北师大版数学九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 第2课时 教案

第2课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】
1.经历并了解正方形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.
2.掌握正方形的判定方法,能根据判定方法进行初步应用.
【过程与方法】
1.在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯.
2.在画正方形的过程中,培养学生的动手实践能力,积累数学活动的经验.
【情感态度与价值观】
1.激发学生学习数学的热情,培养学生勇于探索的精神和独立思考、合作交流的良好习惯,体验数学活动来源于生活又服务于生活,提高学生的学习兴趣.
2.通过与他人的合作,培养学生的合作意识和团队精神.
教学重难点
【重点】　正方形的判定定理.
【难点】　正方形的判定定理的证明及灵活应用.
教学准备
【教师准备】　长方形纸片,剪刀,多媒体课件.
【学生准备】　长方形纸片,剪刀,复习平行四边形、矩形、菱形的判定方法.
教学过程
新课导入
导入一:
活动内容:回答下列问题.
问题1　我们学行四边形、矩形、菱形、正方形,那么请思考一下,它们之间有什么关系 你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗 与同伴交流.
问题2　如图所示,将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形
问题3　议一议:满足什么条件的矩形是正方形 满足什么条件的菱形是正方形 与同伴交流一下.
[处理方式]　对于问题1,由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图,目的是让学生理清它们之间的联系和区别.对于问题2,先让学生折纸,然后用剪刀剪出一个正方形,并引导学生思考怎样判定一个图形是正方形.这也为新课的学习做好铺垫.
[设计意图]　(1)以问题串的形式引入新课,让学生明确本课时所要解决的问题.
(2)让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,矩形和菱形的性质和判定的探索过程及其得出的结论,目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
导入二:
活动内容:回答下列问题.
问题1　我们已经学过平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念,你知道它们之间有什么联系吗 请用一个图来表示.
问题2　请你将一张矩形纸片对折两次,然后剪下一个角,打开.怎样剪才能剪出一个正方形 与同伴交流后,试一试.
[处理方式]　对于问题1,由学生口答,动手画图完成.学生给出下面两种图示,教师注意引导;对于问题2,先让学生充分交流后,动手剪一剪,试一试.并试着让学生回答这样做的理由.
[设计意图]　利用学生的感官,形象记忆平行四边形、菱形、矩形、正方形的联系与区别.通过动手操作,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,为新课的学习做好铺垫.
新知构建
一、正方形的判定
思路一
活动内容1:(多媒体课件展示)请你思考:满足什么条件的矩形是正方形 满足什么条件的菱形是正方形 思考后与同伴交流.并证明你的结论.
1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.有一组邻边相等的矩形是正方形.
[处理方式]　学生讨论交流,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调紧扣课本,正方形既是矩形,又是菱形.
[设计意图]　本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,从感性认识上升到理性认识.在这一过程中让学生再次感受既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
活动内容2:(多媒体课件展示)仔细观察下面图示的变化:
[处理方式]　多媒体展示由菱形或矩形转变为正方形的过程,学生口述判定定理,进一步加深印象.
[设计意图]　通过图示的转化过程,进一步加深对正方形的判定定理的理解和认识.
思路二
活动内容1:请同学们根据“有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形”证明以下命题.(多媒体课件展示)
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线垂直的矩形是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
[处理方式]　学生讨论交流,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评.命题(1)(2)由正方形的定义可以直接证明,较为简单;命题(3)可利用“对角线垂直的平行四边形”先判断其为菱形,得一组邻边相等,再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”得以证明;命题(4)可利用“对角线相等的平行四边形”先判断其为矩形,得一个角为直角,再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得以证明.
正方形的判定定理(多媒体课件展示):
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
定理:对角线垂直的矩形是正方形.
定理:对角线相等的菱形是正方形.
[设计意图]　本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,以正方形的定义为依据,结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理经过推理探究,发现正方形的判定定理.展示定理并让学生识记、掌握.
活动内容2:请同学们观察大屏幕,理解并识记正方形的判定定理.每种判定定理是不是都可以判定四边形既是矩形又是菱形 (多媒体课件展示)
[处理方式]　学生讨论交流,得出结果.教师适时强调判定正方形的方法较多,不必死记结论,要明确判定正方形的基本思路:一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形.
[设计意图]　由于判定正方形的方法较多,学生应用时容易混淆,因此不必要求学生死记结论,而是要引导学生明确判定正方形的基本思路:一个四边形既是矩形又是菱形,这个四边形就是正方形,降低难度.
二、正方形判定的应用
(教材例2)已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形.
〔解析〕　思路1:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是菱形,然后证明四边形BECF中有一个角是直角即可;思路2:要证四边形BECF是正方形,也可以先证明四边形BECF是矩形,然后证明四边形BECF中有一组邻边相等即可.
证法1:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC＝∠ABC＝45°,∠ECB＝∠DCB＝45°,
∴∠EBC＝∠ECB,
∴EB＝EC,
∴ BECF是菱形.
在ΔEBC中,∠EBC＝∠ECB＝45°,
∴∠BEC＝90°,
∴菱形BECF是正方形.
证法2:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC＝∠ABC＝45°,∠ECB＝∠DCB＝45°,
∴∠EBC＝∠ECB＝45°.
∵BF∥CE,CF∥BE,
∴∠FBC＝∠FCB＝45°,
∴∠EBF＝∠ECF＝∠BEC＝90°,
∴四边形BECF是矩形.
∵∠EBC＝∠ECB,
∴EB＝EC,
∴矩形BECF是正方形.
三、中点四边形
活动内容:(多媒体课件展示)先猜一猜,画一画,与同伴交流后,再证明.
(1)我们知道,任意画一个四边形,以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么,任意画一个正方形,以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的四边形
(2)以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形 如果以平行四边形的各边中点为顶点呢
(3)以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系 有怎样的关系
[处理方式]　开展小组竞学,学生画图、观察、思考、交流讨论,通过类比和转化归纳出如图所示的几种情况.各小组派代表展示自己小组的猜想和验证,讲解过程中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使验证的过程更加严谨.把学习的主动权交给学生,真正体现了学习的自主性,也激发了学生学习数学的兴趣.教师适时指导,引导学生归纳总结,提高学生的概括能力.对学习能力较弱的学生进行个别指导,对学习能力较强的学生鼓励他们研究更多个图形.
得出结论:
(1)以任意四边形的各边中点为顶点的四边形是平行四边形;
(2)以矩形的各边中点为顶点的四边形是菱形;
(3)以菱形的各边中点为顶点的四边形是矩形;
(4)以正方形的各边中点为顶点的四边形是正方形.
……
学生们展示完自己的结论后,老师利用几何画板进行演示,让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况,体会图形运动变化的过程,验证同学们归纳的结论的正确性,给予学生直观的感受.
[知识拓展]　决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系,归纳如下:
(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;
(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;
(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;
(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形.
课堂小结
1.正方形的判定定理.
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线垂直的矩形是正方形.
(4)对角线相等的菱形是正方形.
2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;
(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;
(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;
(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形.
3.证明四边形是正方形的基本思路如下图:
检测反馈
1.下列说法中正确的有 (　　)
①有一个角为直角的菱形是正方形;
②四个角相等的四边形是正方形;
③四条边都相等的四边形是正方形;
④有一组邻边相等的矩形是正方形;
⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形;
⑥对角线相等的菱形是正方形;
⑦对角线互相垂直的矩形是正方形;
⑧对角线互相垂直平分的四边形是正方形.
　　A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案:B
2.如图所示,在ΔABC中,AB＝AC,D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,连接DE,DF.
(1)求证DE＝DF.
(2)你能添加一个条件,使四边形EDFA是正方形吗 若能,请证明.
提示:(1)利用三角形的中位线定理可以证明;(2)添加条件∠A＝90°;先证明四边形AEDF是菱形,然后根据有一个角是直角的菱形是正方形得出即可.
3.如图(1)所示,E,F,G,H分别是正方形ABCD四边的中点,试判断四边形EFGH的形状,并给出证明.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE＝BF＝CG＝DH,如图(2)所示,结果如何呢
提示:四边形EFGH是正方形.如果改变E,F,G,H的位置,但仍满足AE＝BF＝CG＝DH,仍可得四边形EFGH是正方形.可先证明ΔAEH≌ΔBFE≌ΔCGF≌ΔDHG,然后利用全等三角形的性质可得到结论.
板书设计
第2课时
1.正方形的判定
2.正方形判定的应用
3.中点四边形
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
布置作业
【必做题】
教材第25页习题1.8的2,3题.
【选做题】
教材第25页习题1.8的4题.