★启用前注意保密
珠海市 2022-2023 学年度第二学期期末学生学业质量监测
高二数学试题答案
一、选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B C D A
二、选择题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 AC ABC BD ABD
三、填空题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
题号 13 14 15 16
2 1
答案 10 y = x 1 2
5 2025 22023
四、解答题: 本题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (1) 证明：由 (n 1)an+1 nan + a1 = 0 (n N
*) ,得
(n 1)an+1 = na a , ……1分 n 1
na , ……2分 n+2 = (n+1)an+1 a1
两式相减, 得2nan+1 = n(an + a ) , ……3分 n+2
即 2an+1 = a
n + an+2 (n N ) , ……4分
所以数列 an 是等差数列. ……5分
(2) 解： 由等差数列 an 的公差为 2,
得a2 = a1 + d = a1 + 2, a5 = a1 + 4d = a1 +8, ……6分
a1,a2 ,a5成等比数列,
a 22 = a1 a5 , 即 (a1 + 2)
2 = a1(a1 +8) , 解得 a =1, ……7 分 1
an = a1 + (n 1)d = 2n 1, ……8 分
1 1 1 1 1
= = , ……9 分
anan+1 (2n 1)(2n+1) 2 2n 1 2n+1
1 1 1 1 1 1 n
Tn = 1 + + + = ． ……10分
2 3 3 5 2n 1 2n +1 2n +1
数学试题答案第 1 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}
18. 解：(1) ∵ 展开式前三项的二项式系数和为 22，
∴C0 +C1 +C2 = 22， ……2 分 n n n
∴ n2 + n 42 = 0， ……3 分
∴ n = 6或 n = 7 （舍），
故 n 的值为 6. ……4 分
(2) 由题可得, 展开式中最大的二项式系数为C3 = 20， ……5 分 6
∴ 展开式中二项式系数最大的项为第 4 项， ……6 分
3 3
3 2
即 T 3 24 = C6 (2x) =1280x ; ……8 分
x
设展开式中常数项为第 r +1项，
r 3r
6 r 2 6
即 T = Cr (2x) = Cr 26 r 2r+1 6 6 x ， ……10 分
x
3r
令 6 = 0，得 r = 4， ……11 分
2
∴T 6 44+1 = 2 C6 = 960 ，
故展开式中的常数项为第 5 项，即 960. ……12 分
1 1
19. 解：(1) 当 a = 时， f (x) = ln x x , ……1 分
2 2
1 1 2 x
函数 f (x)的定义域为 (0,+ ) , 且 f (x) = = , ……2分
x 2 2x
令 f (x) = 0 , 得 x = 2 , ……3 分
于是当 x 变化时, f (x), f (x)的变化情况如下表：
x (0,2) 2 (2,+ )
f (x) + 0
f (x) ln 2 1
……5 分
故 f (x)在定义域上的极大值为 f (2) = ln 2 1, 无极小值. ……6 分
数学试题答案第 2 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}
1 1 ax
(2) 由题可知, 函数 f (x) 为 (0,+ ) , 且 f (x) = a = , ……7 分
x x
当a 0时, f (x) 0在 (0,+ )上恒成立, 即 f (x) 在 (0,+ )上单调递增,
……8 分
此时函数 (0,+ )在定义域上无极值点; ……9 分
1 1
当 a 0时, 当 x (0, )时, f (x) 0 , 当 x ( ,+ )时, f (x) 0 , ……10 分
a a
1
故函数 f (x) 在 x = 处有极大值, ……11 分
a
综上所述, 当a 0时, 函数 f (x) 在定义域上无极值点;
1
当 a 0时, 函数 f (x) 在 x = 处有一个极大值点. ……12 分
a
20. 解：(1) 设中位数为 x , 则由频率分布直方图, 得
f1 + f2 + f3 + f4 = (0.02+0.03+0.05+0.05) 2 = 0.3 0.5 ,
且 f + f + f + f , ……1 分 1 2 3 4 + f5 = 0.3+0.15 2 = 0.6 0.5
0.3+ (x 8) 0.15 = 0.5 , ……2 分
28
解得 x = 9.33. ……3 分
3
(2) 由频率分布直方图, 得
这 500 名学生中日平均阅读时间在 (6,8], (14,16], (16,18]三组内的学生人数分别
为：500 0.05 2 = 50, 500 0.04 2 = 40, 500 0.01 2 =10 , 若采用分层抽样的方法抽取了
40
10 人, 则从日平均阅读时间在 (14,16]内的学生中抽取 10 = 4人, ……4 分
50+ 40+10
从这 10 人中随机抽取 3 人, 则 X 的可能取值为 0,1,2,3,
C3 1 26 1 C4C6 1P(X = 0) = = , P(X =1) = = ,
C310 6 C
3
10 2
C2C1 34 6 3 C4 1P(X = 2) = = , P(X = 3) = = , ……6 分
C3 10 C310 10 30
所以, X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
……7 分
1 1 3 1 6
数学期望E(X ) = 0 +1 + 2 +3 = . ……8 分
6 2 10 30 5
数学试题答案第 3 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}
(3) k = 5 . ……9 分
原因如下：
由频率分布直方图, 得2 (0.02+ 0.03+ 0.05+ 0.05+ 0.15+ a+ 0.05+ 0.04+ 0.01) =1,
解得 a = 0.10 , ……10 分
所以, 学生日平均阅读时间在 (8,12]内的概率为0.15 2+ 0.10 2 = 0.5 ,
从该地区所有高一学生中随机抽取 10 名学生, 日平均阅读时间在 (8,12]内的学生
1
人数Y 服从二项分布Y B(10, ) , ……11 分
2
k 10 k 10
k 1 1 k 1 所以 P(k) = C10 1 = C10 ,
2 2 2
由组合数的性质, 得当 k = 5时, P(k) 最大. ……12 分
21. 解：(1) 设“从甲箱摸出两个球为同色”为事件 A,
“从乙箱摸出一个球为红色”为事件 B,
“从丙箱摸出一个球为红色”为事件 C,
“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件 D, ……1 分
C2 +C2 1 2
则 P(A) = 2 2 = , P(A) =1 P(A) = ,
C24 3 3
C1 3 1
P(B) = 3 = , P(B) =1 P(B) = ,
C14 4 4
C12 1 1P(C) = = , P(C) =1 P(C) = ,
C14 2 2
2
1 3 C22 1 C 3 2 1 C
2
2 1P(D) = + + = . ……4 分
3 4 C
2
5 4 C
2 2
5 3 2 C5 12
(2) 设“这两个球是从丙箱中摸出”为事件 E，则
1
2
3 C22 1 C +
3
3 4 C2 4 C2
P(DE) 5 5 3
P(E | D) = = = . ……6 分
P(D) 1 5
12
(3) 由题意知, X 的所有可能值为2, 1, 4 , ……7 分
2 21 3 C 2 3 1 C2 2 1 C
2 1 C 23
P(X = 2) = + 4 3 + + = , ……8 分
3 4 C
2
5 4 C
2
5 3
2 2
2 C5 2 C5 60
1
P(X = 4) = , ……9 分
12
23 1 8
P(X = 1) =1 P(X = 2) P(X = 4) =1 = , ……10 分
60 12 15
数学试题答案第 4 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}
所以 X 的分布列为
X 2 1 4
23 8 1
P
60 15 12
……11 分
23 8 1 1
所以E(X ) = 2 1 4 = . ……12 分
60 15 12 10
2
22. (1) 解：若 a = 1 , 则 f (x) = 2ln(x+1) (x 1) ,
2 2(x2 2)
此时 f (x)的定义域为{x | x 1}, f (x) = 2(x 1) = , ……2 分
x +1 x +1
令 f (x) = 0得 x = 2 (x = 2舍） , ……3 分
故当 x ( 1, 2) 时, f (x) 0 , 此时 f (x) 单调递增;
当 x ( 2,+ )时, f (x) 0 , 此时 f (x) 单调递减;
故 f (x)的单调递增区间为 ( 1, 2) ; 单调递减区间为 ( 2,+ ) . ……4 分
(2) 证明：当 a =1时, f (x) = 2ln(x+1)+ (x 1)
2
, ……5 分
2 2x2
此时 f (x)的定义域为{x | x 1}, f (x) = + 2(x 1) = 0 ,
x +1 x +1
当 x 1时, f (x) 始终单调递增, ……6分
当 x 0时, f (x) f (0), 即 2ln(x+1)+ (x 1)2 1 ,
即 当 x 0时, 2ln(x+1) x2 + 2x , ……7分
1 1+ n 2n 1
故令 x = (n N ) , 得2ln ,
n n n2
2n 1 1+ n
即 对于任意的 n N , 都有 2ln 成立. ……8分
n2 n
(3) 证明：由(2)可知, 对于任意的 n N
2n 1 1+ n
, 2ln 均成立,
n2 n
3 3 5 4 2n 1 1+ n
1 2ln 2, 2ln , 2ln , , 2ln ,
22 2 32 3 n2 n
3 5 2n 1 3 4 1+ n
1+ + + + 2ln 2+ 2ln + 2ln + + 2ln = 2ln(1+ n) ,
22 32 n2 2 3 n
……9 分
n
接下来只需要证 ln(1+ n) (n N *) ,
n +1
1
方法一：令 h(t) = 2ln t t + , 其中 t = n+1 1 ,
t
2 1 2t t2 1 (t 1)2
h (t) = 1 = = 恒小于 0, ……10 分
t t 2 t 2 t 2
当 t 1时 h(t)单调递减, 即h(t) h(1) = 2ln1 1+1= 0 , ……11 分
1 n
于是, 当 t 1时 2ln t t 恒成立, 即 ln(1+ n) (n N *)恒成立.
t n +1
3 5 2n 1 2n
1+ + + + (n N *) . ……12 分
22 32 n2 n +1
数学试题答案第 5 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}
方法二：令 h(t) = 2t ln t t2 +1,其中t = n+1 1 ,
2
h (t) = 2ln t 2t + 2, h (t) = 2 , ……10 分
t
2
当 t 1时 h (t) = 2 0 , h (t) h (1) = 2ln1 2+ 2 = 0 ,
t
当 t 1时h(t) h(1) = 2ln1 1+1= 0 , ……11 分
2 n
于是, 当 t 1时 2t ln t t 1恒成立, 即 ln(1+ n) (n N *)恒成立.
n +1
3 5 2n 1 2n
1+ + + + (n N *) . ……12 分
22 32 n2 n +1
数学试题答案第 6 页（共 6 页）
{#{QQABJYSEogCAQBJAAQBCEwFACgEQkgCCCIgGwBAcsEIAyRFABCA=}#}★启用前注意保密
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高二数学
本试卷共 6页，22小题，满分 150分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考场和座位号
填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷
上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准
使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8个小题, 每小题 5分, 共 40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的。
1. A3 C25 4 =
A. 66 B. 54 C. 26 D. 14
2. 已知离散型随机变量 的分布列如下表，则其数学期望E( ) =
1 2 4
P 0.2 m 0.6
A. 1 B. 0.2 C. 2.8 D. 3
3. 已知等差数列 an 的前n 项和为 S , 且a + a =12 , S =18 , 则n a3 = 2 6 4
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4．在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和. 这个三角形开头几行如下图，若
第 n 行从左到右第 12 个数与第 13 个数的比值为 2，则n =
第 0 行 1
第 1 行 1 1
第 2 行 1 2 1
第 3 行 1 3 3 1
第 4 行 1 4 6 4 1
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
高二数学 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
5. 下列导数运算正确的是
1 1 1
A. (cos x) = sin x B. (log x) = C. ( 2x ) = 2x D. = 2
x ln 2 x 2 x
6. 已知等比数列{an}的前n 项和为 S
n
n , 且 S = 2 2 , 则 = n
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 已知定义在 (0,3]上的函数 f (x) 的图象如图, 则不等式 (x 1) f (x) 0的解集为
A. (0,2) B. (1,2) C. (2,3) D. (0,1) (1,2)
1
8. 设函数 f (x) = ex 1 e1 x + sin πx , 实数 a,b满足不等式 f (3a +b)+ f (1 a) 0 , 则下
2
列不等式成立的是
A. 2a + b 1 B. 2a + b 1 C. 4a +b 3 D. 4a +b 3
二、选择题: 本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2分, 有选错的得 0分。
9. 设数列{an}, {b }的前n 项和分别为 S , T ，则下列命题正确的是 n n n
A. 若an+1 an = 2 (n N
) , 则数列{an}为等差数列
B. 若b , 则数列 为等比数列 n+1 = 2bn (n N ) {bn}
C. 若数列{a *n}是等差数列, 则 Sn , S2n Sn ,S3n S2n , (n N ) 成等差数列
*
D. 若数列{bn}是等比数列, 则Tn ,T2n Tn ,T3n T2n , (n N )成等比数列
10. 某超市设有电子抽奖机, 每个奖盒外观完全相同, 规定每个会员只能用一个账号登陆, 且
2
每次只能随机选择一个奖盒开启. 已知会员第一次抽奖盒, 抽中奖品的概率为 , 从第二
7
1
次抽奖盒开始, 若前一次没抽中奖品, 则这次抽中的概率为 , 若前一次抽中奖品，则这
2
1
次抽中的概率为 . 记会员第 n 次抽奖盒, 抽中奖品的概率为 Pn , 则
3
高二数学 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
19 3
A．P = B2 ．数列 Pn 为等比数列
42 7
19
C．P D．当n 2时，n 越大，Pn n 越小
42
11. 下列结论正确的有
A. 若随机变量 , 满足 = 2 +1 , 则 D( ) = 2D( )+1
2
B. 若随机变量 N (3, ) , 且P( 6) = 0.84 , 则P(0 6) = 0.68
1
C. 已知随机变量 X 服从二项分布B(n, ) , 若E(3X +1) = 6 , 则n = 6
3
D. 对于事件 A, B , 若 A B , 且P(A) = 0.3, P(B) = 0.6，则P(B | A) =1
2x 1 1
12. 设函数 f (x) = (x+b)(e a) (b 0) 在点 , f 处的切线方程为
2 2
1 e
(e 1)x + ey = . 若函数 f (x) 图象与 x 轴负半轴的交点为 P , 且点 P 处的切线方程
2
为 y = h(x) , 函数F(x) = f (x) h(x) (x R) , 则
1
A. a =1, b =
2
1
B. P ,0
2
1
C. F(x)存在最大值，且最大值为 F = 0
2
1
D. F(x)存在最小值，且最小值为 F = 0
2
三、填空题：本题共 4小题, 每小题 5分, 共 20分。
5
2
13. ( x 2) 的展开式中 x 的系数为 （用数字作答）.
14. 已知函数 f (x) = x ln x , 若直线 l 过点 (0, 1) , 且与曲线 y = f (x) 相切, 则直线 l 的方程
为 .
15. A, B, C, D, E 共 5 位教师志愿者被安排到甲、乙、丙、丁 4 所学校参加支教活动, 要求每
所学校至少安排一位教师志愿者, 且每位教师志愿者只能到一所学校支教, 在 A 教师志愿
者被安排到甲学校支教的前提下, 甲学校有两名教师志愿者的概率为 .
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{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
x
16. 已知非零数列{an} , bn = a1 a2 a a , 点 (a ,b )在函数 y = 的图象上, 则数3 n n n
2x 2
a
列 n 的前 2024 项和为 .
(bn 1) 2
n
四、解答题: 本题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
*
已知数列 an , 满足 (n 1)an+1 nan + a1 = 0 (n N ) .
(1) 证明：数列 an 是等差数列;
1
(2) 若等差数列 an 的公差为 2, a ,a ,a 成等比数列, 求数列 的前 n项和1 2 5
anan+1
Tn ．
18.（12 分）
n
2
二项式 2x + 展开式前三项的二项式系数和为 22.
x
(1) 求n 的值;
(2) 求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
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{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
19.（12 分）
已知函数 f (x) = ln x ax (a R) .
1
(1) 当a = 时，求 f (x) 的极值;
2
(2) 讨论函数 f (x) 在定义域内极值点的个数.
20.（12 分）
4 月 23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”. 为了解某地区高一学生阅读时间
的分配情况, 从该地区随机抽取了 500 名高一学生进行在线调查, 得到了这 500 名学生的日
平均阅读时间(单位: 小时), 并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],
(14,16],(16,18]九组, 绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1) 求这 500 名学生日平均阅读
时间的中位数(保留到小数点后两位);
(2) 为进一步了解这 500 名学生
数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时
间的分配情况, 从日平均阅读时间在
(6,8], (14,16], (16,18]三组内的学生
中, 采用分层抽样的方法抽取了 10
人, 现从这 10 人中随机抽取 3 人, 记
日平均阅读时间在 (14,16]内的学生
人数为 X , 求 X 的分布列和数学期望;
(3) 以样本的频率估计概率, 从该地区所有高一学生中随机抽取 10 名学生, 用P(k) 表示
这 10 名学生中恰有 k名学生日平均阅读时间在 (8,12]内的概率, 其中 k = 0,1,2, ,10 . 当
P(k) 最大时, 写出 k的值, 并说明理由.
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{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
21.（12 分）
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子, 每个箱中装有除颜色外其他都相同的四个球, 其中甲
箱有两个黄球和两个黑球, 乙箱有三个红球和一个白球, 丙箱有两个红球和两个白球. 完成以
下步骤称为一次“操作”：先一次从甲箱中随机摸出两个球, 若从甲箱中摸出的两个球同色,
则从乙箱中随机摸出一个球放入丙箱, 再一次从丙箱中随机摸出两个球; 若从甲箱中摸出的
两个球不同色, 则从丙箱中随机摸出一个球放入乙箱, 再一次从乙箱中随机摸出两个球.
(1) 求一次“操作”完成后, 最后摸出的两个球均为白球的概率;
(2) 若一次“操作”最后摸出的两个球均为白球, 求这两个球是从丙箱中摸出的概率;
(3) 若摸出每个红球记 1 分, 摸出每个白球记 2分. 用 X 表示一次“操作”完成后, 最
后摸到的两个球的分数之和, 求 X 的分布列及数学期望.
22.（12 分）
2
已知函数 f (x) = 2ln(x+1)+ a(x 1) , 其中 a为常数.
(1) 若a = 1 , 求函数 f (x) 在其定义域内的单调区间;
2n 1 1+ n
(2) 证明：对任意n N , 都有： 2ln ;
n2 n
n N
3 5 2n 1 2n
(3) 证明：对任意 , 都有：1+ + + + .
22 32 n2 n +1
高二数学 第 6 页（共 6 页）
{#{QQABLYSAgggoQAJAAQBCEwEwCgEQkhACCAgGxBAYoEIAiQFABCA=}#}
