数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
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2023 / 07
第 1 章空间向量与立体几何
人教a版2019选修第一册
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的
垂直及平行
学习目标
Topic. 01
01复习回顾
复习回顾：平面向量的数量积
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角：
已知两个非零向量 和，
在平面上取一点，
作 =, = ，则 叫做向量与 的夹角。
A
O
B
B
，则 的取值范围为
当 时，两向量互相垂直,记作:
注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量, b，则|| |b|
叫做向量, b的数量积，记作
并规定 0
复习回顾：平面向量的数量积
Topic. 02
02空间向量的夹角
空间向量的夹角
由于空间任意两个向量共面,所以空间向量可以先平移到同一平面,故空间向量有关定义与平面向量类似.
请阅读课本.思考以下问题
空间向量的数量积：
空间向量的夹角
　(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ．
(2)范围：〈，〉∈ .
特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线；
当〈，〉＝π时，两向量， ，所以若∥，则〈，〉＝0或π；当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 .
∠AOB
〈，b〉
[0，π]
0
反向共线
垂直
⊥
Topic. 03
03空间向量的数量积
空间向量的数量积
(2)运算律：
①(λ)·＝ ；
②交换律：·＝ ；
③分配律：·(＋)＝ .
（3）性质：
①⊥ ·b＝0;　
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即0·＝0; ④ |·|≤||·||.
λ(·)
·
·＋·
||||cos〈，〉
·
(1)平面中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.即 =
注意：1.两个向量的数量积是数量， 而不是向量
2.数量积运算不满足结合律
空间向量的数量积
1.下列命题中，假命题是(　　)
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.
D
解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A. a＝b B. a＋b为实数0
C. a与b方向相同 D. |a|＝3
空间向量的数量积
D
6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
解析　由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
空间向量的数量积
6
Topic. 04
04投影向量
投影向量
内，
，。
Topic. 05
05 空间向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
例1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)；(3) ·.
【解析】　(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝，
所以＝.
(2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ .
(3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－.
【类题通法】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
空间向量的数量积运算
例2.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
C'
B'
D
A
B
C
A'
共面向量
例3.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
求cos〈，〉的值．
解　因为＝－＝＋－，＝＋，
所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝2－2＝22－12＝3，
所以cos〈，〉＝＝＝
空间向量的数量积运算
课堂小结