北师数学必修第一册第一章集合1.3集合的基本运算第1课时交集与并集（知识点+题型+自测题）（有答案）

第一章集合
1.3　集合的基本运算
第1课时　交集与并集
【教学目标】
1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象)
2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算)
【知识点归类】
知识点1　交集
1．定义
自然 语言 一般地，由__既属于集合A又属于集合B的所有元素__组成的集合，叫作A与B的交集，记作__A∩B__(读作“A交B”)
符号 语言 __A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__
图形 语言 (1)A与B相交(有公共元素，相互不包含) 　 (2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝ )
(3)A?B，则A∩B＝A 　 (4)B?A，则A∩B＝B 　 (5)A＝B，A∩B＝B＝A
2．交集的性质
对于任何集合A，B，有A∩B＝__B∩A__，A∩B A，A∩B __B__，A∩A＝__A__，A∩ ＝__ __．
思考1：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
提示：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．
知识点2　并集
1．定义
自然 语言 一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作__A∪B__(读作“A并B”)．
符号 语言 __A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__
图形 语言 (3)A?B　　　(4)B?A　　(5)A＝B 说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集．
2．并集的性质
对于任何集合A，B，有A∪B＝__B∪A__，__A__ A∪B，__B__ A∪B，A∪A＝__A__，A∪ ＝__A__．
思考2：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．
“x∈A或x∈B”包含三种情形：
①x∈A，但x B；
②x∈B，但x A；
③x∈A且x∈B．
题型归类
题型一　交集运算
例 1　(1)设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(　B　)
A．{－1，0，1}　 B．{0，1}
C．{1}　 D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，则集合A∩B＝(　D　)
A．{x|x≤3或x＞4}　 B．{x|－1＜x≤3}
C．{x|3≤x＜4}　 D．{x|－2≤x＜－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1，2)}__．
[分析]　(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．
[解析]　(1)N＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴M∩N＝{0，1}，故选B．
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x＜－1}，故选D．
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}
＝＝{(1，2)}．
[归纳提升]　求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么．
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式．
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为 )．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
【对点练习】 　(1)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝(　A　)
A．{1，3}　 B．{2，4}
C．{2，4，5，7}　 D．{1，2，3，4，5，7}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(　D　)
A．{－3，1}　 B．{0，1}
C．{1，5}　 D．{1，3}
[解析]　(1)∵A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，5，7}，
∴A∩B＝{1，3}，故选A．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3．
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1，3}．
题型二　并集运算
例 2　(1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3＜x≤5}，B＝{x|2＜x≤6}，求A∪B．
[分析]　第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析]　(1)A∪B＝{1，2，3}∪{2，3，4，5}＝{1，2，3，4，5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3＜x≤5}∪{x|2＜x≤6}＝{x|－3＜x≤6}．
[归纳提升]　并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
【对点练习】 　(1)已知集合A＝{0，2，4}，B＝{0，1，2，3，5}，则A∪B＝__{0，1，2，3，4，5}__．
(2)若集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝__{x|x＞－2}__．
[解析]　(1)A∪B＝{0，2，4}∪{0，1，2，3，5}＝{0，1，2，3，4，5}．
(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x＞－2}．
题型三　集合的交集、并集性质的应用
例 3　(1)设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为__{t|t≤2}__．
(2)设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a＝0}．
①若A∩B＝B，求a的取值范围；
②若A∪B＝B，求a的取值．
[分析]　(1)把M∪N＝M转化为N M，利用数轴表示出两个集合，建立端点间的不等关系式求解．
(2)先化简集合A，B，再由已知条件得A∩B＝B和A∪B＝B，转化为集合A、B的包含关系，分类讨论求a的值或取值范围．
[解析]　(1)由M∪N＝M得N M，当N＝ 时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立．
当N≠ 时，由数轴可得
解得＜t≤2．
综上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2．∴A＝{0，2}．
①∵A∩B＝B，∴B A，B＝ ，{0}，{2}，{0，2}．
当B＝ 时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a＜0，∴a＜0；
当B＝{0}时，∴a＝0；
当B＝{2}时，无解；
当B＝{0，2}时，得a＝1．
综上所述，得a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}．
②∵A∪B＝B，∴A B．
∵A＝{0，2}，而B中方程至多有两个根，
∴A＝B，由①知a＝1．
[归纳提升]　利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性．
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系．
【对点练习】 　已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析]　(1)由题意得M＝{2}．
当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M N，∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2．
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)
A． 　 B．{2}
C．{0}　 D．{－2}
2．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞4}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x＜－5，或x＞－3}　 B．{x|－5＜x＜4}
C．{x|－3＜x＜4}　 D．{x|x＜－3，或x＞5}
3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于(　　)
A．x＝3，y＝－1　 B．(3，－1)
C．{3，－1}　 D．{(3，－1)}
4．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2}　 B．{3}
C．{－3，2}　 D．{－2，3}
5．集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A．{1，2，3}　 B．{1，2，4}
C．{2，3，4}　 D．{1，2，3，4}
6．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是(　　)
A．{a|－1＜a≤2}　 B．{a|a＞2}
C．{a|a≥－1}　 D．{a|a＞－1}
二、填空题
7．已知集合A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，C＝{6，8}，则(C∪A)∩B＝___．
8．若集合A＝{x|3ax－1＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，且A∪B＝B，则a的值是____．
三、解答题
9．已知集合A＝，集合B＝{m|3＞2m－1}，求A∩B，A∪B．
10．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
B　组·基础提升
一、选择题
1．设集合S＝{x|x≤2或x≥3}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(　　)
A．{x|2≤x≤3}　 B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}　 D．{x|0＜x≤2或x≥3}
2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　　)
A．{1，2}　 B．{1，5}
C．{2，5}　 D．{1，2，5}
3．(多选题)已知集合A＝{2，3，4}，集合A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合B可能为(　　)
A．{1，2，5}　 B．{2，3，5}
C．{0，1，5}　 D．{1，2，3，4，5}
4．(多选题)已知集合A＝{2，4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，则x的值可以为(　　)
A．4　 B．0
C．1　 D．2
二、填空题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0，1，2，3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是____．
6．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则使A (A∩B)成立的a的取值集合为____．
三、解答题
7．已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
A　组·基础自测
一、选择题
1．已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　B　)
A． 　 B．{2}
C．{0}　 D．{－2}
[解析]　因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．
2．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞4}，则M∪N＝(　A　)
A．{x|x＜－5，或x＞－3}　 B．{x|－5＜x＜4}
C．{x|－3＜x＜4}　 D．{x|x＜－3，或x＞5}
[解析]　在数轴上分别表示集合M和N，如图所示，
则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．
3．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N等于(　D　)
A．x＝3，y＝－1　 B．(3，－1)
C．{3，－1}　 D．{(3，－1)}
[解析]　∵M，N均为点集，由得
∴M∩N＝{(3，－1)}．
4．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　A　)
A．{2}　 B．{3}
C．{－3，2}　 D．{－2，3}
[解析]　A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，
由题意可知，阴影部分为A∩B，A∩B＝{2}．
5．集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C＝(　D　)
A．{1，2，3}　 B．{1，2，4}
C．{2，3，4}　 D．{1，2，3，4}
[解析]　A∩B＝{1，2}，(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}，故选D．
6．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是(　D　)
A．{a|－1＜a≤2}　 B．{a|a＞2}
C．{a|a≥－1}　 D．{a|a＞－1}
[解析]　因为A∩B≠ ，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，
易知a＞－1．
二、填空题
7．已知集合A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，C＝{6，8}，则(C∪A)∩B＝__{2，6，8}__．
[解析]　∵A∪C＝{2，3}∪{6，8}＝{2，3，6，8}，
∴(C∪A)∩B＝{2，3，6，8}∩{2，6，8}＝{2，6，8}．
8．若集合A＝{x|3ax－1＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，且A∪B＝B，则a的值是__0，，__．
[解析]　由题意知，B＝{1，4}，A∪B＝B，∴A B．
当a＝0时，A＝ ，符合题意；当a≠0时，A＝，
∴＝1或＝4，
∴a＝或a＝．
综上，a＝0，，．
三、解答题
9．已知集合A＝，集合B＝{m|3＞2m－1}，求A∩B，A∪B．
[解析]　解不等式组得－2＜x＜3，
则A＝{x|－2＜x＜3}．
解不等式3＞2m－1，得m＜2，则B＝{m|m＜2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示．
则A∩B＝{x|－2＜x＜2}，A∪B＝{x|x＜3}．
10．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
[解析]　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3．
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－1，1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1，0，－3}，B＝{－4，－3，2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1．
B　组·基础提升
一、选择题
1．设集合S＝{x|x≤2或x≥3}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(　D　)
A．{x|2≤x≤3}　 B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}　 D．{x|0＜x≤2或x≥3}
[解析]　∵S＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x＞0}，
∴S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故选D．
2．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于(　D　)
A．{1，2}　 B．{1，5}
C．{2，5}　 D．{1，2，5}
[解析]　因为A∩B＝{2}，所以2∈A，2∈B，
所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2，
即A＝{1，2}，B＝{2，5}，
所以A∪B＝{1，2，5}，故选D．
3．(多选题)已知集合A＝{2，3，4}，集合A∪B＝{1，2，3，4，5}，则集合B可能为(　AD　)
A．{1，2，5}　 B．{2，3，5}
C．{0，1，5}　 D．{1，2，3，4，5}
[解析]　集合A＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4，5}，则B中必有元素1和5，且有元素2，3，4中的0个，1个，2个或3个都可以，AD符合．B、C错误，故选AD．
4．(多选题)已知集合A＝{2，4，x2}，B＝{2，x}，A∪B＝A，则x的值可以为(　ABC　)
A．4　 B．0
C．1　 D．2
[解析]　∵A∪B＝A，∴B A．
∴x∈A，∴x＝4或x2＝x，
由x2＝x解得x＝0或1，
当x＝0时，A＝{2，4，0}，B＝{2，0}，满足题意．
当x＝1时，A＝{2，4，1}，B＝{2，1}，满足题意．
当x＝4时，A＝{2，4，16}，B＝{2，4}，满足题意．
故选ABC．
二、填空题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0，1，2，3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是__1≤a＜2__．
[解析]　∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，
∴1≤a＜2．
6．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则使A (A∩B)成立的a的取值集合为__{a|a≤9}__．
[解析]　由A (A∩B)，得A B，则
(1)当A＝ 时，2a＋1＞3a－5，解得a＜6．
(2)当A≠ 时，解得6≤a≤9．
综合(1)(2)可知，使A (A∩B)成立的a的取值集合为{a|a≤9}．
三、解答题
7．已知集合M＝{x|2x＋6＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝－4时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析]　(1)M＝{－3}．
当m＝－4时，N＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}，
则M∩N＝{－3}∩{－1，4}＝ ，M∪N＝{－3}∪{－1，4}＝{－3，－1，4}．
(2)∵M∩N＝M，∴M N．由于M＝{－3}，则－3∈N，
∴－3是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
∴(－3)2－3×(－3)＋m＝0，解得m＝－18．
8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
[解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人．