第22章 二次函数章末整合提升复习课件

课件26张PPT。章末整合提升热点一二次函数的图象与性质 二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、
对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握
这些性质是学好本章的前提和基础．
再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关
系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平
移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函
数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k
加以分析． 【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点，
坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1>y2>y3
C．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
D．y3>y2>y1 解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x＝1.
∵点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数 y＝2(x－1)2
＋m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x＝1 的距离远
近顺序为 C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)，
∴三点纵坐标的大小关系为 y3>y2>y1.
答案：D【跟踪训练】1．二次函数 y＝x2＋2x－5 有()DA．最大值－5
C．最大值－6B．最小值－5
D．最小值－62．抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则下列平移过程正确的是()BA．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原
点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿
x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求点 C，D 的坐标．图 22-1解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)．
设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2.
将 B1 坐标代入，得 a＝1.
所以抛物线的解析式为 y＝(x－1)2.
(2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 y＝x.侧)．抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,1)．热点二二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y ＝ax2 ＋bx ＋c(a≠0) 与一元二次 ax2 ＋bx ＋c ＝
0(a≠0)从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别．当
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 y 值为 0 时，就得到一元二次方程 ax2
＋bx＋c＝0.抛物线与 x 轴是否有交点就取决于一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的根的个数的情况．
当 b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与 x
轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；
当 b2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根，抛物线与 x
轴只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点．【例 2】 已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)．(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值．
思路点拨：(1)根据解析式可知，当 x＝0 时，函数值与 m
值无关，故不论 m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1的图象都经过
y 轴上一个定点(0,1)． (2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与 x 轴有
一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答． 解：(1)当 x＝0 时，y＝1.
所以不论m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y
轴上的一个定点(0,1)．
(2)①当m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个
交点；
②当m≠0 时，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个
交点，则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以(－6)2
－4m＝0，解得 m＝9.
综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个
交点，则 m 的值为 0 或 9.【跟踪训练】34．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_______个．5．已知关于 x 的函数 y＝ax2＋x＋1(a 为常数)．
(1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a的取值范围．解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝x＋1，它的图象显然与 x 轴只有一个交点(－1,0)．当 a≠0 时，依题意，得方程 ax2＋x＋1＝0 有两个相等的实数根．热点三二次函数的综合应用 【例 3】 已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图
象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A，B，点 A 的坐标
是(1,0)
(1)求 c 的值；
(2)求 a 的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线 y＝1 交于 C，D 两点，设 A，
B，C，D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P，记△PCD 的
面积为 S1，△PAB的面积为S2，当0常数，并求出该常数．(1)解：将点 C(0,1)代入 y＝ax2＋bx＋c，得 c＝1.
(2)解：由(1)知：y＝ax2＋bx＋1，将点 A(1,0)代入，
得 a＋b＋1＝0，∴b＝－(a＋1)．
∴二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1.∵二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1 的图象与 x 轴交于不同的两点，∴Δ>0.而Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2，∴实数 a 的取值范围是 a>0 且 a≠1.(3)证明：如图 22-2，∵ 0 图 22-2把 y＝1 代入 y＝ax2－(a＋1)x＋1，得ax2－(a＋1)x＝0，解得x1＝0，x2＝1＋a
a.∴CD＝1＋a
a.∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB
∴S1－S2 为常数，这个常数为 1. 【跟踪训练】
6．如图 22-3，抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶
点为 D(－1，－4)，与 y 轴交于点 C(0，－3)，
与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 AC，CD，AD，试证明△ACD 为直角三角形；图 22-3 (3)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，
使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求
出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.
(2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)，
(－3,0)，由 AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD 为直角三角形．(3)存在点 A(－3,0)，B(1,0)，则|AB|＝4.
抛物线 y＝x2＋2x－3 的对称轴为 x＝－1.
点 E 在抛物线的对称轴上，则过点 E 作 EF∥AB.交抛物线于点 F.要使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形，
则|EF|＝4.设点 F 坐标为(x，y)，则|x＋1|＝4，故 x＝－5 或 x＝3.
当 x＝3 时，y ＝32 ＋2×3－3 ＝9＋6 －3＝12 ，则点 F 为(3,12)．当 x＝3 时，y＝52－2×5－3＝25－10－3＝12.
则点 F 为(5,12)．故存在点 F(5,12)或(3,12)，使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形． 7．如图 22-4，抛物线 y＝(x＋1)2 ＋k 与 x
轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－3)．
(1)求抛物线的对称轴及 k 的值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA
＋PC 的值最小，求此时点 P 的坐标；(3)点 M 是抛物线上一动点，且在第三象限．图 22-4 ①当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB
的最大面积及此时点 M 的坐标；
②当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出
四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标．解：(1)抛物线 y＝(x＋1)2＋k 的对称轴为直线 x＝－1.
∵抛物线 y＝(x＋1)2＋k 过点 C(0，－3)，
则－3＝(0＋1)2＋k, ∴k＝－4. (2)如图 D6，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段
AC 上就可使PA ＋PC 的值最小，又因为点P 要在对称轴上，所
以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 x＝－1 的交点．图 D6由(1)可知，抛物线的表达式为 y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
令 y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得 x1＝－3，x2＝1.
则点 A，B 的坐标分别是 A(－3,0)、B(1,0)．
设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b，则所以直线 AC 的表达式为 y＝－x－3.
当 x＝－1 时， y＝－(－1)－3＝－2，
所以点 P 的坐标为(－1，－2)．(3)①当点 M 运动到抛物线的顶点时，△AMB 的面积最大．
由抛物线表达式 y＝(x＋1)2－4 可知，抛物线的顶点坐标为(－1，－4)．∴点 M 的坐标为(－1，－4)．②方法一：如图D6，过点M 作MH⊥x 轴于点H，连接AM，MC，CB.
点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，x2＋2x－3)，则 方法二：
如图D6，过点 M 作 MH⊥x 轴于点H，交直线AC 于点N，
连接 AM，MC，CB.
点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，
x2＋2x－3)，则点 N 的坐标为(x，－x－3)．
则|MN|＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.
则 S四边形AMCB＝S△ABC＋S△AMC