重庆市渝北区名校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

渝北区名校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
单选题（本大题共8小题，共40分）
1.圆与圆的位置关系是
A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内切
2.已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则抛物线的标准方程为
A. B. C. D.
4.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为
A. B.
C. D.
5.已知等比数列中,有,数列是等差数列,其前项和为,且,则 ( )
A.26 B.52 C.78 D.104
6.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于
A. B. C. D.
7.由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为( )
A.1 B. C. D.3
8.设、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，若的最小值是，则的值为
A. B. C. D.
二．多选题（本大题共4小题，共20分）
9.已知直线：，直线：，则下列命题正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 直线过定点 D. 直线过定点
10.已知直线：，则下述正确的是
A. 直线的斜率可以等于 B. 直线的斜率一定存在
C. 当时，直线的倾斜角为 D. 点到直线的最大距离为
11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为
D．直线与面所成的角为
12. 已知P是椭圆：上的动点，过直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．的焦距为 B．当为中点时，直线的斜率为
C．的离心率为 D．若，则的面积为1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知数列满足，，则______．
14.在四面体中, ,若,则 .
15.椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的方程为_ _ ．
16.设是椭圆：上的任一点，为圆：的任一条直径，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.(10分)已知公比大于的等比数列满足，．
求的通项公式；
求．
18.（12分）如图，四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，点在棱上，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值的大小．
19. （12分）已知抛物线：上两点，，焦点为满足：
，线段的垂直平分线过．
求抛物线的方程；
过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程．
20. （12分）记是公差不为的等差数列的前项和，若．
求数列的通项公式；
求使成立的的最小值．
21. （12分）如图，已知正三棱柱中，，，点为的中点，点在上，．
求与所成角的余弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
22（12分）.在平面直角坐标系中，设为椭圆：的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为，且．
求椭圆的标准方程；
若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．
求证：为定值；
求面积的最大值．
参考答案
AAD DBC CC 9.BCD 10.ACD 11.AB 12.ABD
13. 14.6 15. 16.8
16. 解：设，则，即，
．
由圆：，得，
．
由题意，，当时，取得最大值，
则的最大值为．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
则
，
．
．
18.解：连接，，交点为．
，
∽，且．
，
在三角形中，，．
．
在平面内，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
底面，底面为直角梯形，，，，
，，，，
，，，
由题得向量是平面的一个法向量．
设向量是平面的一个法向量，
，
，令，得，
设二面角的平面角是，
则，
．
二面角的正弦值．
19.解：由抛物线的定义，易知：，
，
点在线段的垂直平分线上，，
即：，
又，，，
整理得：，
，，即：，
解得：，抛物线的方程为．
，直线：，
设与平行的直线：，
由得：，
，
又，
，
故直线的方程：．
20.解：由等差数列的性质可得：，则，
设等差数列的公差为，从而有，
，
从而，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：
由数列的通项公式可得，
则，
则不等式即，整理可得，
21解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，
设与所成角为，
则，
故ED与所成角的余弦值为；
由待定系数法求出平面法向量为，平面的法向量，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
22解：因为，所以，
又，
所以，
所以，，
所以椭圆的标准方程为．
当的斜率为时，显然，．
当的斜率不为时，设：，
由 得，
设，，
故有，
所以．
因为，
所以．
综上所述，恒有为定值．
，
即，
当且仅当，即时取等号此时适合 ，
所以 面积的最大值为．