岳阳市2023年高二教学质量监测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.A 3. C 4．D 5.B 6. A 7. B 8．C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.ABC 10．AC 11．ACD 12.AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16. （或）
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
解：Ⅰ由已知
又，故时，故………5分
⑵
∴所求的取值集合为．……………10分
18.（本题满分12分）
解：（1）设等差数列的公差为d，由，，
得：，解得，
故数列的通项公式为；…………………6分
（2）由已知，
故.
两式相减，得
…………………12分
（本题满分12分）
（1）证明：由题知，四边形为矩形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，又因为，，平面
所以平面平面，又因为平面，所以平面．………5分
因为平面平面，
且平面平面，，
平面所以平面．
又因为底面为菱形，且，，
所以为等边三角形，且，设，
取的中点为，连接，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，………………7分
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，即．………………9分
设直线与平面所成角为，则
化简可得，解得或…………………12分
20．（本题满分12分）
解：（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.
又甲队明星队员前四局不出场，故，
，所以.………4分
（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
所以.………………………8分
（3）由（2），.………12分
21.（本题满分12分）
解：（1）易知双曲线C：关于轴对称，P3，P4关于轴对称，故P3，P4都在双曲线C上……2分
若P1（1,1），P3，P4在双曲线上，则，不满足
若P2（1,0），P3，P4在双曲线上，则，满足
故双曲线C的方程为.………5分
（2）方法一：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，则，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
化简得.………6分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.…………………7分
而.…………………9分
化简得.………10分
即（舍去，一定不满足）………………11分
所以l的方程为，过定点………………12分
方法二：将坐标原点平移至P2点，则C的方程变为
即⑴，…………………7分
设直线l的方程为⑵
联立⑴⑵，得，同除以得
，故，…………………9分
l的方程为………………11分
所以l过定点………………12分
22．（本题满分12分）
（1），………………1分
当时，，，，在区间上单调递增，
当时，，，∴在区间上单调递减，不合题意，
∴若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为．……………4分
（2）欲证，只需证，
只需证，……………5分
即证，
只需证，……………6分
由（1）可知当时，在区间上单调递增，
∴，∴当时恒成立，∴，……………8分
即，同理，…，，
将上述不等式累加得 ……………9分 又
，………11分
∴不等式得证，
∴不等式得证．………………12分岳阳市2023年高二教学质量监测
数 学
本试卷共4页，22道题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，，则
A. B. C. D.
3.向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
4．已知函数在处的切线与直线垂直，则
A． B． C． D．
5．的展开式中，常数项为
A．－300 B．－180 C．180 D．300
6. 已知，则的值为
A． B． C． D．
7. 蹴鞠又名蹴球，蹴有用脚踢的含义，鞠最早为外包皮革、内充米糠的球。因而蹴鞠就是古人以脚踢皮球的活动，类似于今天的足球。2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。已知某鞠表面上有四个点,若四面体的体积为，经过该鞠的中心，,则该鞠的表面积为
A． B． C． D．
8．已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在中，分别为内角所对的边.已知的面积为，且，则
A． B． C． D．
10．已知，且，则下列结论一定正确的是
A． B． C．ab有最大值4 D．有最小值9
11．下列命题中，正确的是
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．一组数据的平均值为27，则的平均值为28.
12.已知抛物线上有两个相异的动点，抛物线在点处的切线分别记为，交于点，则
A.若直线过焦点，则点一定在抛物线的准线上
B.若点在直线上，则直线过定点
C.若直线过焦点，则面积的最小值为
D.若，则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 .数据：，，，，，，，，中的第百分位数是__________.
14.已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为
15.设数列的前项的和为，且，则_________.
已知椭圆C：的两个顶点分别为，离心率为.点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点，则与的面积之比为
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题满分10分）
已知函数在区间上的最大值为.
（1）求常数的值；
（2）求使成立的的取值集合．
（本题满分12分）
设为等差数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和 .
19．（本题满分12分）
如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
（1）若M为线段上的一个动点，证明：∥平面
（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
20．（本题满分12分）
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；
（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；
（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.
21.（本题满分12分）
已知双曲线C：（），四点P1（1,1），P2（1,0），P3，P4中恰有三点在双曲线C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1.证明：过定点.
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求a的取值范围；
（2）证明：，
