北师数学必修第一册第一章集合1.3集合的基本运算第2课时全集与补集（知识点+题型+自测题）（有答案）

集合
1.3集合的基本运算
第2课时　全集与补集
教学目标
1．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．
2．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．
知识点归类
知识点1　全集
(1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的__子集__，这个给定的集合叫作全集．
(2)表示方法：常用符号U表示．
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
知识点2　补集
思考2：怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
知识点3　补集的性质
对任何集合A，有A∪( UA)＝__U__，A∩( UA)＝__ __， U( UA)＝__A__．
题型归类
题型一　补集的运算
例 1　(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，则集合B＝__{2，3，5，7}__．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则 UA＝__{x|x＜－3，或x＝5}__．
[分析]　(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
[解析]　(1)∵A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，
∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．
又 UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知 UA＝{x|x＜－3，或x＝5}．
[归纳提升]　求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】 　(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 UA＝(　B　)
A． 　　　　　 B．{2}
C．{5}　 D．{2，5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__．
[解析]　(1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则 UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B．
(2)∵A∪( UA)＝U，且A∩( UA)＝ ，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2．
题型二　交集、并集、补集的综合运算
例 2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)．
[分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出 UA及 UB，再求解．
[解析]　如图，
由图可得 UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
如图，
由图可得 UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
如图，
由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，
∴( UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x|2＜x＜3}．
[归纳提升]　求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】 　(1)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪( UB)＝__{1，2，3}__；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩( UB)＝(　B　)
A．{x|0≤x＜1}　　 B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}　 D．{x|x＞1}
[解析]　(1) UB＝{2}，A∪( UB)＝{1，2，3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴ UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩( UB)＝{x|0＜x≤1}．
题型三　根据集合运算结果求参数的值或范围
例 3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，且( UA)∩B＝ ，求实数k的取值范围．
[分析]　求 UA，然后根据( UA)∩B＝ 分类讨论．
[解析]　因为全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，
所以 UA＝{x|1＜x＜3}，
因为集合B＝{x|k＜x＜2k＋1}，( UA)∩B＝ ，
所以分以下两种情况讨论：
(1)若B＝ ，则k≥2k＋1，解得k≤－1；
(2)若B≠ ，则或解得k≥3或－1＜k≤0．
由(1)(2)可知，实数k的取值范围是k≤0或k≥3．
[归纳提升]　由集合运算结果求参数的方法
(1)利用数轴分析．
当集合中元素个数无限时，可根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系，通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
【对点练习】 　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为____．
[解析]　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a＜且a≠0，则此时实数a的取值范围是．在全集U＝R中，集合的补集是
．
所以满足题意的实数a的取值范围是．
A　组·基础自测
一、选择题
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则 UA等于(　　)
A．{1，2}　 B．{3，4，5}
C．{1，2，3，4，5}　 D．
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0，1}，则( RA)∩B等于(　　)
A．{－2，－1}　 B．{－2}
C．{－1，0，1}　 D．{0，1}
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．A∩B　 B．A∪B
C．B∩( UA)　 D．A∩( UB)
4．已知集合U＝(0，＋∞)， UA＝(0，2)，那么集合A＝(　　)
A．(－∞，0]∪[2，＋∞)B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．[2，＋∞)　 D．(2，＋∞)
5．设集合U＝{－1，1，2，3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若 UM＝{－1，1}，则实数p＋q的值为(　　)
A．－1　 B．－5
C．5　 D．1
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩( UA)≠ ，则(　　)
A．k＜0或k＞3　 B．2＜k＜3
C．0＜k＜3　 D．－1＜k＜3
二、填空题
7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩( RB)＝____．
8．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有____人．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥}，求A∩B，( UB)∪P，(A∩B)∩( UP)．
10．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，若A∪B＝U，A∩B＝ ，且A∩( UB)＝{1，2}，试写出满足上述条件的集合A，B．
B　组·能力提升
一、选择题
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则 UA的所有非空子集的个数为(　　)
A．4　 B．3
C．2　 D．1
2．设P＝(4，＋∞)，Q＝(－2，2)，则(　　)
A．P Q　 B．Q P
C．P RQ　 D．Q RP
3．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x P}，则M－(M－P)等于(　　)
A．P　 B．M
C．M∩P　 D．M∪P
4．(多选题)已知集合U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，下列集合运算正确的是(　　)
A． UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B． UB＝{x|x＜2或x≥5}
C．A∩( UB)＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}
D．( UA)∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}
二、填空题
5．已知集合A＝{x|m－4＜x＜2m}，B＝{x|－1＜x＜4}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为___．
6．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则( UA)∩B＝___．
三、解答题
7．设全集I＝{2，3，x2＋2x－3}，A＝{5}， IA＝{2，y}，求实数x、y的值．
8．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
A　组·基础自测
一、选择题
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则 UA等于(　B　)
A．{1，2}　 B．{3，4，5}
C．{1，2，3，4，5}　 D．
[解析]　∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，∴ UA＝{3，4，5}．
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1，0，1}，则( RA)∩B等于(　A　)
A．{－2，－1}　 B．{－2}
C．{－1，0，1}　 D．{0，1}
[解析]　因为集合A＝{x|x＞－1}，所以 RA＝{x|x≤－1}，则( RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1，0，1}＝{－2，－1}．
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　C　)
A．A∩B　 B．A∪B
C．B∩( UA)　 D．A∩( UB)
[解析]　题图阴影部分表示由所有属于B且不属于A的元素组成的集合，故为B∩( UA)．
4．已知集合U＝(0，＋∞)， UA＝(0，2)，那么集合A＝(　C　)
A．(－∞，0]∪[2，＋∞)B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．[2，＋∞)　 D．(2，＋∞)
[解析]　利用数轴分析，可知A＝[2，＋∞)．
5．设集合U＝{－1，1，2，3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若 UM＝{－1，1}，则实数p＋q的值为(　D　)
A．－1　 B．－5
C．5　 D．1
[解析]　由已知可得M＝{2，3}，
则2，3为方程x2＋px＋q＝0的两根，
则p＝－(2＋3)＝－5，
q＝2×3＝6，故p＋q＝－5＋6＝1．故选D．
6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩( UA)≠ ，则(　C　)
A．k＜0或k＞3　 B．2＜k＜3
C．0＜k＜3　 D．－1＜k＜3
[解析]　 UA＝{x|1＜x＜3}，借助于数轴可得
∴0＜k＜3．
二、填空题
7．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩( RB)＝__{x|3＜x＜4}__．
[解析]　∵B＝{x|－1≤x≤3}，
则 RB＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩( RB)＝{x|3＜x＜4}．
8．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有
__2__人．
[解析]　设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示．
则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥}，求A∩B，( UB)∪P，(A∩B)∩( UP)．
[解析]　将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
∵ UB＝{x|x≤－1或x＞3}，
∴( UB)∪P＝，
∴(A∩B)∩( UP)＝{x|－1＜x＜2}∩＝{x|0＜x＜2}．
10．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，若A∪B＝U，A∩B＝ ，且A∩( UB)＝{1，2}，试写出满足上述条件的集合A，B．
[解析]　∵A∪B＝U，A∩B＝ ，
∴A＝ UB，又A∩( UB)＝{1，2}，
∴A＝{1，2}，∴B＝{3，4，5}．
B　组·能力提升
一、选择题
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，5}，则 UA的所有非空子集的个数为(　B　)
A．4　 B．3
C．2　 D．1
[解析]　∵ UA＝{2，4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．
2．设P＝(4，＋∞)，Q＝(－2，2)，则(　D　)
A．P Q　 B．Q P
C．P RQ　 D．Q RP
[解析]　∵Q＝(－2，2)，
而 RP＝(－∞，4]，
∴Q RP．
3．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M，且x P}，则M－(M－P)等于(　C　)
A．P　 B．M
C．M∩P　 D．M∪P
[解析]　当M∩P＝ 时，由于对任意x∈M都有x P，所以M－P＝M，因此M－(M－P)＝M－M＝ ＝M∩P；当M∩P≠ 时，作出Venn图如图所示，
则M－P表示在M中但不在P中的元素构成的集合，因而M－(M－P)表示由在M中但不在M－P中的元素构成的集合．由于M－P中的元素都不在P中，所以M－(M－P)中的元素都在P中，所以M－(M－P)中的元素都在M∩P中，反过来M∩P中的元素也符合M－(M－P)的定义，因此M－(M－P)＝M∩P，故选C．
4．(多选题)已知集合U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，下列集合运算正确的是(　BC　)
A． UA＝{x|x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B． UB＝{x|x＜2或x≥5}
C．A∩( UB)＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}
D．( UA)∪B＝{x|x＜1或2＜x＜5或x＞6}
[解析]　由 UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}知选项A错误；
由 UB＝{x|x＜2或x≥5}知选项B正确；
由A∩( UB)＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}∩{x|x＜2或x≥5}＝{x|1≤x＜2或5≤x＜6}知选项C正确；
由( UA)∪B＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}∪{x|2≤x＜5}＝{x|x＜1或2≤x＜5或x≥6}知选项D错误．
二、填空题
5．已知集合A＝{x|m－4＜x＜2m}，B＝{x|－1＜x＜4}，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为__{m|2≤m≤3}__．
[解析]　∵A∩B＝B，∴B A，∵A＝{x|m－4＜x＜2m}，B＝{x|－1＜x＜4}，
∴解得2≤m≤3，
即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}．
6．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则( UA)∩B＝__{(2，3)}__．
[解析]　∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴ UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2，3)}．
又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，
∴( UA)∩B＝{(2，3)}．
三、解答题
7．设全集I＝{2，3，x2＋2x－3}，A＝{5}， IA＝{2，y}，求实数x、y的值．
[解析]　因为A＝{5}， IA＝{2，y}．
所以I＝{2，5，y}，
又I＝{2，3，x2＋2x－3}，
所以，
所以或．
故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3．
8．已知集合A＝{x|x2＋ax＋2b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[解析]　∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4－2a＋b＝0． ①
又∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，
∴16＋4a＋2b＝0． ②
联立①②，得解得
经检验，符合题意：∴a＝－1，b＝－6．