河北省沧州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）

沧州市2022－2023学年第二学期期末教学质量监测
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在某项测试中，测量结果，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A．B．
C． D．
5．设随机变起的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为定义在上的奇函数，，若，总有．则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C．， D．
10．有一个正四面体玩具，四个面上分别写有数字1，2，3，4．其玩法是将这个正四面体抛掷一次，记录向下的面上的数字．现将这个玩具随机抛掷两次，表示事件“第一次记录的数字为2”，表示本件“第二次记录的数字为4”，表示事件“两次记录的数字和为3”，表示事件“两次记录的数字和为5”，则（ ）
A．与互斥 B．与互厉
C．与相互独立 D．与相互独立
11．设，且，随机变量，随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．当取得最大值时，
12．已知函数满足，当时，，，则下列结论正确的是（ ）
A．，，上存在两点，使得是正三角形
B．，，上存在两点，使得是正三角形
C．方程在区间上有两根，则的值有4个
D．当为奇数和为偶数时，函数的零点个数分别为，则是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．已知函数是奇函数，则_____．
14．，则_____．
15．将8个大小和形状完全相同的小球放入缩号为1，2，3，4的四个盒子中，使每个盒子中球的个数不大于其编号，则不同的放法有_____种．
16．产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，在产品中随机抽件做检查，发现件不合格品的概率为，其中是与中的较小者，在不大于合格品数（即）时取0，否则取与合格品数之差（即t=n－（N－M）。根据以上定义及分布列性质，请计算当N=16，M=8时，_____；若，，请计算_____．（用组合数表示）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
为了调在某种脑血管疾病是否与常饮酒有关，在某地随机抽取200个人进行调在，结果如下：
单位：人
饮酒 疾病 合计
患有疾病 未患疾病
常饮酒 20 80 100
不常饮酒 5 95 100
合计 25 175 200
（1）依据的独立性检验，能否判断患有疾病与常饮酒有关；
（2）从患有疾病的25人中任取3人，设不常饮酒的人数为，常饮酒的人数为．求．
附：．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（本小题满分12分）
两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数．
（1）求；
（2）根据样本相关系数们做以及下面所附公式，建立，关于的经验回归方程．
附：，，．
19．（本小题满分12分）
已知展开式的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数们比是．
（1）求展开式中含的项；
（2）求展开式中系数最大项的系数．
20．（本小题满分12分）
某公司有两个食堂，公司的甲、乙、丙三位员工每天中午都在公司食堂用餐，据以往的用餐统计，甲、乙两名员工每天中午在食堂用餐的概率均为，在食堂用餐的概率均为，而丙员工每天中午在食堂用餐的概率为，在食堂用餐的概率为．三人在哪个食堂用餐互不影响．
（1）证明：甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在A食堂用餐的概率与无关；
（2）若，求三人中每天中午在食堂用餐的人数的分布列和数学期望．
21．（本小题满分12分）
端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋．
（1）作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率；
（2）当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
22．（本小题满分12分）
已知函数，且满足．
（1）当时，求的值域；
（2）设，且，求的最大值．
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高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C C D A CD BCD ACD BD
1．C解析：，故，故选C．
［命题意图]该试题考查函数定义域、集合的运算等，是高考必考内容，数学素养方面主要考查认知思维和运算能力．
2．A解析：当时，显然，，∴，该过程不可逆，故选A．
［命题意图]该试题考查充分、必要条件以及不等式的性质，数学素养方面主要考查逆向思维和拓展思维．
3．B解析：由正态分布知，∴，由对称性知，故选B．
［命题意图]该试题考查正态分布，数学素养方面主要考查整体思维和数形结合思想．
4．D解析：图A显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；图B说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；图C显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；图D的残差较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，可见D满足一元线性回归模型对随机误差的假定，故选D．
［命题意图]该试题考查一元线性回归模型对随机误差的假定，数学素养方面主要考查数据分析能力．
5．C解析：∵，∴，∴，故选C．
［命题意图]该试题考查分布列及其性质，数学素养方面考查运算能力与抽象思维．
6．C解析：∵是定义在上的奇函数，且，，总有，∴函数是偶函数，且在上单调递减，在上单调递增．∵为定义在上的奇函数，∴．当时，不等式不成立；当时，原不等式可化为，即，∴，；当时，，即，∴，，综上，原不等式的解集为，故选C．
［命题意图]该试题考查函数的単调性与奇偶性、不等式的解法，数学素养方面主要考查分类思想、等价思想、变换思想与构造思想．
7．D解析：当甲得一本书时，种；当甲得两本书时，种，共24种，故选D．
［命题意图]该试题考查排列与组合，符合近几年高考考查排列组合等知识的命题原则，数学素养方面主要考查分类思维与分析综合能力．
8．A解析：∵函数单调递减，，，∴；；由，得，∵函数单调递减，∴，∴，，故选A．
［命题意图]该试题考查函数的单调性、函数的零点存在定理、基本不等式、方程以及勾股数等知识，也是高考热点问题，考查的内容非常广泛，数学素养方面主要考查学生的跳跃思维与构造思维．
9．CD解析：，故A不正确；，而无解，故B不正确；∵，，
当且仅当，即时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，D正确．故选CD．
［命题意图]该试题考查基本不等式的应用以及等号成立的条件，数学素养方面主要考查转化思维与归纳思维。
10．BCD解析：因为事件和事件可以同时发生，所以与不互斥，不正确；因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，B正确；，，，故C正确，同理D也正确．故选BCD．
［命题意图]该试题考查事件的互斥、相互独立和古典概型等知识，数学素养方面主要考查抽象思维与认知思维．
11．ACD解析：，A正确；，B不正确，，，所以，C正确；，当且仅当，即，时取等号，此时，D正确．故选ACD．
［命题意图]该试题考查二项分布、方差与期望的关系以及基本不等式，数学素养方面主要考查知识的迁移能力与化归思维．
12．BD解析：由已知得是偶函数，且图象关于对称，周期，画出时，的图象并作关于轴对称的图象，用周期将其平移，得到在上的图象，如图．对于A，不妨取，，由图知．，故上不存在两点，使得是正三角形，A不正确；对于B，不妨取，，由图知，只需直线，斜率为±即可，故上存在两点，使得是正三角形，B正确；注意到的图象过点与，，不妨取和，两点连线斜率为1，还可以作一个与图象相切且斜率为1的直线，在这两条直线之间还有无数条，故C不正确；取时，求的零点个数可以看作求函数与图象的交点个数，当时，与图象的交点有9个，则，取时，将的图象向右平移1个单位长度，则当时，交点有9个，时，交点也是9个，时，交点是1个，故，则，故D正确．故选BD．
［命题意图]该试题考查函数图象、奇偶性、零点、存在性问题，数学素养方面主要考查数形结合思想和动态思维。
13．1解析：由已知得，解得，此时的定义域为（小题小做）．
［命题意图]该试题考查函数的奇偶性，是高考常考点，该题在解法得当的前提下比较简单，命题思路也符合高考考查函数奇偶性试题的命制方向，数学素养方面考查运算思维与特值思维．
14．3解析：令，得，令，得，∴．
［命题意图]该试题考查二项式定理中的赋值法求各项系数和，其中特殊的系数需先求出来，数学素养方面主要考查赋值思维与运算能力．
15．9解析：先将每个盒子中放入球，球的个数等于其编号，共放入了10个球，再拿出2个，共有种．
［命题意图]该试题考查组合等问题，数学素养方面主要考查逆向思维与分类思维．
16．（或） （或） 解析：当，，时，，因为，
故．当，时，．
［命题意图]该试题考查组合数的应用，数学素养方面主要考查拓展思维和探索思维．
17．解：（1）零假设为：患有疾病与常饮酒无关．
根据表中数据，计算得到，（4分）
∴依据的独立性检验，我们推断不成立，此推断犯错误的概率不超过0.005，因此认为患有疾病A与常饮酒有关．
（6分）
（2）∵，3．注意到，∴．
（10分）［命题意图]该试题考查独立性检验与超几何分布，数学素养方面考查运算能力和分类能力．
18．解：（1），
代入数据可得．
（2）由已知得，，∵，
∴，
，
∴关于的经验回归方程为．
［命题意图]该试题考查经验回归直线、样本相关系数，是高考常考点，数学素养方面主要考查抽象思维与运算能力．
19．解：（1）由已知得，解得（舍去）．
设展开式中含的项为第项，则，
令，则，故展开式中含的项为．
（2）设展开式中的第项的系数最大，则有
解得，
故展开式中系数最大项的系数为．
［命题意图]该试题考查二项展开式的系数、二项式系数、系数最大项的求法，数学素养方面主要考查方程思想与运算能力．
20．解：（1）设甲、乙、丙三人中每天中午恰有一人在食堂用餐的概率为，
则，
∴甲、乙、丙三人中每天中午给有一人在食堂用餐的概率与无关．
（2）．
，
，
，
，
所以，的分布列为
0 1 2 3
数学期望．
［命题意图]该试题考查相互独立事件的概率、分布列、数学期望，数学素养方面主要考查归纳思维与转化思想．
21．解：（1）设分别表示1，2，3，4号金蛋里有奖品，
设分别表示主持人砸开1，2，3，4号金蛋，
则，且两两互斥．
由题意可知，事件的概率都是，
，，，．
由全概率公式，得．
（2）在主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号金蛋或3号金蛋．
［命题意图]该试题考查条件概率、全概率公式及其变形的灵活应用，尤其是在条件概率的条件与结论互换时的求法，数学素养方面主要考查抽象思维与道向思维．
22．解：（1）当时，，此时，得．
而当时，成立，
∴，当时，，
∴的值域为．
（2）由（1）知，，即．，
而，当且仅当，即时取等号，
∴，∴的最大值为．
［命题意图]该试题考查函数的解析式、定义域、值域、对数的运算法则、基本不等式等知识，数学素养方面主要考查转化思想、迁移思想．