南平市 2022—2023 学年第二学期期末质量检测
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的
得 0 分．
9． BC 10．ABD 11．BCD 12．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9
13．48 14．0.84 15．
16
16．0 ( a 的取值范围为[0, 3]，答对其中之一即可)； 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（本题满分 10 分）
【解】（1）列联表为：
运动达标 运动不达标 总计
男生 38 12 50
女生 26 24 50
总计 64 36 100
………………………………………………1 分
零假设为H0 ：“运动达标”与“性别”无关…………………………………………………2 分
高二数学参考答案和评分标准 第1页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}
100 (38 24 26 12)2
根据列联表中的数据，计算得到 2 = = 6.25 5.024，………4 分
64 36 50 50
根据小概率值 = 0.025的 2的独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为“运动达标”与
“性别”有关联.………………………………………………………………………………5 分
（2）记从这 6 人中任选 2 人进行体育运动指导，选中的 2 人中至少有 1 名是女生的事
件为 A，……………………………………………………………………………………6 分
由（1）知“运动不达标”的男生 女生分别有 12 人和 24 人，按分层抽样的方法从中抽取
6 人，则男生 女生分别抽到 2 人和 4 人，………………………………………………7 分
C2 C1 C1 6 8 14
所以P (A) = 4 + 4 2 = + =2 2 ，……………………………………………9 分 C6 C6 15 15 15
14
所以选中的 2 人中至少有 1 名是女生的概率为 .……………………………………10 分
15
18．（本题满分 12 分）
【解】（1） X 的值可能为 0，100，200.
C3
1
P(X = 0) = 4 =
C36 5
C1
C 2 3
P(X =100) = 2 4 =
C36 5
C2C1
2 4 1P(X = 200) = =
C36 5
X 0 100 200
1
3 1
P
5 5 5
……………………4 分
1 3 1
E(X ) = 0 +100 + 200 =100 ……………………5 分
5 5 5
高二数学参考答案和评分标准 第2页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}
1 2 1
D(X ) = (0 100)2 + (100 100)2 + (200 100)2 = 4000 ……………6 分
5 5 5
1
(2)法一：用随机变量 表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则 ~ B(3, ) .
3
1 1 2 2
E( ) = 3 =1， D( ) = 3 = ………………8 分
3 3 3 3
2 20000
Y =100 , E(Y) =100 1=100 , D(Y ) =10000 = .………………11分
3 3
因为D(X ) < D(Y) ,按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.……12分
法二：Y 的值可能为 0，100，200，300.
2 8
P(Y = 0) = ( )3 =
3 27
1 1 2 4P(Y =100) =C3 ( )
2 =
3 3 9
1 2 2
P(Y = 200) =C23 ( )
2 =
3 3 9
1 1
P(Y = 300) = ( )3 = ………………9分
3 27
8 4 2 1
E(Y ) = 0 +100 + 200 +300 =100 ……………10 分
27 9 9 27
2 8 2 4 2 2 2 1 20000D(Y ) = (0 100) + (100 100) + (200 100) + (300 100) =
27 9 9 27 3
………………11 分
因为D(X ) < D(Y) ,按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.
…………………12分
19．（本题满分 12 分）
【解】（1） f (x) = (x a)2+(x 1) 2(x a) = (x a)(3x a 2) ,……………………1分
高二数学参考答案和评分标准 第3页（共 7 页）
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因为 f (x)在 x = 0 处取得极小值,所以由 f (0) = ( a)( a 2) = 0，解得a = 0或
a = 2 , ……………………3 分
当 a = 0时, f (x) = x2(x 1), f (x) = x(3x 2) ,
2 2
令 f (x) 0,可得 x 或 x 0 ;令 f (x) 0,可得0 x ,……………………4分
3 3
2 2
所以函数 f (x) 在区间 ( , 0)和 ,+ 上单调递增,在区间 0, 上单调递减,
3 3
所以函数 f (x) 在 x=0处取得极大值,不符题意,应舍去； ……………………6分
当 a = 2时, f (x) = (x 1)(x+2)2, f (x) = 3x(x+2) ,
令 f (x) 0 ,可得 x 0或 x 2,令 f (x) 0,可得 2 x 0 ,……………………8分
所以函数 f (x) 在区间 ( , 2)和 (0,+ )上单调递增,在区间 ( 2,0)上单调递减,
所以函数 f (x) 在 x=0处取得极小值,符合题意.
综上,a = 2 . ……………………9分
(2)设P (xp , yp ) , 因为 f (x) 在点P 处的切线与在 x =1处的切线平行,
f (xp ) = f (1) = 9， 即
3x 2p + 6xp 9 = 0,解得 xp = 3, xp =1(舍去）, …………………10分
又 f (xp ) = (xp 1)(xp + 2)
2 = 4, P( 3, 4) …………………11分
f (x) 在 P( 3, 4)处的切线 l方程为： y+4 = 9(x+3),即9x y+23= 0. …12分
20．（本题满分 12 分）
【解】（1）将 y = 2bx+a 两边取对数得 log2 y = bx +a，……………………1分
令 z = log2 y，则 z = b x + a ;
∵ x = 3，………………………………………………………………………………2分
高二数学参考答案和评分标准 第4页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}
5
xi zi 5x z
i=1 65 5 3 3.7∴根据最小二乘估计可知，b = = = 0.955 ;……………4分
x2
55 5 9
i 5x
2
i=1
∴ a = z b x = 3.7 0.95 3 = 0.85，……………………………………………………5分
∴回归方程为 z = 0.95x+0.85，即 y = 20.95x+0.85 ．……………………………………6分
5
2
( y i yi )
2 101 2
（2）∵甲建立的回归模型的R =1 i=1甲 =1 0.90 R乙 = 0.985 ……8分
2 978
( yi y )
i=1
∴乙建立的回归模型拟合效果更好．…………………………………………………9分
（3）由(2)知，乙建立的回归模型拟合效果更好．设9.7x 10.1 80，…………10分
解得 x 9.29，…………………………………………………………………11分
∴直播周期数至少为 10. ………………………………………………………12分
21．（本题满分 12 分）
【解】设 A =“信息技术能手被抽中”， B =“恰有 i 个老师通过测评”，则 i
C 2 3 7
（1）P(A) = 9 = ，P(A) = .………………………………………………1分
C310 10 10
3 3 1
P(B ) = P(A)P(B | A) +P(A)P(B | A) = [ C1( )2
1 1
+ ( )2
7 1
2 2 ] + C
2
3 ( )
3
2 2
10 4 2 4 2 10 2
63
= . …………………………………………………………5分
160
63
答：恰有两位老师通过测评的概率为 ．
160
3 3 1 7 1 23
（2）P(B3) = P(A)P(B | A) +P(A)P(B3 | A) = ( )
2 + ( )3 = . 3
10 4 2 10 2 160
…………………………………………………………7分
高二数学参考答案和评分标准 第5页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}
设C =“学校通过信息技术应用能力评估” .
43
P(C) = P(B ) +P(B ) = . …………………………………………8分 2 3
80
3 3 1 1 1 3 3 1 3
P(AC) = [ C1( )2 + ( )2 ] + ( )2 = .…………………10分 2
10 4 2 4 2 10 4 2 16
3
P(AC) 15
P(A | C) = = 16 = .……………………………………………………12分
P(C) 43 43
80
15
答：在学校通过信息技术应用能力评估的条件下，信息技术能手被抽到的概率为 ．
43
22．（本题满分 12 分）
【解】
1 x 1
（1） f (x) =1 = ………………………………1分
x x
当 x (0,1) , f (x) 0, f (x)在 (0,1) 上单调递减；…………2分
当 x (1,+ ) 时, f (x) 0, f (x) 在 (1,+ )上单调递增.
f (x)单调递减区间为 (0,1) ,单调递增为 (1,+ ) ……………3分
(2) g(x) = (x 1)ln x x 1(x 0)
1
g (x) = ln x ,易知 g (x)在 (0,+ )上单调递增,且
x
1
g (1) = 1 0, g (2) = ln 2 0 ,故存在唯一的实数
2
1
x0 (1,2) ,使得 g (x0) = 0 即 ln x0 = 成立. ……………4分 x0
故 x (0, x0) 时 g (x) 0; x (x0,+ ) 时 g (x) 0.
g(x) 在 (0, x0) 上单调递减,在 (x0 ,+ )上单调递增.
高二数学参考答案和评分标准 第6页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}
x -1 1
g(x)min = g(x0 ) = (x0 1) ln x
0
0 x0 1= x0 1= + x0
x0 x0
1
其中 x0 (1,2) ,令h(x) = + x , x (1, 2) ……………5分
x
1 (1+ x)(1 x)
h (x) = 1= 0, x (1,2) ………………………6分
x2 x2
h(x) 在 (1,2) 上单调递减, h(2) h(x) h(1) 即
5 5
h(x) 2 故 g(x) nmin = g(x0 ) ( , 2) .故所求 的
2 2
最大值为 -3. ……………………………………………7分
(3)证明：由（1）可得 f ( x) f (1) = 0 ,则 ln x x 1,
1 1 1 1
可得 ln 1,即 ln x 1,即 ln x 1 (x 1) , ………………………8分
x x x x
1 1 t t 1 1
令 =1 ,所以, x = ,所以, ln ,即 ln t ln (t 1) (t 1) ,
t x t 1 t 1 t t
1
所以 ln (n+ k ) ln (n+ k 1) , k 1, 2, , 2n ,………………………9分
n+ k
令 r (x) = x sin x (x 0),则 r ( x) =1 cos x 0,且 r ( x)不恒为零,
所以,函数 r ( x)在 (0,+ )上单调递增,故 r (x) r (0) = 0 ,则
sin x x (x 0) …………………………………………10分
1 1
所以sin ln (n+ k ) ln (n+ k 1), k 1, 2, , 2n , …………11分
n+ k n+ k
1 1 1
所以sin + sin + + sin
n+1 n+ 2 3n
ln (n+1) ln n + ln (n+ 2) ln (n+1) + + ln (3n) ln (3n 1)
3n
= ln (3n) ln n = ln = ln 3 . …………………………………12分
n
高二数学参考答案和评分标准 第7页（共 7 页）
{#{QQABRYaAoggoQABAAQBCEwWQCgEQkhECCCgGxBAUoEAASRNABCA=}#}南平市2022一2023学年第二学期高二期末质量检测
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={-3,1,3,集合N={xx2-3x-4<0},则Mn=
A.{3}
B.{1,3}
C.{-3,3}
D.{-3,1}
2.函数)=②+Ic0s
2x-1
的图象大致是
3.“|m<1”是“方程x2-x+1=0无实数解”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.己知某容器的高度为20cm,现向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时
间（单位：$）之间的关系式为h=铲+3记，当1=6时，液体上升高度的瞬时变化率为
8cm/s,则当=o十1时，液体上升高度的瞬时变化率为
A.8cm/s
B.10cm/s
C.16cm/s
D.20cm/s
5.将5名志愿者随机派往A,B,C三个社区进行宣讲活动，A社区至少派2名志愿者，B,C社
区至少各派1名志愿者，则不同的安排方法有
A.50
B.60
C.80
D.90
6.若a>0,b>0,且a+3h=+号则a+3b的最小值是
A.16
B.9
C.8
D.4
7.己知函数x),gx)在R上的导函数存在，且∫《(x)
A.fa)>g(a)
B.fa)C.fa)+g(b)>g(a)+Ab)
D.fa)+g(b)8.运用构造思想，考查抽象函数的单调性的应用及对数值大小的比较，考查学生的逻辑推8.在n
重伯努利试验中，设每次成功的概率为p0好出现r次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以”，p为参数的帕斯
卡分布，记为XNBr,P).己知X~NB3,p),若PK=6)≥PX=5),则p的最大值为
A月
B.
c
D.8
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
分。
9.下列命题正确的是
A.若变量x与y的线性回归方程为y=1.5x一2，则x与y负相关
B.残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好
C.样本相关系数”的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越程
D.回归直线=x十a恒过样本点的中心(x,y),且至少过一个样本点
10.若（一扩”展开式的二项式系数之和为64，则
A.展开式中x项的系数为一12
160
B.展开式中二项式系数最大的项为一
C.展开式中系数最小的项为-220x2
D.展开式中各项系数的和为1
11.设小，B为一个随机试验中的两个随机事件，若P代=子，PB引A)=子，P代BlA)=号，则
A.PmB|A)=支
B.PaB)=月
C.P(B)=
D.P(AIB)=3
Inx
12.函数x)=下与gx)=乏之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是
A.x)的最大值与g(x)的最大值相等
B.ex -Inx>2x
Inm n
C.2>π2
D.若m=<0,则m的最小值为一d
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.3名男生和2名女生站成一排照相，若2名女生必须相邻，则有▲种不同的排法.