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第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
先看几个实例.
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg,
那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数;
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,
这里S是a的函数;
(3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,
这里V是b的函数;
y=x
y=x2
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形
的边长c=,这里c是S的函数;
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平
均速度v= km/s,即v=t-1,这里v是t的函数.
y=
y=x-1
观察(1)~(5)中的函数解析式,它们有什么共同特征?
一般地,函数 y=xa 叫做幂函数,其中x是自变量,
a是常数.
幂函数的概念:
对于幂函数,我们只研究a=1,2,3, ,-1时的图象与性质.
幂函数
1
下列函数中,哪几个函数是幂函数?
练一练
答案: (1)
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象:
(1) y=x;
(2) y=x2;
(3) y=x3;
(4) y=;
(5) y=x-1
幂函数的性质
2
观察各函数图象,分析以下几个方面的性质:
定义域?
值 域?
单调性?
奇偶性?
定 点?
观察函数图象并结合函数解析式,将你发现的结论写在下表内.
(1)函数y=x, y=x2, y=x3, y= 和 y=x-1的图象都通过点(1,1);
(2)函数y=x, y=x3, y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数;
(3)在区间(0,+∞)上,函数y=x, y=x2, y=x3, y= 单调递增,
函数y=x-1单调递减;
(4)在第一象限内,函数y =x-1的图象向上与 y 轴无限接近,
向右与x轴无限接近.
对照图象和表格,易得如下性质:
练一练
1. 如图所示,曲线是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α分别取-1,1,,2四个值,则图象C1,C2,C3,C4对应的α依次为____________.
答案:2,1,,-1
练一练
2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),求这个函数
的解析式.
3.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1)(-1.5)3,(-1.4)3
(2) ,
答案:1. y=
2. (1)(-1.5)3<(-1.4)3; (2) >
知识篇
素养篇
思维篇
3.3 幂函数
解:由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ;
由3n-6=0 得 n=2
1.已知y=(m2+2m-2)+3n-6(m,n∈N)是幂函数,
求m,n的值.
方法:根据幂函数的定义,令系数为1,常数为0, 联立解方
程组即可.
逻辑推理
解:由已知,n-3<0, 即n<3;
又因为n∈N* ,所以n=1,或2
当n=1时,y=,定义域为为(0,+∞),且单调递减,
符号题意;
当n=2时,y=x-1,定义域为{x│x≠0 },与已知不符!
故n=1
2. 已知幂函数y=(n∈N*)的定义域为(0,+∞),
且单调递减,求n的值.
方法:依据幂函数定义求出参数值后,要代回解析式中检验,
看其它的条件是否也满足.
逻辑推理
解:由m2+m=2 解得m=1,或m=-2(舍去) ;
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得:2-a > a≥0,
解得:1> a≥0
3.已知幂函数y=(m∈N*)的图象经过(2, ), 试确定
m的值,并求满足f(2-a)>f(a)的实数a的取值范围.
方法:利用待定系数法求出参数m,进而利用幂函数的单调
性解不等式即可.
逻辑推理
4.若(a+2)-0.5<(8-2a)-0.5,求实数a的取值范围.
解:考察函数 f(x)= ,定义域(0,+∞)且单调递减.
所以a +2> 8-2a>0,
解得: 2
数据分析
方法:逆向运用函数的单调性,把函数式的不等关系化归
为参数式的不等关系,从而解出参数范围.
知识篇
素养篇
思维篇
3.3 幂函数
解:(1)由已知,得k2-k-1=1,解得k=-1,或k=2;
又f(x)在区间(0,+∞)内函数图象是上升的,
所以k=2
(2)由已知条件,结合函数y=x2图象,得a2=a, b2=b,
且a1.已知f(x)=(k2-k-1)xk(k∈R)是幂函数,且在区间
(0,+∞)内函数图象是上升的.
(1)求实数k的值;
(2)若存在实数a,b,使得函数f(x)在区间[a,b]上的
值域为[a,b],求实数a,b的值.
逻辑推理 + 数形结合
2.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,求正实数m的取值范围.
解:函数y=(mx-1)2的图象的对称轴为x= .
(1)当≥1,即0函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个
交点,符合题意.
数形结合 + 分类讨论
2.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,求正实数m的取值范围.
解:函数y=(mx-1)2的图象的对称轴为x= .
(2)当0<<1,即m>1时,如右图,
要使二者只有一个交点,则需y=+m在x=1时的值小于等于y=(mx-1)2值,即m+1≤(m-1)2,解得m≥3,
综合(1)(2),正实数m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).
数形结合 + 分类讨论
解:h(x)=x2+-ax++2 =(x-)2-a(x-)+4.
令t=x-, 显然t=x-在区间(0,3]上递增,
所以t∈(0, ]
即不等式a≤t+对任意的t∈(0, ]恒成立.
3.已知函数f(x)=x2.函数h(x)=f(x)+-ax++2;
若不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立,求实
数a的取值范围.
转化与化归
3.已知函数f(x)=x2.函数h(x)=f(x)+-ax++2;
若不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立,求实数a的
取值范围.
转化与化归
易证函数g(t)=t+在区间(0,2]上单减,
在区间[2, ]上单增,
所以g(t)min=g(2)=4,
故a≤4
方法:通过换元及分离参数,转化为函数在区间上的最小
值问题.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
幂函数的概念
幂函数的性质
幂函数性质的应用
二、本节课提升的核心素养
逻辑推理
数据分析
课堂小结
数学运算
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
课堂小结
分类讨论
换元思想
01
基础作业: .
02
能力作业: .
03
拓展延伸:(选做)
作业