江门市 2023 年普通高中高二调研测试（二）
数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C A A B C B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分。
题号 9 10 11 12
答案 AB BD AC ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
题号 13 14 15 16
1 7
答案 5 1.96 (3分)；196 (2分)
e 18
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1） a2 6,a4 20，
b a 2 a 3,b 42 4 5，……………………2 分（各 1 分）2 4
数列 bn 是等差数列，b2 3,b4 5，
数列 bn 的公差为1，首项为 2，………………………3 分
数列 bn 的通项公式是bn n 1，…………………5 分
a
（2） b nn n 1n
an n(n 1)，………………6 分
1 1 1 1
an n(n 1) n n
7
1，……………… 分
1 1 1 1 1 1 1 n
数列 的前 n项和 Sn 1 1 .………10 分
an 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
1
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
18.（1）证明： 平面 ABCD 平面 PCD，平面 ABCD 平面 PCD CD，
AD 平面 ABCD， AD DC，......................1 分
AD 平面 PCD，.................2 分
又 PC 平面 PCD ,..................3 分
AD PC .........................4 分
（2）解法（一）过点 P分别作PE DC , PF AB ,垂足为点 E， F ，
连结 PE于，DE，EF ， PF 和 AF ，........................................5 分
平面 ABCD 平面 PCD，平面 ABCD 平面 PCD CD，
PE 平面 PCD， PE DC ，..............................6 分
PFE为二面角 P AB C的平面角，..............8 分
在 Rt PEF 中， PE 3， EF AD 2，
tan PFE PE 3 ,..................10 分
EF 2
2 7
cos PFE .........................11 分
7
故平面 PAB与平面 ABC 2 7所成的夹角的余弦值为 ......................12 分
7
解法（二）在平面 PCD内过点D作DH DC ,且交 PC于H ，
平面 ABCD 平面 PCD，
平面 ABCD 平面 PCD CD，
AD 平面 ABCD，
DH DC，
DH 平面 PCD，.................5 分
如图,以D为坐标原点，DA,DC,DH 所在直线分别为 x轴，
y轴， z轴，建立空间直角坐标系D xyz ,..............6 分
则D(0,0,0)， P(0, 1, 3) , A(2,0,0) , B(2,1,0) ,C(0, 2,0) ..................7 分
易知平面 ABC的一个法向量为 n (0,0,1) ,.............................8 分
设平面 PAB的一个法向量为m (x, y, z) ,
2
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
PA (2,1, 3) , AB (0,1,0) ,
m PA 2x y 3z 0 ,.........................................9 分
m AB y 0
取 z 2 ,则m ( 3,0, 2) ...........................................10 分
设平面 PAB与平面 ABC的夹角的为 ,
n m
cos cos 2 2 7 n,m .............................11 分
n m 7 7
故平面 PAB 2 7与平面 ABC所成的夹角的余弦值为 ......................12 分
7
19.解:(1)零假设为H0 :喜爱足球运动与性别相互独立，即喜爱足球运动与性别无关，.....1 分
2 200 (60 80 20 40)
2
33.33 10.28 x0.001，..................................3 分80 120 100 100
依据小概率值 0.001 2的 独立性检验，推断H0不成立，
即能认为喜爱足球运动与性别有关，此论断犯错误的概率不超过0.001......................5 分
(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2, ...................................................6 分
X 0,即 A C A C ,
P(X 0) 1 2 1 1 , ........................................................7 分
2 3 2 6
X 1,即 A B A C , A B C A, A C A B,
A C B A, A C B C ,
P(X 1) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11 , ......................8 分
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 18
X 2, A B A B,A B C B,
P(X 2) 1 2 1 1 1 1 2 , ..................................................9 分
2 3 2 2 3 3 9
3
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
X 的分布列：
X 0 1 2 ............................................10 分
1 11 2
P 6 18 9
E X 0 1 11 2 19 1 2 . ......................................................12分
6 18 9 18
7 7 2
20.解：（1）由 t 2.46, y 38.86, ti t yi y 80.97, ti t 3.78，
i 1 i 1
7
ti t yi y
b i 1 80.97有 2 21.427
3.78
…………2 分
ti t
i 1
a y b t 38.86 21.42 2.46 -13.8 …………4 分
所以模型②中 y关于 x的回归方程为 y 21.4 x -13.8 …………5 分
182.42 74.12
2 2
（2）由表格中的数据，有 182.42>74.12，即 7 7 y y y y ，…………7 分i i
i 1 i 1
模型①的决定系数 R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好…………9 分（只是判断模型②
刻画的拟合效果更好，没有根据数据说明，得 2分）
若要使年收益增量超过 80 万元，则令 21.4 x 13.8 80，………10 分
x 93.8得 4.4即 2 ，………11 分
21.4 x 4.4 19.36
人工投入增量至少需要 20 人.………12 分
21.解：(1)若 a 1， f (x) e2x e x x ,定义域为 ( , ) ,.................1 分
f ' (x) 2e2 x e x 1 (2e x 1)(e x 1) ,...................................2 分
令 f ' (x) 0，则 x 0，令 f ' (x) 0，则 x 0，..........................3 分
故 f (x)的单调递增区间为 (0, )，单调递减区间为 ( ,0) .................4 分
(2) f ' (x) 2ae2 x (a 2)e x 1 (2e x 1)(ae x 1) ，.......................5 分
若 a 1，
令 f ' (x) (2e x 1)(ae x 1) 0 ，解得 x ln a，.........................6 分
当 x ( , ln a)时， f ' (x) 0 ,
当 x ( ln a, )时， f ' (x) 0 ,.........................................7 分
所以 f (x)在 ( , ln a)上单调递减, f (x)在 ( ln a, )上单调递增,....................8 分
1
当 x ln a时， f (x)取得最小值， f (x) )的最小值为 f ( ln a) 1 ln a ,............9 分
a
若 f (x)有零点,则有 f (x)min 0 ,
当 a 1时，
f ( ln a) 0，故 f (x)只有一个零点,...............................................10 分
当 a (1, )时,
4
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
1 1 0, ln a 0 ,故 f (x)没有零点,.................................................11 分
a
综上所述，当 a 1时， f (x)有一个零点；当 a (1, )时， f (x)没有零点...............12 分
22.解：(1) 双曲线 y2 1 x2 的焦距为 2c 2，
2
c 1，........................................................1 分
e c 2 ， a 2 ，.......................................2 分
a 2
a2 b2 c2 ， a2 2，b2 1，................................3 分
x2
故椭圆C的方程为 y2 1.....................................4 分
2
(2)解法（一）设D(x1, y1),E(x2 , y2 ) ，
当直线 l的斜率不存在时，则直线 l的方程为 x 1，..................5 分
x2
y2 1
由 2 解得D( 1, 2 ),E( 2 1, ) ，.......................6 分
x 1 2 2
S AEF a c y 2 2 1 ( 1) 3 2 2 ；...................7 分
S BDF a c y1 2 1
当直线 l的斜率存在时，则直线 l的方程为 y k (x 1)，
x2
y2 1
由 2 消去 x得， (2k 2 1)y2 2ky k 2 0 ，
y k (x 1)
y y 2k
2
由韦达定理得 1 2 y
k
2 , 1y2 , .......................8 分2k 1 2k 2 1
y2 (y y )2 (t 1)2 4
设 t(t 1)y ，则
1 2 2 ,......................9 分
1 y1y2 t 2k 1
2
k 2 (0, (t 1) 4 )， ( 4,0) ,...........................10 分
t 2k 2 1
4 (t 1)
2
由 0 ,解得 3 2 2 t 1或 1 t 3 2 2 ，............11 分
t
S AEF a c y2 2 1 t (17 12 2,3 2 2) (3 2 2,1) ，
S BDF a c y1 2 1
综上所述， AEF与 BDF 的面积之比的取值范围为 (17 12 2,1) .....12 分
(2)解法（二）设D(x1, y1),E(x2 , y2 ) ，
设直线 l的方程为 x my 1，...........................................5 分
5
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
x2
y2 1 2 2
由 2 消去 x得， (m 2)y 2my 1 0，
x my 1
y y 2m 1由韦达定理得 1 2 2 , y1y2 2 , .....................8 分m 2 m 2
y 2 2 2
设 2 t (y ，则 1 y2 ) (t 1) 4m 2 ,............................9 分y1 y1y2 t m 2
2 2
m2 [0, ) (t 1) 4m， 2 ( 4,0] ,..........................10 分t m 2
(t 1)2
由 4 0 ,解得 3 2 2 t 3 2 2 ，.......................11 分
t
S
AEF
a c y2 2 1 t (17 12 2,1) ，
S BDF a c y1 2 1
综上所述， AEF与 BDF 的面积之比的取值范围为 (17 12 2,1) ..................12 分
6
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}江门市2023年普通高中高二调研测试（二）
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
2．若，则（ ）
A．30 B．20 C．35 D．21
3．在回归分析中，下列判断正确的是
A．回归直线不一定经过样本点的中心 B．样本相关系数
C．相关系数越接近1，拟合效果越好 D．相关系数r越小，相关性越弱
4．已知（，且），若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8．设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A． B．
C． D．X的方差为2
10．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）
A．满足回归模型的假设 B．不满足回归模型的假设
C．满足回归模型的假设 D．不满足回归模型的假设
11．已知函数，则（ ）
A．的图像是轴对称图形 B的单调递减区间是
C．的极值小值为2 D．的极大值为2
12．已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A． B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最大值为
14．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
15．已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则______；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面PCD，四边形ABCD为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面PAB与平面ABC的夹角的余弦值．
19．（12分）
体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想．为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如下列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男学生 60 40
女学生 20 80
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：
控球队员 A B C
接球队员 B C A C A B
概率
若传球3次，记B队员控球次数为X，求X的分布列及均值．
附：，．
附表：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
20.（12分）
台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
（1）求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（2）比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
21．（12分）
已知函数，其中．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
22．（12分）
已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求与的面积之比的取值范围．
