安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题（含解析）

庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测
数学试题
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的答案涂在答题卡上）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数（为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位 十位 百位 千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位 十位 百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数是定义在上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.随机变量，且，则（ ）
A.64 B.128 C.256 D.32
6.6，我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ）
A. B. C.9 D.6
7.如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，则从正方形开始，连续15个正方形的面积之和等于（ ）
A. B.
C. D.
8.下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③小赵 小钱 小孙 小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④
A.①② B.②③ C.①②③ D.②③④
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把正确的答案涂在答题卡上）
9.下列说法中正确的是（ ）
A.分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B.正态分布在区间和上取值的概率相等
C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D.若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
10.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
11.已知随机变量，若使的值最大，则等于（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
12.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.函数在区间内单调递增
B.当时，函数取得极小值
C.函数在区间内单调递增
D.当时，函数有极小值
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设向量，若，则__________.
14.已知，则的值为__________.
15.某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，__________（填“有”或“没有”）以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
（参考公式与数据：，其中
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
16.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人排进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，则__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设__________，求数列的前项和为.
①，②，③.从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题.
18.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为2，求.
19.（本小题满分12分）四棱锥中，底面是矩形，平面.以的中点为球心为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
20.（本小题满分12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用是为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式
参考数据：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
21.（本小题满分12分）已知椭圆），直线不过原点且不平行于坐标轴，直线与椭圆有两个交点，线段的中点为.
（1）证明：直线的斜率与直线斜率的乘积为定值；
（2）若直线过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线的斜率，若不能，说明理由.
22.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.
庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测
数学参考答案及评分标准
一 二 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C A D B C BD CD BC BC
1.【答案】B
【解析】由题意故选
2.【答案】D
【解析】，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选.
3.【答案】A
【解析】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位 十位 百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.
基本事件为：，
5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，则，所以.故选.
4.【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的奇函数且单调递减，又由，得，所以，即.故选.
5.【答案】A
【解答】解：由于，且，则，得，.故选：.
6.【答案】D
【解析】如图，作，
则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
则该刍瞢的体积为：
.故选.
7.【答案】B
【解析】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第个正方形的面积为，设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，
所以第个正方形的边长为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，
当时，，又，
数列是首项为，公比为的等比数列，
连续15个正方形的面积之和等于故选.
8.【答案】C
【解析】①随机变量X服从二项分布，
则，正确；
②因为随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，正确；
③设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，
则，所以，正确；
④，故不正确.故选.
9.【答案】BD
【解析】对于，根据抽样的意义，对每个个体都是公平的.错误；
对于，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，正确；
对于，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于错误；
对于，组数据的平均数是，所以该组数据的众数和中位数均为正确.故选
10.【答案】CD
【解答】解：的展开式中第3项与第8项的系数相等，
所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项；
故选：.
11.【答案】BC
【解析】令，得，
即当时，；
当时，；
当时，；
所以和的值最大.
故选：.
12.【答案】BC
【解析】对于，函数在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；
对于，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故正确；
对于，当时，，故不正确.
故选：BC
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.5 14.6 15.有 16.
13.【答案】5
【解析】向量，
，则，故答案为：5
14.【答案】6
【解析】由得
则，即，解得.
15.【答案】有
【解析】依题意，可得出如下列联表：
国内代表 国外代表 合计
不乐观 40 60 100
乐观 60 40 100
合计 100 100 200
，
所以有以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.故答案为：有.
16.【答案】
【解析】，
，
由全概率公式可得，
.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）设数列的公差为，则，
则.解得，
；
而，即，解得，
.
数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）选条件①：，则，
故，两式相减得
，
.
选条件②：，
，
.
选条件③：，
，
.
18.【解析】（1）由题设及
得，
故.
上式两边平方，整理得，
解得（舍去），.
（2）由得，
故.
又，则.
由余弦定理及得
.
所以.
19.【解析】
（1）证法一：由题知，
为的中点，
又，
平面，
平面，
平面平面.
证法二：建立空间直角坐标系如图，则.
，
设平面的法向量为，则
即
取，则，
平面的一个法向量，
同理可得平面的一个法向量.
即
平面平面.
（2）设平面的一个法向量，
由，可得：，
令，则，
设所求角为，则，
故所求角的正弦值为.
20.【解析】（1）由已知数据可得，
所以，
所以相关系数.
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2），
，
所以回归方程为.
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克.
21.【解析】（1）设直线，
由得，
.
直线的斜率，
即.
即直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值-9.
（2）四边形能为平行四边形.
直线过点，
直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是，
由（1）得直线的方程为.
设点的横坐标为.
由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，
因此.
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
.解得.
，
当直线的斜率为或时，四边形为平行四边形.
22.【解析】（1）令；
令，
令，解得，
令，解得，
则函数在上单点递增，在上单点递减，
.
要使函数有两个零点，
则函数的图像与有两个不同的交点.
则，即实数的取值范围为.
（2）；
设；
设，
则在上单调递增.
又，
，使得，即
当时，；
当时，；
在上单调递增，在上单调递减.
.
设.
当时，恒成立，则在上单调递增，
，即当时，.
当时，关于的不等式在上恒成立.