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高一上学期期末复习导学案（四）
幂函数、指数函数与对数函数
班级 姓名
知识归纳
一、指数与指数幂的运算
①一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中.
②根式运算性质：
① ； ②
③我们规定： ⑴； ⑵；
④运算性质：
⑴； ⑵； ⑶.
二、指数函数及其性质
①概念：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
②性质：
图象
性质 （1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
对数与对数运算
①指数与对数互化式：；
②对数恒等式：.
③基本性质：，.
④运算性质：当时：
⑴；⑵； ⑶.
⑤换底公式： .
⑥重要公式：
⑦倒数关系：.
四、对数函数及其性质
①概念：函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+).
②性质：
图象
性质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
（5）； （5）；
五、幂函数的图像与性质
①概念：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数。
②常见的5种幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
图像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
定点 (1,1)
③在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
典例分析
题型一 指数幂的化简与求值
例1、计算：(1) ；
【答案】
【解析】原式．
(2) eq \r(3,a\r(a－3))÷＝________；
答案 1 解析 原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1．
(3) ab－2·(－3a－b－1)÷(4ab－3)(a，b>0) ＝________；
答案 － 解析 原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－．
(4) 已知，且，求 的值．
【答案】
【解析】，因为，所以．
由，得，即，
所以 ．因为，∴ ．
所以．
题型二 对数式的化简与求值
例2、(1)计算的值；
【答案】
【解析】原式．
(2)计算的值；
【答案】
【解析】原式．
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________．
答案 解析 原式＝·＝·＝·＝．
(4)已知，用，表示．
【答案】
【解析】由题意，得，故．
题型三 指数与对数的混合运算
例3、***(1)若，求的值．
【答案】
【解析】由得，则．
(2)已知，，为正实数，，，求的值．
【答案】
【解析】∵ ，，为正实数，，，
∴ ，，．
∵，∴，所以．
(3)已知．若，，求的值．
【答案】
【解析】设，因为，所以，由得，所以，
即 ，，结合有，所以，所以，，所以．
题型四 幂函数的图象与性质
例3、(1)已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝( )
A． B．－ C．或－ D．2
1．答案 C 解析 因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1．又f(x)的图象过点，所
以a＋1＝，所以a＋1＝，所以a＝－，所以k＋a＝±1－＝－或．
(2)已知幂函数且互质的图象如图所示，则( )
A．均为奇数，且
B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且
D．为奇数，为偶数，且
【答案】D
【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在上单调递增，所以．
(3)若，，，则，，的大小关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为在第一象限内是增函数，所以；
因为是减函数，所以，所以．
题型五 指数函数的图象及应用
例5、(1)函数的大致图象为图中的( )
【答案】B
【解析】，当，且时，为减函数，时为增函数，故选B．
(2)(多选题)已知实数，满足等式，则下列关系式中不可能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】画出函数和的图象，借助图象分析，满足等式时的大小关系，如图所示：
若，均为正数，则；
若，均为负数，则；
若，则．故选CD．
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
9．答案 [－1，1] 解析 曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线
y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
题型六 指数函数的性质及应用
例6、(1)设，，，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，，
因为函数在定义域上为增函数，所以．故选D．
(2)已知函数(为常数)，若在区间上单调递增，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则在区间上单调递增，在区间上单调递减．
而在上单调递增，
所以要使函数在上单调递增，则有，即，
所以的取值范围是．
(3)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 B 解析 函数f(x)＝ex－的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．
题型七 对数函数的图象及应用
例7、(1)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2
6．答案 A 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2(2)若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是( )
A．∪(10，＋∞) B．[1，2) C．∪[10，＋∞) D．(10，＋∞)
10．答案 A 解析 作出g(x)的图象如图所示，若使g(lg x)>g(1)，则lgx>1或lg x<－1，解得x>10或0(3)(2021·海南模拟)已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的图象如图所示：
因为，且，所以且，，所以，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．
题型八 对数函数的性质及应用
例8、(1)已知a＝log3，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
答案 D 解析 因为c＝＝log35>log3>log33＝1，所以c>a，又b＝<1，所以b(2)已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以可将化为，
即或，
即或，解得或. 故选.
课后作业
一、基础训练题
1．()4()4(a>0)等于( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
1、．答案 C 解析 原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4．
(3)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
答案 C 解析 设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C．
2． 已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
2、答案 B 解析 ∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，∴∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1．
3．函数，且恒过定点（ ）
A． B． C． D．
3、【答案】B
【解析】令可得：，则，
即函数，且恒过定点．故选B．
4．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
4、【答案】C
【解析】很显然，均大于1，如图：
与的交点在与的交点上方，故．
综上所述：．故选C．
5．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系
是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
5、答案 B 解析 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图
知a>b>c>d，故选B．
6．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )
A．x6、答案 A 解析 由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y>z．由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
可得x7．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
7、答案 B 解析 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a>1，故函数y＝loga|x|的大致图象如
选项B中图所示．
8．函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
8、答案 A 解析 令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝
ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D．由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．
9．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
9、答案 C 解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，
幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
10．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
10、答案 B 解析 令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋
1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B．
11．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·2＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11、答案 B 解析 由已知，得lg a＋lg b＝2，即lg(ab)＝2．又lg a·lg b＝，所以lg(ab)·2＝2(lg a
－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]＝2×＝2×2＝4，故选B．
12．已知，则下列关系式正确的是( )
A． B．
C． D．
12、【答案】A
【解析】不等式可变为，因为函数在上是减函数，所以有．
13．化简：·(a＞0，b＞0)＝________．
13、答案 解析 原式＝2×＝21＋3×10－1＝．
14．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．
14、解析 {x|x<1} 解析 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4
－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}．
15．已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．
15、答案 [6，＋∞) 解析 函数y＝2是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝
－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2在区间上单调递增，在区间上单调递减．又因为函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6．
16．函数f(x)＝的值域为________．
16、答案 (0，4] 解析 令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数
y＝x的图象可得017．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(41－x，x≤1，,1－x，x＞1，))则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为__________．
17、答案 {x 解析 原不等式等价于或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>1，,1－x≤2，))解得≤x≤1或118．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)－－1×－10× ．
18、解 (1)原式＝7× －3××2－6×＋＝－6×＋
＝2×－2×3×＝2×－2×＝0．
(2)原式＝ －(3×1)－1× －10×
＝－1－× －10×0.3＝－－3＝0．
19．化简与求值：
(1)log327＋lg＋ln＋；(2)log535＋－log5－log514；
(3)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
19、解 (1)log327＋lg＋ln ＋＝log333＋lg 10－2＋＋×＝3log33－lg 102＋＋×3
＝3－2＋＋＝3．
(2)原式＝log535＋log550－log514＋＝log5＋＝log553－1＝2．
(3)方法一 原式＝＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13．
方法二 原式＝＝＝＝13．
20．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)．
(1)试确定m的值；
(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
20、解 (1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)，∴＝2，即2＝2．
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2．又∵m∈N*，∴m＝1．
(2)由(1)知f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<．∴a的取值范围为．
21．已知实数，且满足不等式．
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值．
21、【解析】（1）由题意得:，∴，∴，解得．
，令，当时，，，
所以，所以．
∵，∴的对数函数在定义域内递减，∴，
∴．
22．（毕节市实验高级中学高一期中）已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22、【解析】（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，
此时，，是奇函数，满足题意，
；
（2），在R上是减函数，
证明：设且，
则
∵，∴，，，
∴，
即，∴在R上是减函数；
（3）是奇函数，
故不等式等价于，
又是R上的减函数， ∴，
∴对恒成立，∴．
一、提高训练题
23．(2020·全国卷Ⅲ)设，，，则( )
A． B．
C． D．
23、【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∴；
∵，∴，∴，∴，∴，故选A．
24．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)24、答案 B 解析 易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)25．（2021·江苏淮安市·高三模拟）已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
25、【答案】C
【解析】，，∴，
由函数解析式知：，即，又在上单调递增，∴．故选C．
26．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
26、【答案】C
【解析】令，，当时，显然不成立．当时，如图所示，
要使在区间上，的图象在图象的下方，只需，即，所以，解得．故选C．
27．设函数f(x)＝|logax|(0A． B．或 C． D．或
27、答案 C 解析 作出y＝|logax|(028．(多选题)已知函数，则下列结论中错误的是( )
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
28、【答案】ACD
【解析】函数，由，可得，故函数的定义域为，A错误；
的定义域为，且，即是偶函数，B正确；
，当时，是减函数，外层也是减函数，所以函数在区间上是增函数，故C错误；
由，可得的图象不关于直线对称，故D错误．
故选ACD．
29．(多选题)关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
29、【答案】AC
【解析】函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，A正确；
函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确，
故选AC．
30．设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位
于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．
30、答案 12 解析 由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2．又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，
所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12．
31．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x131、答案 (1，2) 解析 当x132．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
32、答案 (－1，＋∞) 解析 不等式2x(x－a)<1可变形为x－ay＝x－a与y＝x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1．
33．（2021·河南驻马店市·高一期末（理））已知函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
（1）请分别求出与的解析式；
（2）记．
（i）证明：为奇函数；
（ii）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
33、【解析】（1）根据题意①，则，
∵为奇函数，为偶函数，
∴②，
联立①②可得，．
（2）（i）由（1）得
定义域为，对任意，
都有∴为奇函数；
（ii）∵为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，
即为上单调递增的奇函数，
∴存在，使成立，
即存在使得成立，
即，使成立，
令，使成立，
∵在上单调递减，在上单调递增，
而，，∴，∴．
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幂函数、指数函数与对数函数
班级 姓名
知识归纳
一、指数与指数幂的运算
①一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中.
②根式运算性质：
① ； ②
③我们规定： ⑴； ⑵；
④运算性质：
⑴； ⑵； ⑶.
二、指数函数及其性质
①概念：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
②性质：
图象
性质 （1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
对数与对数运算
①指数与对数互化式：；
②对数恒等式：.
③基本性质：，.
④运算性质：当时：
⑴；⑵； ⑶.
⑤换底公式： .
⑥重要公式：
⑦倒数关系：.
四、对数函数及其性质
①概念：函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+).
②性质：
图象
性质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
（5）； （5）；
五、幂函数的图像与性质
①概念：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数。
②常见的5种幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
图像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上递增 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增 在R上递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减
定点 (1,1)
③在第一象限的图象，可分为如图中的三类：
典例分析
题型一 指数幂的化简与求值
例1、计算：(1) ；
(2) eq \r(3,a\r(a－3))÷；
(3) ab－2·(－3a－b－1)÷(4ab－3)(a，b>0) ；
(4) 已知，且，求 的值．
题型二 对数式的化简与求值
例2、(1)计算的值；
(2)计算的值；
(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)的值；
(4)已知，用，表示．
题型三 指数与对数的混合运算
例3、***(1)若，求的值．
(2)已知，，为正实数，，，求的值．
(3)已知．若，，求的值．
题型四 幂函数的图象与性质
例4、(1)已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝( )
A． B．－ C．或－ D．2
(2)已知幂函数且互质的图象如图所示，则( )
A．均为奇数，且
B．为偶数，为奇数，且
C．为奇数，为偶数，且
D．为奇数，为偶数，且
(3)若，，，则，，的大小关系是( )
A． B．
C． D．
题型五 指数函数的图象及应用
例5、(1)函数的大致图象为图中的( )
(2)(多选题)已知实数，满足等式，则下列关系式中不可能成立的是( )
A． B．
C． D．
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
题型六 指数函数的性质及应用
例6、(1)设，，，则( )
A． B．
C． D．
(2)已知函数(为常数)，若在区间上单调递增，则的取值范围是________．
(3)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为( )
A．∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
题型七 对数函数的图象及应用
例7、(1)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2(2)若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)>g(1)时，x的取值范围是( )
A．∪(10，＋∞) B．[1，2) C．∪[10，＋∞) D．(10，＋∞)
(3)(2021·海南模拟)已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
题型八 对数函数的性质及应用
例8、(1)已知a＝log3，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
(2)已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
课后作业
一、基础训练题
1．()4()4(a>0)等于( )
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
4．函数，且恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
6．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系
是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
7．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )
A．x8．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
9．函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
10．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
11．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
12．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·2＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
13．已知，则下列关系式正确的是( )
A． B．C． D．
14．化简：·(a＞0，b＞0)＝________．
15．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．
16．已知函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，则a的取值范围为________．
17．函数f(x)＝的值域为________．
18．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(41－x，x≤1，,1－x，x＞1，))则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为__________．
19．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)－－1×－10× ．
20．化简与求值：
(1)log327＋lg＋ln＋；(2)log535＋－log5－log514；
(3)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．
21．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)．
(1)试确定m的值；
(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
22．已知实数，且满足不等式．
（1）解不等式；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值．
23．已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
二、提高训练题
24．(2020·全国卷Ⅲ)设，，，则( )
A． B．
C． D．
25．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A．f(b)26．已知函数，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
27．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
28 ．设函数f(x)＝|logax|(0A． B．或 C． D．或
28．(多选题)已知函数，则下列结论中错误的是( )
A．函数的定义域是
B．函数是偶函数
C．函数在区间上是减函数
D．函数的图象关于直线对称
29．(多选题)关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
30．设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位
于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．
31．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x132．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
33．已知函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
（1）请分别求出与的解析式；
（2）记．
（i）证明：为奇函数；
（ii）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
高一上学期期末复习导学案（四）
幂函数、指数函数与对数函数参考答案
例1、(1)【答案】
【解析】原式．
(2) 【答案】1
【解析】原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1．
(3)【答案】－
【解析】原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－．
(4)【答案】
【解析】，因为，所以．
由，得，即，
所以 ．因为，∴ ．
所以．
例2、(1)【答案】
【解析】原式．
(2)【答案】5
【解析】原式．
(3)【答案】
【解析】原式＝·＝·＝·＝．
(4)【答案】
【解析】由题意，得，故．
例3、(1)【答案】
【解析】由得，则．
(2)【答案】
【解析】∵ ，，为正实数，，，
∴ ，，．
∵，∴，所以．
(3)【答案】2
【解析】设，因为，所以，由得，所以，
即 ，，结合有，所以，所以，，所以．
例3、(1)【答案】C
【解析】因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1．又f(x)的图象过点，所以a＋1＝，所以a＋1＝，所以a＝－，所以k＋a＝±1－＝－或．
(2)【答案】D
【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在上单调递增，所以．
(3)【答案】D
【解析】因为在第一象限内是增函数，所以；
因为是减函数，所以，所以．
例5、(1)【答案】B
【解析】，当，且时，为减函数，时为增函数，故选B．
(2)【答案】CD
【解析】画出函数和的图象，
借助图象分析，满足等式时的大小关系，如图所示：
若，均为正数，则；
若，均为负数，则；
若，则．故选CD．
(3)【答案】[－1，1]
【解析】曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，
由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，
则b应满足的条件是b∈[－1，1]．
例6、(1)【答案】D
【解析】，，，
因为函数在定义域上为增函数，所以．故选D．
(2)【答案】
【解析】令，则在区间上单调递增，在区间上单调递减．
而在上单调递增，
所以要使函数在上单调递增，则有，即，
所以的取值范围是．
(3)【答案】B
【解析】函数f(x)＝ex－的定义域为R，∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)．
例7、(1)【答案】A
【解析】分别作出三个函数的图象，如下左图所示，由图可知x2(2)【答案】A
【解析】作出g(x)的图象如上右图所示，若使g(lg x)>g(1)，则lgx>1或lg x<－1，解得x>10或0(3)【答案】B
【解析】的图象如图所示：
因为，且，所以且，，所以，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．
例8、(1)【答案】D
【解析】因为c＝＝log35>log3>log33＝1，所以c>a，又b＝<1，所以b(2)【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以可将化为，
即或，
即或，解得或.
课后作业
1、【答案】C
【解析】原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4．
2、【答案】C
【解析】设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，
可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C．
3、【答案】B
【解析】∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1．
4、【答案】B
【解析】令可得：，则，
即函数，且恒过定点．故选B．
5、【答案】C
【解析】很显然，均大于1，如图：
与的交点在与的交点上方，故．
综上所述：．故选C．
6、【答案】B
【解析】由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图
知a>b>c>d，故选B．
7、【答案】A
【解析】由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y>z．由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
可得x8、【答案】B
【解析】若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a>1，故函数y＝loga|x|的大致图象如选项B中图所示．
【答案】A
【解析】令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C、D．由对数函数的单调性及函数y＝2－|x|的单调性知A正确．
10、【答案】C
【解析】选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，
幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
11、【答案】B
【解析】令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．
∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B．
12、【答案】B
【解析】由已知，得lg a＋lg b＝2，即lg(ab)＝2．又lg a·lg b＝，
所以lg(ab)·2＝2(lg a－lg b)2＝2[(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b]＝2×＝2×2＝4，故选B．
13、【答案】A
【解析】不等式可变为，因为函数在上是减函数，所以有．
14、【答案】
【解析】原式＝2×＝21＋3×10－1＝．
【答案】{x|x<1}
【解析】原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，
则不等式的解集为{x|x<1}．
16、【答案】[6，＋∞)
【解析】函数y＝2是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间上单调递增，在区间上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，所以函数y＝2在区间上单调递增，在区间上单调递减．又因为函数y＝2在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，即a≥6．
17、【答案】(0，4]
【解析】令t＝x2－2x，则有y＝t，根据二次函数的图象可求得t≥－1，结合指数函数
y＝x的图象可得018、【答案】{x
【解析】原不等式等价于或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>1，,1－x≤2，))解得≤x≤1或1即实数x的取值集合为{x．
19、解 (1)原式＝7× －3××2－6×＋＝－6×＋
＝2×－2×3×＝2×－2×＝0．
(2)原式＝ －(3×1)－1× －10×
＝－1－× －10×0.3＝－－3＝0．
20、解 (1)log327＋lg＋ln ＋＝log333＋lg 10－2＋＋×＝3log33－lg 102＋＋×3
＝3－2＋＋＝3．
(2)原式＝log535＋log550－log514＋＝log5＋＝log553－1＝2．
(3)方法一 原式＝＝
＝log25·(3log52)＝13log25·＝13．
方法二 原式＝＝＝＝13．
21、解 (1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)，∴＝2，即2＝2．
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2．又∵m∈N*，∴m＝1．
(2)由(1)知f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<．∴a的取值范围为．
22、解 （1）由题意得:，∴，∴，解得．
，令，当时，，，所以，所以．
∵，∴的对数函数在定义域内递减，∴，∴．
23、解 （1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴，
此时，，是奇函数，满足题意，；
（2），在R上是减函数，
证明：设且，则
∵，∴，，，∴，
即，∴在R上是减函数；
（3）是奇函数，故不等式等价于，
又是R上的减函数， ∴， ∴对恒成立，∴．
24、【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∴；
∵，∴，∴，∴，∴，故选A．
25、【答案】B
【解析】易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)26、【答案】C
【解析】，，∴，
由函数解析式知：，即，又在上单调递增，∴．故选C．
27、【答案】C
【解析】令，，当时，显然不成立．
当时，如图所示，要使在区间上，的图象在图象的下方，只需，即，所以，解得．故选C．
28、【答案】C
【解析】作出y＝|logax|(0又1－a－＝1－a－＝<0，故1－a<－1，
所以n－m的最小值为1－a＝，即a＝．
29、【答案】ACD
【解析】函数，
由，可得，故函数的定义域为，A错误；
的定义域为，且，
即是偶函数，B正确；
，
当时，是减函数，外层也是减函数，
所以函数在区间上是增函数，故C错误；
由，可得的图象不关于直线对称，故D错误．
故选ACD．
30、【答案】AC
【解析】函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，A正确；
函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确，
故选AC．
31、【答案】12
【解析】由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2．又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，
所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，
即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12．
32、【答案】(1，2)
【解析】当x1设g(x)＝x2－ax＋5，则解得133、【答案】(－1，＋∞)
【解析】不等式2x(x－a)<1可变形为x－a－1．
34、解 （1）根据题意①，则，
∵为奇函数，为偶函数，
∴②，
联立①②可得，．
（2）（i）由（1）得
定义域为，对任意，
都有∴为奇函数；
（ii）∵为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，
即为上单调递增的奇函数，
∴存在，使成立，
即存在使得成立，
即，使成立，
令，使成立，
∵在上单调递减，在上单调递增，
而，，∴，∴．
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