崇德实验中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
说明：本试题满分150分 考试时间120分钟，请在答题卡上作答
第卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．若复数是纯虚数，则实数a的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．下列命题中，正确的个数是（ ）
①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
②若||＝||，则＝或＝－；
③若 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若，则与共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知向量，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．-8 C．64 D．-64
5．在平面直角坐标系中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．3 B． C．-3 D．
8．设,其中，若在区间上为增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列与的值一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．是第三象限的点
11．如图，在平行四边形中，，
，，延长DP交BC于点M，
则（ ）
A． B． C． D．
12．下图是函数（其中，
，）的部分图象，下列结论正
确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．方程在区间上的所有实根之和为
第II卷(本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13．已知，是第四象限角，则的值是______．
14．已知数列{}的通项公式为，那么是它的第__________项．
15．在中，，，若角有两个解，则的取值范围是____________.
16．已知，，且，,则的值为________．
四、解答题(本题共有六道小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．（本题满分10分）
已知向量.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的值.
18．（本题满分12分）
已知函数.
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围.
19．（本题满分12分）
已知直线分别是函数与图象的对称轴.
（1）求的值；
（2）若关于的方程在区间上有两解，求实数的取值范围.
20．（本题满分12分）
已知函数，，，.的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为.
（1）求的最小正周期及的值；
（2）若点的坐标为，，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，求函数的值域.
21．（本题满分12分）
在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知，，若的内角，，的对边分别为，，.
（1）若，，且的面积为，求，的值.
（2）若，试判断的形状。崇德实验中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题参考答案
1．A（考查复数的运算、复数的分类）
【详解】依题意，由于是纯虚数，所以，解得.
故选：A.
2．A（考查向量的相等、向量的模、向量的共线问题）
【详解】①错误，如在 ABCD中，，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；
②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；
③错误，若 (λ为实数)，则λ＝0或；
④错误，当λ＝μ＝0时，＝0，但与不一定共线．
故选：A
3．C（考查两向量垂直的充要条件）
【详解】因为，，，所以，解得.
故选：C.
4．D
【详解】当时，，解得；当时，，
两式相减得，即，∴ ，
∴ ，
故选：D.
5．D（考查任意角的三角函数定义）
【详解】由任意角三角函数定义得：.
故选：D.
6．C（考查诱导公式、倍角公式的逆用）
【详解】由，可得，即，
则.
故选：C.
7．D（考查等差数列通项公式及前n项和公式）
【详解】解：设数列是公差为，，首项为，因为
所以，所以，所以
所以
故选：D
8．C（考查两角和差的三角函数、辅助角、三角函数的单调性）
【详解】由题意
，
由，得，
因为在上为增函数，
所以，得，解得
所以的最大值为，
故选：C.
9．CD（考查三角函数的诱导公式）
【详解】因为，A错误；，B错误；
，C正确；，D正确，
故选：CD
10．BC（考查复数的运算及相关概念）
【详解】，，所以，复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；共轭复数为，故C正确；
复数在复平面对应的点在第四象限，故D错误.
故选：BC.
11．ACD（考查向量的线性运算以及数量积公式）
【详解】依题意，
因为在平行四边形中，，，
所以，即M为BC的中点，
所以，故A正确；
因为不共线，所以错误，故B错误；
，故C正确；
，故D正确．
故选：ACD.
12．ABD（考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质
【详解】由已知，，，因此，∴，
所以，过点，因此，，又，
所以，∴，
对A，图象关于原点对称，故A正确；
对B，当时，，故B正确；
对C，由，有，故C不正确；
对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.
故选：ABD.
13．/（考查同角三角函数的关系）
【详解】解：因为，且，解得，
因为是第四象限角，所以；故答案为：
14．（考查数列通项公式及一元二次方程的解法）
【详解】试题分析：由得因为解得
15．（考查三角形接得到个数）
【详解】由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以，即，解得，
故答案为：
16．（考查两角和差的三角函数、角的变换、倍角公式）
【详解】∵<α<π，∴π<2α<2π.
∵－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<，而sin(2α－β)＝>0，
∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.又－<β<0且sin β＝，∴cosβ＝，
∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sin β.
又cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝.
又，∴sin α＝.
17．（考查向量的运算、两向量相等的充要条件、两向量共线的充要条件）
【详解】（1），
. 。。。。。。3分
（2），
又，，所以，解得，
所以. 。。。。。。6分
（3）,
，，
，
，解得. 。。。。。。10分
18．（考查特殊角的三角函数值、两角和差公式及辅助角、三角函数的单调区间的求法）
【详解】（1） 。。。。。3分
（2）
，所以，
由，可得
则函数增区间为；
由，可得
则函数减区间为；
所以函数增区间为，减区间为 。。。。。。8分
（3）因为，所以则，则
因为，方程都有解
即有解，所以的取值范围是. 。。。。。。12分
19．（考查了正弦函数的对称轴，考查了正弦函数的图像，考查了函数与方程思想，）
【详解】（1）由题知：
，
，
，. 。。。。。。 6分
（2）由+1-m
，所以，
，
在上有两个不同实数解，，
所以，. 。。。。。。 12分
20．（考查三角函数的解析式、周期、单调性）
【详解】（1）利用公式可知：．
点的横坐标为1，，． ......3分
（2）的坐标为，
又点的坐标为，，
又
即可求得：． 。。。。。。9分
（3）在上递增，在上递减，所以，而
。。。。。。12分
21．（考察正弦定理两角和差公式）
(1)∵
∴由正弦定理得
∵且
又∴，即 。。。。。。5分
(2)由正弦定理有∴
∵
∴
又∵，∴。所以的取值范围为（2,4）.
。。。。。。12分
（考查了正余弦二倍角公式及辅助角公式的应用,三角形面积公式及余弦定理解三角形的应用）
【详解】（1）由正弦的二倍角及余弦的降幂公式,结合辅助角公式化简可得
,
又,则,
又,故,,所以
在中由余弦定理可知,化简可得,
则可解得. 。。。。。。7分
（2）由条件,可知,
化简可得,则或,
即或,
所以为直角三角形或等腰三角形. 。。。。。。12分
