
k h(x)max = h( 1) = e ， kmin = e . ---------------------10 分
23．（本小题 8 分）
解：（Ⅰ）a2 = 2a1 +1=3， a3 = 2a2 +1=7 ， a4 = 2a3 +1=15； -------------3 分
（Ⅱ） an = 2an 1 +1(n 1)， an +1= 2(an 1 +1)，
又 a1 +1= 2 0，
数列{an +1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列；
an +1=（a1+1）2
n 1 = 2n ，
a =2n 1， n
*
N
n ； -------------6 分
（Ⅲ）存在正整数m ，使得 am = bn .
由（Ⅱ）可知 an =2
n 1；
2
由b = b ，可得n n 1 + 2bn 1 bn +1= (b +1)
2
n 1 ，
则 b2 +1= (b1 +1)
2 = 22 ，
第8页/共9页
2
b3 +1= (b2 +1)
2 = 22 ，
2 23b4 +1= (b3 +1) = 2 ，
-------
n 1 n 1
归纳得bn +1= (b +1)
2 2 1 2
n 1 = 2 ，即bn = 2 1；
20
证明：① 当 n =1时，b1 = 2 1=1 = a1，符合题意，
k 1
假设当 n = k 时，bk = 2
2 1
,
② 当n = k +1时，bk +1 +1= (b +1)
2
k ,
2k 1 k
即bk +1 = (2 )
2 1= 22 1
,
这说明假设当 n = k 时猜想正确，那么当 n = k +1时猜想也正确.
2n 1
由上述可知猜想正确，即bn = 2 1 .
又因为 am =2
m 1，
n 1
所以对任意的正整数 n，都存在正整数m = 2 ，使得 am = bn . -
------------8 分
第9页/共9页