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高一上学期期末复习导学案（五）
函数的图像、函数与方程及函数的应用
班级 姓名
知识归纳
一、图象变换
1、平移变换
2、对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
3、翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)．
4、伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
二、几类特殊函数的图像与性质
①函数的图像与性质
，，
②函数的图像与性质
③函数的图像与性质 ③函数的图像与性质
三、***两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
四、函数零点的定义
一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
五、函数零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．
六、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为
g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．
典例分析
题型一 作函数的图象
例1、作出下列函数的图象
(1) y＝|x－2|·(x＋1)；(2) y＝；(3) y＝x2－2|x|－1；(4) y＝；(5) y＝|log2(x＋1)|．
题型二 函数图象的识别
例2、(1) (2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
(2) (2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
(3)已知定义在区间[0，4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
(4)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
题型三 函数图象的应用
例3、(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________．
(3)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
(4)已知函数f(x)＝若f(3－a2)
(5)(多选题)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下命题,其中正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数；
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；
C．f(x)没有最小值；
D．f(x)>1的解集是.
题型四 函数与方程
例4、(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间为( )
A．(－1，0) B．(0，) C．(，1) D．(1，)
(2)函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(1，2)与(2，3)
例5、(1)函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知函数f(x)＝－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．
(3) 已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(4) 已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．
例6、(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是
________．
(3)已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A.a(4)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosx－，0≤x≤π，,log2020，x>π，))若有三个不同的实数a，b，ｃ，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，
则a＋b＋c的取值范围是________．
题型五 函数的应用
例7、如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元设总造价为（单位：元），长为（单位：．
（1）用表示的长度，并求的取值范围；
（2）当为何值时，最小？并求出这个最小值．
例8、2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当，时，曲线是二次函数图像的一部分，当，时，曲线是函数，且图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．
课后作业
一、基础训练题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A．y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
2．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为( )
A． B． C． D．
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
4．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
5．函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )
6．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
7．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
8．函数f(x)＝ln的图象是( )
9．函数f(x)＝的图象大致为( )
10．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
11．若x0是方程的解，则x0属于区间( )
A． B． C． D．
12．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
13．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
14．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
15．(多选题)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝
INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\看ppt\\数学 人教A版 新教材 新高考\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新（二）\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新（二）\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\数学 人教A版 新教材 新高考（鲁）\\全书完整的Word版文档\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET
则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
16．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
17．函数f(x)＝的零点个数是________．
18．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
二、提高训练题
20．(多选题)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是( )
A．PA≥1
B．PA≤10
C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10
D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时522．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝sinπx＋2|sinπx|，则方程f(x)－
|lgx|＝0在区间[0，10]上根的个数是( )
A．17 B．18 C．19 D．20
24．函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2·sin|x| B．f(x)＝·cos 2x C．f(x)＝(ex－e－x)cos D．f(x)＝
25．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1 C．026．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|log2x|，0A．(4，16) B．(0，12) C．(9，21) D．(15，25)
27．若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
28．已知函数f(x)＝设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为________．
高一上学期期末复习导学案（五）
函数的图像、函数与方程及函数的应用参考答案
例1、[解析](1) 当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋．所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．
(2) 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．
(3) 因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图．
(4) 作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
(5) 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分．
例2、(1)【答案】B【解析】∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项；又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B．
(2)【答案】D【解析】由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x．∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B．令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D．
(3)【答案】D【解析】法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D．
法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D．
(4)【答案】A【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C．若函数为f(x)＝x－，
则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D．
例3、(1)【答案】C【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
(2)【答案】1【解析】函数f(x)＝＝a＋(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1，
1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a＝1．
(3)【答案】6【解析】f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4．故
当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6．
(4)【答案】(－3，1)【解析】如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)∴3－a2>2a，解得－3(5)【答案】ABD【解析】因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；由y＝lg
x图象向左平移1个单位长度y＝lg(x＋1) 去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧图象的对称图象y＝lg(|x|＋1) 图象向右平移2个单位长度y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以ABD正确．
例4、(1)【答案】C【解析】∵＝－2<0，f(1)＝e－1>0，∴零点在(，1)上，故选C．
(2)【答案】B【解析】f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，＞0，所以f(x)＞0，故函数f(x)在(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝．因为＝2≈2.828＞e，所以8＞e2，即ln8＞2，即f(3)＜0.又f(4)＝－ln3＜0，所以f(x)在(2，3)内存在一个零点．
例5、(1)【答案】B【解析】函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即函数g(x)＝|ln x|与函数h(x)＝图象的交点个数．作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点．
(2)【答案】3【解析】如图，作出g(x)＝与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3．
(3)【答案】A【解析】依题意画出y＝f(x)与y＝log2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5．
(4)【答案】5【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x) 的图象，由图象知直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．
例6、(1)【答案】C【解析】因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0(2)【答案】(0，1)【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0(3)【答案】A【解析】令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0(4)【答案】(2π，2021π)【解析】f(x)的图像可作，所以考虑作出f(x)的图像，不妨设aπ，且f(c)＝log2020＝f(a)∈(0，1)，所以0注：本题抓住a，b关于x＝对称是关键，从而可由对称求得a＋b＝π，使得所求式子只需考虑c的范围即可．
例7、解：（1）由题意可得，矩形的面积为，因此，，．
（2），，
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，总造价最小，最小值为472000元．
例8、解：（1）当，时，设，
将点代入可得，，
当，时，将点代入，解得，
故．
（2）当，时，，解得，
故，当，时，，解得，
故，，综上所述，时学生听课效果最佳，
此时△，
故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完．
课后作业
1、【答案】B【解析】由题表可知函数在(0，＋∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．【答案】D【解析】函数f(x)＝e－x＋4x－3是连续函数，又因为＝－1＜0，＝＋3－3＞0，
所以＜0，故选D．
3．【答案】C【解析】因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数
f(x)的零点所在区间为(2，4)．
4、【答案】CD【解析】甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
5、【答案】B【解析】∵ y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，∴ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)
是奇函数，排除选项C．当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除选项A、D．故选B．
6、【答案】A【解析】函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，
又当x→π时，y＝→0，故选A．
7、【答案】B【解析】设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a8、【答案】B【解析】自变量x满足x－＝>0，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得－1即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D.函数y＝x－单调递增，
故函数f(x)＝ln在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B．
9．【答案】A【解析】f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除B、
D；当x>0且趋于原点时，f(x)>0，又当x>0且趋于无限大时，3x＋趋于无穷大，sin 3x∈[－1，1]，则|f(x)|趋于0．故选A．
10、【答案】C【解析】要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
11．【答案】C【解析】令g(x)＝，f(x)＝，则g(0)＝1>f(0)＝0，，
，所以由图象关系可得12、【答案】B【解析】函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为
＜0.01.
13、【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
14、【答案】A【解析】在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c．
15、【答案】ABC【解析】由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误．
16、【答案】【解析】令f(x)＝ln x－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f＝ln －＜0，
∴下一个含根的区间是.
17．【答案】3【解析】当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零
点；当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点．
18、【答案】【解析】函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为．
19、解：(1)每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元．
当0当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
故L(x)＝
(2)当0当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝15(万元)，.
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
21、【答案】BD【解析】当nA＝1时，PA＝0，故A错误；
又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，
∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确；
若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝＝2×105，则PA＝lg nA＝5＋lg 2.
又lg 2≈0.3，∴522．【答案】B【解析】画出函数f(x)＝的图象如图，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得
f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B．
23．【答案】C【解析】 f(x)＝sinπx＋2|sinπx|＝由f(x＋4)＝f(x)可知，f(x)是以4为周期的周期函数．方程f(x)－|lgx|＝0，即f(x)＝|lgx|，方程的根即为函数y＝f(x)与y＝|lgx|图象交点的横坐标，作出两函数图象如图所示．
由图象可知，方程f(x)－|lgx|＝0在区间[0，10]上根的个数是19．
24．【答案】D【解析】由题中图象可知，函数在原点处没有图象，故函数的定义域为{x|x≠0}，故排除选项
A、C；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)＝cos 2x中cos 2x＝0有无数个根，故排除选项B，正确选项是D．
25．【答案】C【解析】由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m图所示，结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以026、【答案】B【解析】不妨设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a，作出f(x)的图像，y＝a与y＝f(x)有四个不同交点，则a∈(0，1)，且x1<127．【答案】1【解析】设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0)．因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4．又m＞0，n＞0，所以＋＝·＝≥＝1．当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．所以＋的最小值为1．
28．【答案】(16，36)【解析】作出f(x)的图象如图，
当x>4时，由f(x)＝3－＝0，得＝3，得x＝9，若a，b，c互不相等，不妨设a平移
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高一上学期期末复习导学案（五）
函数的图像、函数与方程及函数的应用
班级 姓名
知识归纳
一、图象变换
1、平移变换
2、对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
3、翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)．
4、伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
二、几类特殊函数的图像与性质
①函数的图像与性质
，，
②函数的图像与性质
③函数的图像与性质 ③函数的图像与性质
三、***两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
四、函数零点的定义
一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
五、函数零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．
六、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系
设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为
g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．
典例分析
题型一 作函数的图象
例1、作出下列函数的图象
(1) y＝|x－2|·(x＋1)；(2) y＝；(3) y＝x2－2|x|－1；(4) y＝；(5) y＝|log2(x＋1)|．
[解析](1) 当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋．所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．
(2) 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．
(3) 因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图．
(4) 作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
(5) 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分．
题型二 函数图象的识别
例2、(1) (2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 B 解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项；又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B．
(2) (2018·浙江)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
答案 D 解析 由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x．∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B．令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D．
(3) 已知定义在区间[0，4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 D 解析 法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D．
法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D．
(4) 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
答案 A 解析 由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C．若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D．
题型三 函数图象的应用
例3、(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
答案 C 解析 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
(2)若函数f(x)＝的图象关于点(1，1)对称，则实数a＝________．
2．答案 1 解析 函数f(x)＝＝a＋(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1，
1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a＝1．
(3)用min{a，b，c}表示a，b，c中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
4．答案 6 解析 f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图中实线所示．令x＋2＝10－x，得x＝4．故
当x＝4时，f(x)取最大值，又f(4)＝6，所以f(x)的最大值为6．
(4)已知函数f(x)＝若f(3－a2)6．答案 (－3，1) 解析 如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)∴3－a2>2a，解得－3(5)(多选题)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下命题,其中正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数；
B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；
C．f(x)没有最小值；
D．f(x)>1的解集是.
1．答案 ABD 解析 因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；由y＝lg
x图象向左平移1个单位长度y＝lg(x＋1) 去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧图象的对称图象y＝lg(|x|＋1) 图象向右平移2个单位长度y＝lg(|x－2|＋1)，如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0．所以ABD正确．
题型四 函数与方程
例4、(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间为( )
A．(－1，0) B．(0，) C．(，1) D．(1，)
答案 C 解析 ∵＝－2<0，f(1)＝e－1>0，∴零点在(，1)上，故选C．
(2)函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是( )
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(1，2)与(2，3)
答案 B 解析 f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，＞0，所以f(x)＞0，故函数f(x)在(1，2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝．因为＝2≈2.828＞e，所以8＞e2，即ln8＞2，即f(3)＜0.又f(4)＝－ln3＜0，所以f(x)在(2，3)内存在一个零点．
例5、(1)函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B 解析 函数f(x)＝3x|ln x|－1的零点数的个数即函数g(x)＝|ln x|与函数h(x)＝图象的交点个数．作出函数g(x)＝|ln x|和函数h(x)＝的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f(x)＝3x|ln x|－1有2个零点．
(2)已知函数f(x)＝－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为________．
答案 3 解析 如图，作出g(x)＝与h(x)＝cosx的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3．
(3) 已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 A 解析 依题意画出y＝f(x)与y＝log2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5．
(4) 已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________．
答案 5 解析 方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x) 的图象，由图象知直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解．
例6、(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
答案 C 解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是
________．
12．答案 (0，1) 解析 画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的
实数根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0(3)已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则( )
A.a【答案】 A
【解析】 令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；
令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a(4)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosx－，0≤x≤π，,log2020，x>π，))若有三个不同的实数a，b，ｃ，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，
则a＋b＋c的取值范围是________．
答案 (2π，2021π) 解析 f(x)的图像可作，所以考虑作出f(x)的图像，不妨设aπ，且f(c)＝log2020＝f(a)∈(0，1)，所以0注：本题抓住a，b关于x＝对称是关键，从而可由对称求得a＋b＝π，使得所求式子只需考虑c的范围即可．
题型五 函数的应用
例7、如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元设总造价为（单位：元），长为（单位：．
（1）用表示的长度，并求的取值范围；
（2）当为何值时，最小？并求出这个最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，矩形的面积为，因此，
，
．
（2），，
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，总造价最小，最小值为472000元．
例8、2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调研研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当，时，曲线是二次函数图像的一部分，当，时，曲线是函数，且图像的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完？请说明理由．
【解答】解：（1）当，时，
设，
将点代入可得，
，
当，时，将点代入，解得，
故．
（2）当，时，，解得，
故，
当，时，，解得，
故，，
综上所述，时学生听课效果最佳，
此时△，
故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时讲解完．
课后作业
一、基础训练题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
1、答案 B
解析 由题表可知函数在(0，＋∞)上单调递增，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为( )
A． B． C． D．
2．答案 D 解析 函数f(x)＝e－x＋4x－3是连续函数，又因为＝－1＜0，＝＋3－3＞0，
所以＜0，故选D．
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
3．答案 C 解析 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数
f(x)的零点所在区间为(2，4)．
4．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
4、答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
5．函数y＝在[－6，6]的图象大致为( )
5、答案 B 解析 ∵ y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，∴ f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴ f(x)
是奇函数，排除选项C．当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除选项A、D．故选B．
6．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象大致是( )
6、答案 A 解析 函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，C，
又当x→π时，y＝→0，故选A．
7．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
7、答案 B
解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a8．函数f(x)＝ln的图象是( )
8、答案 B 解析 自变量x满足x－＝>0，当x>0时，可得x>1，当x<0时，可得－1数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D.函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B．
9．函数f(x)＝的图象大致为( )
9．答案 A 解析 f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除B、
D；当x>0且趋于原点时，f(x)>0，又当x>0且趋于无限大时，3x＋趋于无穷大，sin 3x∈[－1，1]，则|f(x)|趋于0．故选A．
10．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
10、答案 C 解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称
得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
11．若x0是方程的解，则x0属于区间( )
A． B． C． D．
11．答案 C 解析 令g(x)＝，f(x)＝，则g(0)＝1>f(0)＝0，，
，所以由图象关系可得12．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
12、解析：选B 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为＜0.01.
13．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
13、答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
14．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
14、答案 A 解析 在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c．
15．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝
INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\看ppt\\数学 人教A版 新教材 新高考\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新（二）\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\一轮\\数学\\人A新新（二）\\word\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\数学 人教A版 新教材 新高考（鲁）\\全书完整的Word版文档\\2-112.TIF" \* MERGEFORMATINET
则下列说法正确的是( )
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
15、答案 ABC
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误．
16．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
16、解析：令f(x)＝ln x－2＋x，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
f＝ln －＜0，
∴下一个含根的区间是.
答案：
17．函数f(x)＝的零点个数是________．
17．答案 3 解析 当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零
点；当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点．
18．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
18、答案 解析 函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为．
19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
19、解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元．
当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；
当x≥8时，
L(x)＝5x－－3＝35－.
故L(x)＝
(2)当0L(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－6)2＋9；
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9万元；
当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝15(万元)，.
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
二、提高训练题
20．(多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是( )
A．PA≥1
B．PA≤10
C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10
D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时521、答案 BD
解析 当nA＝1时，PA＝0，故A错误；
又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，
∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确；
若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误；
设B菌的个数为nB＝5×104，
∴nA＝＝2×105，则PA＝lg nA＝5＋lg 2.
又lg 2≈0.3，∴522．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．答案 B 解析 画出函数f(x)＝的图象如图，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得
f(x)＝，则问题化为函数f(x)＝与函数y＝＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B．
23．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝sinπx＋2|sinπx|，则方程f(x)－
|lgx|＝0在区间[0，10]上根的个数是( )
A．17 B．18 C．19 D．20
23．答案 C 解析 f(x)＝sinπx＋2|sinπx|＝由f(x＋4)＝f(x)可知，f(x)是以4为周期的周期函数．方程f(x)－|lgx|＝0，即f(x)＝|lgx|，方程的根即为函数y＝f(x)与y＝|lgx|图象交点的横坐标，作出两函数图象如图所示．
由图象可知，方程f(x)－|lgx|＝0在区间[0，10]上根的个数是19．
24．函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2·sin|x| B．f(x)＝·cos 2x C．f(x)＝(ex－e－x)cos D．f(x)＝
24．答案 D 解析 由题中图象可知，函数在原点处没有图象，故函数的定义域为{x|x≠0}，故排除选项
A、C；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)＝cos 2x中cos 2x＝0有无数个根，故排除选项B，正确选项是D．
25．若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则( )
A．mn＝1 B．mn>1 C．025．答案 C 解析 由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m图所示，结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以026．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|log2x|，0A．(4，16) B．(0，12) C．(9，21) D．(15，25)
26、答案 B 解析 不妨设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a，作出f(x)的图像，y＝a与y＝f(x)有四个不同交点，则a∈(0，1)，且x1<127．若a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为
________．
27．答案 1 解析 设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别
为m，n(m＞0，n＞0)．因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4．又m＞0，n＞0，所以＋＝·＝≥＝1．当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．所以＋的最小值为1．
28．已知函数f(x)＝设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为________．
28．答案 (16，36) 解析 作出f(x)的图象如图，
当x>4时，由f(x)＝3－＝0，得＝3，得x＝9，若a，b，c互不相等，不妨设a平移
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