山西省朔州市怀仁市三校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

怀仁市三校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下面是离散型随机变量的是（ ）
A.电灯炮的使用寿命X
B.小明射击1次，击中目标的环数X
C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X
D.一个在y轴上随机运动的质点，它在y轴上的位置X
2.从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，若从甲地到达丙地必须经过乙地，则从甲地到丙地的不同走法的种数为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.12
3.已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A.30 B.60 C.90 D.180
4.的展开式中的系数为（ ）
A.-40 B.-20 C.20 D.40
5.已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A. B. C.或 D.或
6.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，则看不清的数据的值为（ ）
2 3 4 5 6
19 25 40 44
A.32 B.34 C.36 D.38
7.过双曲线的右支上的一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
8.已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某医院妇产科对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（ ）
A.该正态分布的均值为2
B.该正态分布的标准差为4
C.
D.
10.已知向量，则（ ）
A.向量是与向量方向相反的单位向量
B.
C.向量的夹角的大小为
D.若向量（为实数），则
11.甲袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个红球和1个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球 红球和黑球，用表示乙袋取出的球是红球，则以下结论正确的是（ ）
A.两两互斥 B.
C. D.与是相互独立事件
12.已知双曲线的右焦点为，左 右顶点分别为，点是双曲线上异于左 右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.过点有且仅有2条直线与双曲线有且仅有一个交点
B.点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上
C.若直线的斜率分别为，则
D.过点的直线与双曲线交于两点，则的最小值为8
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________.
15.在数列中，，且，则__________.
16.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
某便利店销售草莓，经过市场调研，对连续6天的销售量及销售单价进行统计，销售单价（元）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示：
天 1 2 3 4 5 6
销售单价 18 19 20 21 22 16
销售量 22 20 16 12 10 30
（1）试根据前5天的销售数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过1.2千克，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：.
18.（本小题满分12分）
自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐.某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
手机支付 现金支付 合计
60岁以下 40 10 50
60岁以上 30 20 50
合计 70 30 100
（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
（2）将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差.
参考公式：，其中.
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的大小.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
怀仁市三校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 根据离散型随机变量的定义知，是离散型随机变量.故选B.
2.B 由分步计数原理可知，从甲地到丙地的不同的走法种数为.
3.C ，解得，所以，故选C.
4.D 的展开式中的系数为.
5.D 因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选D.
6.A 因为，将代入，
故.
7.B 设双曲线的左 右焦点分别为.
8.C 当时，，又，所以在上有唯一零点，所以有3个零点，即在上有2个零点，即与的图象有2个交点，如图所示.设切点为，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选.
9.ACD 由正态分布的定义可知，A对，B错，C对，D对.故选ACD.
10.AC 对于选项，由，可得选项正确；
对于选项，由，可得选项错误；
对于选项C，由，有，
可得向量的夹角大小为，可得选项正确；
对于选项，由，
有解得，可得选项错误.
11.AB 对于，由题意可知不可能同时发生，所以两两互斥，所以正确；
对于，由题意可得，所以，所以正确；
对于，所以C不正确；
对于D，因为，所以，所以与不是相互独立事件，所以D不正确，故选.
12.BC 过点垂直于轴的直线 平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有3条，故错误；易得，双曲线的一条渐近线方程为，设点关于的对称点为，所以解得所以，又，故B正确；设，所以，即，所以，故C正确；当直线的斜率为0时，，故D错误.故选.
13.2 .
14. 因为在抛物线内部，又，所以是的中点.设，所以，即，又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以，所以直线的方程为，即.
15. 因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以.
16. 令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，即，即，所以，解得，所以不等式的解集为.
17.解：（1）因为，
，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
18.解：（1）根据题意可得：的观测值，
所以没有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
（2）由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“现金支付”的概率为，
所以的所有可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
19.解：（1）当时，，又，
所以，即.
又数列是等比数列，所以，
当时，，解得，
所以；
（2）由（1）知，，
所以.
20.（1）证明：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，设，
则，解得，即.
则，
设平面的一个法向量为，
则，即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
因为，设平面的一个法向量为，
所以即，令，解得，
所以平面的一个法向量为，
又，所以平面平面；
（2）解：，
所以.
设平面的一个法向量为，
所以，即
令，解得，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则即
令，解得，所以平面的一个法向量为.
，
所以平面和平面夹角的大小为.
21.解：（1）由题意知
解得，
所以椭圆的方程是；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或.
若直线的方程为，不妨设，所以，所以
若直线的方程为，不妨设，所以0，所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
又直线与圆相切，所以，即.设，
由得，
所以，
所以
，所以.
综上，以为直径的圆过原点.
22.（1）解：，
若，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得（舍）或，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：若，要证，即证，即证.
令函数，则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
因为，所以，
即，从而得证.