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高一上学期期末复习导学案（六）
三角函数的基本概念
班级 姓名
知识归纳
一、任意角
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2、角的分类
3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
二、弧度制
1、定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
2、公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 1°＝0.01745rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式 l＝
扇形面积公式 2
三、任意角的三角函数
1、 设点为角终边上任意一点，那么： ，，（设）
2、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
3、三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4、特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
四、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．
2、【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
五、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
典例分析
题型一 角的概念
例1、(1)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
(2)若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
(3)终边在直线y＝x上的角的集合为_________________________．
题型二 扇形的弧长及面积公式的应用
例2、(1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm．
(3)若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
题型三 三角函数的定义及应用
例3、(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为( )
A． B．－ C． D．－
(2)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tan α＝( )
A． B． C．－ D．－
(3)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(4)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不确定
题型四 同角三角函数基本关系式的应用
例4、(1)已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2 C． D．－
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝( )
A．－ B． C． D．－
(3)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝( )
A．－ B． C．－ D．
题型五 诱导公式的应用
例5、(1)计算：2sin＋cos 12π＋tan＝__________．
(2)化简：＝ ．
(3)若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－ C． D．
课后作业
一、基础训练题
1．下列各选项中正确的是( )
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan>0 D．sin 10<0
2．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A． B．－ C． D．－
3．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长是( )
A.π B.π C.π D.π
4．在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且sin α＝，则y的值为
( )
A． B．－ C． D．或
5．sin 210°cos 120°的值为( )
A． B．－ C．－ D．
6．若sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝( )
A． B．－ C． D．－
7．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b
8．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A． B． C． D．
9．已知角α终边上一点P(－4，3)，则的值为________．
10．已知tan α＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
11．设f(α)＝(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
二、提高训练题
12．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
13．已知sin α＋cos α＝，α∈[0，π]，则tan α＝( )
A．－ B．－ C． D．
14．已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B． C． D．－
15．已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
16．已知角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
高一上学期期末复习导学案（六）
三角函数的基本概念参考答案
例1、(1)答案 B 解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
(2)答案 C 解析 ∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选C．
(3)答案 解析 终边在直线y＝x上的角的集合为．
例2、(1)答案 A 解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．
(2)答案 π 解析 设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝，得r＝4，又α＝，所以l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
(3)答案 B 解析 ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
例3、(1)答案 D 解析 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－．
(2)答案 D 解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，即x＜0．又cos α＝x＝．解得x＝－3，所以tan α＝＝－．
(3)答案 C 解析 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(4)答案 A 解析 2 rad，3 rad是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0．
例4、(1)答案 D 解析 因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－．
(2)答案 A 解析 因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－，
所以＝＝＝＝－．
(3)答案 D 解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，
把tan θ＝2代入得，原式＝＝．故选D．
例5、(1)答案 1 解析 原式＝2sin＋cos 0＋tan
＝2sin＋1－tan＝2sin＋1－1＝2sin＝1．
(2)答案 －1 解析 原式＝＝
＝＝－＝－·＝－1．
(3)答案 A 解析 cos＝cos＝－cos＝－1＋2sin2＝－．故选A．
课后作业
1．答案 D 解析 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，
则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D．
2．答案 D 解析 因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－．
3．答案 A 解析 所求的弧长l＝π×10＝π.
4．答案 C 解析 由题意知|OP|＝，则sin α＝＝，解得y＝0(舍去)或y＝±，
因为α为第二象限角，所以y>0，则y＝．
5．答案 A 解析 sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×＝．
6．答案 D 解析 由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，
则tan θ＋＝＋＝＝－，故选D．
7．答案 B 解析 由已知，a＝tan＝－tan ＝－，b＝cos＝cos ＝，c＝
sin＝－sin ＝－，因而b>a>c．
8．答案 B 解析 因为sin＝sin＝sin＝，cos＝cos＝－cos＝－，所以点
在第四象限．又因为tan α＝＝－，所以α＝2kπ－，k∈Z，所以角α的最小正值为．故选B．
9．答案 － 解析 原式＝＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－．
10．解 (1)＝＝＝．
(2)＝＝＝＝＝－．
(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－．
11．解 (1)f(α)＝＝＝＝＝．
(2)当α＝－时，f(α)＝f＝＝＝＝＝．
12．答案 解析 因为α是第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋<所以是第二象限角或第四象限角．当是第二象限角时，y＝－＝0，
当是第四象限角时，y＝－＋＝0，故选A．
13．答案 A 解析 将sin α＋cos α＝，①．左右两边平方，得1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－<0．又α∈[0，π]，∴sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝，②．
联立①②解得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－．
14．答案 A 解析 cos＝cos＝sin＝sin＝－sin＝－
sin＝－
15．答案 0 解析 因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝
cos＝a，所以cos＋sin＝0．
16．解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝．
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0．
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
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高一上学期期末复习导学案（六）
三角函数的基本概念
班级 姓名
知识归纳
一、任意角
1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2、角的分类
3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
二、弧度制
1、定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
2、公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 1°＝0.01745rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式 l＝
扇形面积公式 2
三、任意角的三角函数
1、 设点为角终边上任意一点，那么： ，，（设）
2、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：
3、三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sinα R ＋ ＋ － －
cosα R ＋ － － ＋
tanα {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
4、特殊角的弧度数与三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 － － 0 0
四、同角三角函数的基本关系式
1、平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．
2、【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
五、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
典例分析
题型一 角的概念
例1、(1) 集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 B 解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样．
(2) 若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
答案 C 解析 ∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．故选C．
(6)终边在直线y＝x上的角的集合为_________________________．
答案 解析 终边在直线y＝x上的角的集合为．
题型二 扇形的弧长及面积公式的应用
例2、(1) 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
答案 A 解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而α＝＝＝4或α＝＝＝1．
(2) 若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm．
答案 π 解析 设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝，得r＝4，又α＝，所以l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
(3) 若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
答案 B 解析 ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．
题型三 三角函数的定义及应用
例3、(1) 如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为( )
A． B．－ C． D．－
答案 D 解析 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－．
(2) 设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tan α＝( )
A． B． C．－ D．－
答案 D 解析 因为α是第二象限角，所以cos α＝x＜0，即x＜0．又cos α＝x＝．解得x＝－3，所以tan α＝＝－．
(3) 若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C 解析 由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(4) sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不确定
答案 A 解析 2 rad，3 rad是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0．
题型四 同角三角函数基本关系式的应用
例4、(1) 已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2 C． D．－
答案 D 解析 因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－．
(2) 已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝( )
A．－ B． C． D．－
答案 A 解析 因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－，所以＝＝＝＝－．
(3) 已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝( )
A．－ B． C．－ D．
(3) 答案 D 解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，把tan θ＝2代
入得，原式＝＝．故选D．
题型五 诱导公式的应用
例5、(1) 计算：2sin＋cos 12π＋tan＝__________．
答案 1 解析 原式＝2sin＋cos 0＋tan＝2sin＋1－tan＝2sin＋1－1＝2sin＝1．
(2) 化简：＝ ．
答案 －1 解析 原式＝＝＝＝－＝－·＝－1．
(3) 若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－ C． D．
答案 A 解析 cos＝cos＝－cos＝－1＋2sin2＝－．故选A．
课后作业
一、基础训练题
1．下列各选项中正确的是( )
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．tan>0 D．sin 10<0
1．答案 D 解析 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则
－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D．
2．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
A． B．－ C． D．－
2．答案 D 解析 因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝
＝＝－．
3．在半径为10的圆中，的圆心角所对弧长是( )
A.π B.π C.π D.π
3．解析：A 所求的弧长l＝π×10＝π.
4．在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且sin α＝，则y的值为
( )
A． B．－ C． D．或
4．答案 C 解析 由题意知|OP|＝，则sin α＝＝，解得y＝0(舍去)或y＝±，因为α
为第二象限角，所以y>0，则y＝．
5．sin 210°cos 120°的值为( )
A． B．－ C．－ D．
5．答案 A 解析 sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×＝．
6．若sin θ＋cos θ＝，则tan θ＋＝( )
A． B．－ C． D．－
6．答案 D 解析 由sin θ＋cos θ＝，得1＋2sin θcos θ＝，即sin θcos θ＝－，则tan θ＋＝
＋＝＝－，故选D．
7．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b
7．答案 B 解析 由已知，a＝tan＝－tan ＝－，b＝cos＝cos ＝，c＝
sin＝－sin ＝－，因而b>a>c．
8．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A． B． C． D．
8．答案 B 解析 因为sin＝sin＝sin＝，cos＝cos＝－cos＝－，所以点
在第四象限．又因为tan α＝＝－，所以α＝2kπ－，k∈Z，所以角α的最小正值为．故选B．
9．已知角α终边上一点P(－4，3)，则的值为________．
9．答案 － 解析 原式＝＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－．
10．已知tan α＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
10．解 (1)＝＝＝．
(2)＝＝＝＝＝－．
(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－．
11．设f(α)＝(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
11．解 (1)f(α)＝＝＝＝＝．
(2)当α＝－时，f(α)＝f＝＝＝＝＝．
二、提高训练题
12．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
A．0 B．2 C．－2 D．2或－2
12．答案 解析 因为α是第三象限角，所以2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋<所以是第二象限角或第四象限角．当是第二象限角时，y＝－＝0，当是第四象限角时，y＝－＋＝0，故选A．
13．已知sin α＋cos α＝，α∈[0，π]，则tan α＝( )
A．－ B．－ C． D．
13．答案 A 解析 将sin α＋cos α＝，①．左右两边平方，得1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－
<0．又α∈[0，π]，∴sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝，②．联立①②解得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝－．
14．已知sin＝，则cos＝( )
A．－ B． C． D．－
14．答案 A 解析 cos＝cos＝sin＝sin＝－sin＝－
sin＝－
15．已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
15．答案 0 解析 因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝
cos＝a，所以cos＋sin＝0．
16．已知角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
16．解 (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝．
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0．
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
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