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高一上学期期末复习导学案（八）
三角恒等变换
班级 姓名
知识归纳
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ (2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
(3)tan(α＋β)＝
2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β) (2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)
(3)＝tan(α－β)
二、二倍角公式及其变形公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα
(2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α
(3)tan2α＝
2．降幂公式
(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式
(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；
(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.
三、辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝
或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。
典例分析
题型一、和差公式给角求值
例1-1、(1)cos(－15°)= ；
(2)cos 105°＋sin 105°= .
例1-2、(1)( )
A． B． C． D．
(2)计算所得的结果为( )
A． B． C． D．
题型二、和差公式给值求值
例2-1、已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，则cos β= ．
例2-2、若，，则___________.
题型三、和角公式给值求角
例3-1、已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
例3-2、已知，，，若，则
A． B． C． D．
题型四、二倍角公式的正用、逆用
例4-1、(1)sincos＝________.
(2)＝________.
(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α＝________.
例4-2、(多选题)若，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
例4-3、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五、三角恒等变换的简单应用
例5-1、已知函数．
（1）求的周期和单调区间； （2）若，，，求的值．
例5-2、已知函数．
(1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的值域．
课后作业
一、基础训练题
1．若，，则等于（ ）．
A． B． C．或 D．或
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则
A． B． C． D．
4．已知函数的最小正周期为，且，则（ ）
A．在内单调递减 B．在内单调递减
C．在内单调递增 D．在内单调递增
5．若，，则
A． B． C． D．
6．(多选题)下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．(多选题)下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(多选题)已知的最小正周期为，则下列说法正确的有
A． B．函数在上为增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．点是函数图象的一个对称中心
9．求值___ ___．
10．已知，则 ．
11．已知，，，，则 ．
12．已知，为锐角，，．
（1）求的值； （2）求的值．
13．已知函数．
（1）求的最小正周期； （2）求在区间，上的最大值和最小值．
14．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
提高训练题
15．化简
A． B． C．1 D．
16．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，则（ ）
A． B． C．3 D．
18．已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．的值域为
B．曲线关于直线对称
C．在上单调递增
D．方程在上有4个不同的实根
19．已知，下面结论正确的是
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是，
20．若，且，则的值为___________.
高一下学期期末复习导学案（三）
三角恒等变换参考答案
例1-1、(1)【答案】
【解析】(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝．
(2)cos 105°＋sin 105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
例1-2、(1)【答案】B
【解析】.
(2)【答案】C
【解析】
例2-1、【答案】
【解析】(1)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.
由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
例2-2、【答案】
【解析】.
例3-1、【答案】
【解析】∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α< ，∴0<α－β<.
故α－β＝.
例3-2、【答案】A
【解析】，，，
， ，
，，
，即，
又，且，，，
，
，，且，，，，，
，，．
例4-1、【答案】(1) (2)－ (3)－
【解析】(1)原式＝
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.
(3)由3cos 2α＝sin，可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，
即3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)．∵α∈，∴cos α－sin α≠0，
∴上式可化为sin α＋cos α＝，两边平方可得1＋sin 2α＝. ∴sin 2α＝－.
例4-2、【答案】BD
【解析】由，所以.
A：因为，所以，本选项结论不正确；
B：因为，，所以，本选项结论正确；
C：因为，所以本选项结论不正确；
D：因为，所以本选项结论正确，
例4-3、【答案】C
【解析】由及，解得，或，.
因为，所以，，所以，，
所以，
例5-1、【解】（1），
；
令，，解得：，，可得的单调递增区间为，，，
令，，解得：，，可得的单调递减区间为，，，
（2），可得，
，可得，，
，
．
例5-2、【解】(1)解：
所以函数的最小正周期为．
(2)由知，则
故，
故函数的值域是．
课后作业
1、【答案】D
【解析】，又，所以或.
2、【答案】D
【解析】由得：，，
.故选：D.
3、【答案】A
【解析】，，
即，，故选项正确．
4、【答案】B
【解析】
因为最小正周期为，，得
因为，所以为偶函数，所以，
而，所以即
当，是先减再增；
当，是单调递减；故选：B.
5、【答案】D
【解析】因为，两边同平方可得，，
所以，因为，则，
所以，，故，所以，
故，
即，所以．
故选D．
6、【答案】AC
【解析】因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，
整理得，，故选项D错误；故选：AC.
7、【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
8、【答案】BD
【解析】 的最小正周期为，
，，故错误．
在上，，，故单调递增，故正确；
当时，，不是最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故错误；
当时，，故点是函数图象的一个对称中心，故正确，
9、【答案】
【解析】原式．
10、【答案】
【解析】，平方可得，．
11、【答案】
【解析】，，，，
则，
，即，
则，，，
则，则，
12、【解】（1）解法一、，
，为锐角，且，，
所以，；
所以，
所以．
解法二、由题意知，，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，，所以，，
所以，，所以．
13、【解】（Ⅰ）
，
的最小正周期；
（Ⅱ），，，，
，．
，．
14、【解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，即．
（2）因为，，所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
因为，所以．
因为，所以．
15、【答案】D
【解析】化简分母得
.
故原式等于.
16、【答案】B
【解析】，即，
，，
则.
17、【答案】B
【解析】由，得，又，
得，即，整理，得或(舍去)，
所以，又，，解得，
故
.
18、【答案】ABC
【解析】，作出的图像如图所示：
对于A：的值域为，故A错误；
对于B：且，
所以不是函数的对称轴 ，故B错误；
对于C：取，有，而，，
不符合增函数的定义，故C错误；
对于D：，
即方程在上有4个不同的实根.故D正确.故选：ABC.
19、【答案】BCD
【解析】，周期．
．由条件知，周期为，，故错误；
．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，
其图象关于轴对称，则，
，故对，存在，故正确；
．由且在，上恰有7个零点，可得，
，故正确；
．由条件，得，，又，，故正确．
20、【答案】或
【解析】由题意知，则，
即，当时，，即，
由，得；当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
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三角恒等变换
班级 姓名
知识归纳
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
(3)tan(α＋β)＝
2．两角差的正弦、余弦、正切公式
(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)
(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)
(3)＝tan(α－β)
二、二倍角公式及其变形公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα
(2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α
(3)tan2α＝
2．降幂公式
(1)sin2α＝； (2)cos2α＝； (3)sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式
(1)1＋cos α＝2cos2； (2)1－cos α＝2sin2；
(3)1＋sin α＝； (4)1－sin α＝.
三、辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝
或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，其中cosθ＝，sinθ＝。
典例分析
题型一、和差公式给角求值
例1-1、(1)cos(－15°)= ；
(2)cos 105°＋sin 105°= .
例1-1、(1)【答案】
【解析】(1)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝．
(2)[解] cos 105°＋sin 105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
例1-2、(1)( )
A． B． C． D．
(2)计算所得的结果为( )
A． B． C． D．
例1-2、(1)【答案】B
【解析】.故选：B.
(2)【答案】C
【解析】
故选：C
(1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
【解析】(1)原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°
＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
题型二、和差公式给值求值
例2-1、已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，则cos β= ．
例2-1、【答案】
【解析】(1)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝.
由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
例2-2、若，，则___________.
例2-2、【答案】
【详解】.
题型三、和角公式给值求角
例3-1、已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.
【答案】
【解析】∵α，β均为锐角，∴cos α＝，cos β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α>sin β，∴0<β<α< ，
∴0<α－β<.
故α－β＝.
例3-2、已知，，，若，则
A． B． C． D．
例3-2、【答案】A
【解析】，，
，
，
，
，
，
，即，
又，且，
，，
，
，，且，，，，，
，，
．
故选A．
题型四、二倍角公式的正用、逆用
例4-1、(1)sincos＝________.
(2)＝________.
(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α＝________.
例4-1、【答案】(1) (2)－ (3)－
【解析】(1)原式＝
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－.
(3)由3cos 2α＝sin，
可得3cos 2α＝(cos α－sin α)，
即3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)．
∵α∈，∴cos α－sin α≠0，
∴上式可化为sin α＋cos α＝，
两边平方可得1＋sin 2α＝.
∴sin 2α＝－.
例4-2、(多选题)若，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
例4-2、【答案】BD
【详解】由，所以.
A：因为，所以，本选项结论不正确；
B：因为，，所以，本选项结论正确；
C：因为，所以本选项结论不正确；
D：因为，所以本选项结论正确，
故选：BD
例4-3、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例4-3、【答案】C
【详解】由及，解得，或，.
因为，所以，，所以，，
所以，
故选：C.
题型五、三角恒等变换的简单应用
例5-1、已知函数．
（1）求的周期和单调区间；
（2）若，，，求的值．
例5-1、【答案】（1），
；
令，，解得：，，可得的单调递增区间为，，，
令，，解得：，，可得的单调递减区间为，，，
（2），
可得，
，可得，，
，
．
例5-2、已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的值域．
例5-2、【答案】(1)(2)
(1)解：
所以函数的最小正周期为．
(2)由知，则
故，
故函数的值域是．
课后作业
一、基础训练题
1．若，，则等于（ ）．
A． B． C．或 D．或
1、【答案】D
【解析】，又，
所以或.故选：D
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2、【答案】D
【解析】由得：，，
.故选：D.
3．已知，则
A． B． C． D．
3、【答案】A
【解析】，，即，，故选项正确．
故选A．
4．已知函数的最小正周期为，且，则（ ）
A．在内单调递减 B．在内单调递减
C．在内单调递增 D．在内单调递增
4、【答案】B
【解析】
因为最小正周期为，，得
因为，所以为偶函数，所以，
而，所以
即
当，是先减再增；
当，是单调递减；故选：B.
5．若，，则
A． B． C． D．
5、【答案】D
【解析】因为，两边同平方可得，，
所以，因为，则，
所以，，故，所以，
故，
即，所以．
故选D．
6．(多选题)下列各式中值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
6、【答案】AC
【解析】因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，
整理得，，故选项D错误；故选：AC.
7．(多选题)下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确，
故选：ACD.
8．(多选题)已知的最小正周期为，则下列说法正确的有
A．
B．函数在上为增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．点是函数图象的一个对称中心
8、【答案】BD
【解析】 的最小正周期为，
，，故错误．
在上，，，故单调递增，故正确；
当时，，不是最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故错误；
当时，，故点是函数图象的一个对称中心，故正确，
故选BD．
9．求值______．
9、【答案】
【解析】原式．
10．已知，则 ．
10、【答案】
【解析】，平方可得，
．
故答案为：．
11．已知，，，，则 ．
11、【答案】
【解析】，，
，，
则，
，即，
则，
，
，
则，
则，
故答案为：
12．已知，为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
12、【答案】（1）解法一、，
，为锐角，且，，
所以，；
所以，
所以．
解法二、由题意知，，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，，
所以，，
所以，，
所以．
13．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间，上的最大值和最小值．
13、【答案】（Ⅰ）
，
的最小正周期；
（Ⅱ），，，，
，．
，．
14．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
14、【答案】（1）因为，
所以，
所以，
所以，即．
（2）因为，，所以，因为，
所以，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
因为，所以．
因为，所以．
提高训练题
15．化简
A． B． C．1 D．
15、【答案】D
【解析】化简分母得
.
故原式等于.
16．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
16、【答案】B
【解析】，即，
，，
则
，故选：B.
17．已知，，则（ ）
A． B． C．3 D．
17、【答案】B
【详解】由，得，又，
得，即，
整理，得或(舍去)，
所以，又，，
解得，
故
.
故选：B
18．已知函数，下列结论错误的是（ ）
A．的值域为
B．曲线关于直线对称
C．在上单调递增
D．方程在上有4个不同的实根
18、【答案】ABC
【解析】，作出的图像如图所示：
对于A：的值域为，故A错误；
对于B：且，所以不是函数的对称轴 ，故B错误；
对于C：取，有，而，，不符合增函数的定义，故C错误；
对于D：，
即方程在上有4个不同的实根.故D正确.故选：ABC.
19．已知，下面结论正确的是
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C．若在，上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是，
19、【答案】BCD
【解析】，周期．
．由条件知，周期为，，故错误；
．函数图象右移个单位长度后得到的函数为，
其图象关于轴对称，则，
，故对，存在，故正确；
．由且在，上恰有7个零点，可得，
，故正确；
．由条件，得，，又，，故正确．
故选BCD．
20．若，且，则的值为___________.
20、【答案】或
【详解】由题意知，则，
即，当时，，即，
由，得；当时，，
所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
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