大石中学2014学年第一学期数学师生共用研学稿
主备人：区汝宁 审核：初三数学备课组 班级 姓名 学号
第二十二章 二次函数（6）
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
研学目标：
探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
2、掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
研学过程：
一、自学指导：
1、函数y＝－4(x－2)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋1图象的开口 、对称轴是 和顶点坐标 ；函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的；当x 时，函数值y随x的增大而增大，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数取得最 值，最 值y＝ 。
2、不画出图象，你能说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
验证：画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
x … …
y＝－x2＋x－ … …
解 列表：
描点，连线：
概括：
对于二次函数（顶点式）y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数），有以下结论
（1）当a ，开口向上；当a ，开口向下；
（2）对称轴是 ；
（3）顶点坐标
2、将二次函数（一般式）y=ax2＋bx+c （a≠0）配方成顶点式
概括：
可以将二次函数（一般式）y=ax2＋bx+c （a≠0）配方成顶点式
（1）当a ，开口向上；当a ，开口向下；
（2）对称轴是 ；
（3）顶点坐标
二、自学训练：
1、 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1） y＝3（x＋2）2＋3； （2） y＝－2（x－2）2－5；
开口 ， 开口 ，
对称轴是 ， 对称轴是 ，
顶点坐标 。 顶点坐标 。
（3） y＝（x＋4）2－3； （4） y＝－（x－2）2＋0.2．
开口 ， 开口 ，
对称轴是 ， 对称轴是 ，
顶点坐标 。 顶点坐标 。
2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y＝x2＋4x； （2） y＝－2x2－4x；
3、如图，曲线是二次函数图象的一部分，那么（ ）
（A） （B）
（C） （D）的正负不能确定
4、二次函数y=-x2 -6x+k的图象顶点在x轴上，则k的值为：
（A）0 （B）-9 （C）9 （D）以上答案都不对
三、堂上检测：
1、将y=2(x-1)2+2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解
析式为：（ ）
（A）y=2x2+5 （B）y=2x2 -1 （C）y=2(x-2)2-1 （D）y=2(x-2)2+5
2、二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（ ）
A. a>0 b<0 c>0
B. a<0 b<0 c>0
C. a<0 b>0 c<0
D. a<0 b>0 c>0
3、先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．
（1） y＝－2（x－1）2＋4； （2） y＝（x＋2）2－5；
解：
（1）开口 ， （2）开口 ，
对称轴是 ， 对称轴是 ，
顶点坐标 。 顶点坐标 。
4、 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y＝2x2＋8x； （2）y＝－4x2＋2x－7；
5、已知抛物线（是常数）．
（1）若抛物线经过点（1，2），求抛物线的解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，并画出函数图象。
y
x
1
-1
O
y
0
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第二十二章 二次函数（3）
22.1.3二次函数的图像和性质
研学目标：
掌握抛物线平移至（是常数，）的规律；
会画这类函数的图象，并掌握这类函数的性质．
研学过程
一、自学指导
1、函数图象开口向 ，与坐标轴的交点为 ，在对称轴的左侧随的增大而 ，在对称轴的右侧随的增大 .当取 时取最 值，值为 .
2、二次函数中，开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .
3、一次函数经过 的变换可得到的图象.
4、验证：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
、、
（1）函数，，的开口方向 （填：相同或不同），对称轴均为 ；当 时，取最 值.
（2）的顶点坐标为（ ， ），的顶点坐标为（ ， ）. 函数
向 平移了 个单位得；的顶点坐标为（ ， ）. 函数
向 平移了 个单位。
性质小结：
（1）、函数，当时，可由函数向 平移 个单位得到；
当时，可由函数向 平移个单位得到.
（2）、函数，图象为 线，其对称轴为 ，顶点坐标为 ；
当时
图象开口向 ，当 时，取最 值，值为 ；当 时随的增大而增大，当 时随的增大而减小；
当时
图象开口向 ，当 时，取最 值，值为 ；当 时随的增大而增大，当 时随的增大而减小.
三、自学练习
1、把函数向上平移3个单位后所得函数为 .
2、函数的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标 ；把该函数向下平移1个单位得函数 ，在平移过程中图象的 不改变.
3、函数y=2x2-3，当x 时，函数值y随x的增大而增大，当x 时，函数值y随x的增大而减小．该函数可由函数 向下平移3个单位得到.
4、函数y=（3x+1）2-2的图像向 ( http: / / www.21cnjy.com ) 平移 个单位后得到的图像对应的函数关系式是y=（3x+1）2+3，
5、函数y=2（x-4）2+2的图像向上平移3个单位后得到的图像对应的
函数关系式是 ，
四、堂上检测：
1、函数y=-2x2的图像向 平移 个单位后得到的图像对应的
函数关系式是y=-2x2+3，
2、函数y=（3x+1）2-5的图 ( http: / / www.21cnjy.com )像向 平移 个单位后得到的图像对应的函数关系式是y=（3x+1）2-4.
3、函数y=2（x-4）2+4的图像向下平移5个单位后得到的图像对应的
函数关系式是 ，
4、函数，开口______，对称轴是_______，顶点坐标 ，当x 时，函数值y随x的增大而减小．该函数可以由函数向 平移 个单位得到.
5、抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧y随x的增大而 ，在对称轴的右侧y随x的增大而 ；该函数可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
6、在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( )
7、若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？大石中学2014学年第一学期数学师生共用研学稿
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第二十二章 二次函数（2）
22.1.2二次函数y= a的图象与性质
研学目标：
1、会用描点法画y= a的图象，并概括出图象的特点及函数的性质。
2、能确定二次函数y= a的图象的顶点、开口方向和对称轴。
研学过程：
一、自学指导：
二次函数的一般形式是 ______________
一次函数y=2x+1的图象是__________，正比例函数y=2x的图象是一条
的 。
用描点法画函数的图象分为________，________，___________三步.
4、画二次函数 y= 和y= -的图象
解：列表
x …. 0 …….
y= …..
y= -
描点，并画图
小结：
二次函数y= 的图象是_______
线，开口方向____,对称轴是___________，
顶点坐标_______；
二次函数y= -的图象是_______
线，开口方向____,对称轴是___________，
顶点坐标_______；
5、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们有何共同点？有何不同点？
（1）y= 2 （2）y=
解：列表
… 0 …
y= 2 … …
y= … …
描点，并画图：
相同点：
两个函数图象都是 ，都以 为对称轴，顶点坐标都是 ，图象开口 ，顶点是抛物线的最 点，在对称轴的左边，曲线自左向右 ，在对称轴的右边，曲线自左向右 。
不同点：
越大，抛物线的开口 。
例2：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们有何共同点？有何不同点？
（1）y= -2 （2）y= -
解:列表
… 0 …
y= -2 … …
y= - … …
描点，并画图：
相同点：
两个函数图象都是 ，都以 ( http: / / www.21cnjy.com ) 为对称轴，顶点坐标都是 ，图象开口 ，顶点是抛物线的最 点，在对称轴的左边，曲线自左向右 ，在对称轴的右边，曲线自左向右 。
不同点：
越大，抛物线的开口 。
小结：二次函数图象与性质：
（a>0） (a<0)
图象（画出草图） y x y x
开口方向 当a>0时，开口 当a<0时，开口
对称轴
顶点坐标
性质 当x>0时，y随着x的增大而 当x<0时，y随着x的增大而 当x=0时，y最小值= 越大，抛物线的开口 。 (1)当x>0时，y随着x的增大而 当x<0时，y随着x的增大而 (2)当x=0时，y最大值= (3) 越大，抛物线的开口 。
二、堂上检测：
1、对于函数，当x>0时，y随着x的增大而（ ）
（A）减小 （B）增大 （C）不变 （D）以上的答案都不对
2、函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
3、函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
4、 二次函数的图象开口向下，则m___________．
5、二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
6、二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
7、如图，抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）
三、课后拓展：
1、当m= 时，抛物线开口向下．
2、二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．大石中学2014学年第一学期数学师生共用研学稿
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第二十二章 二次函数（7）
22.1.4 求二次函数的函数关系式
研学目标：会用待定系数法求二次函数关系式
研学过程：
一、自学指导：
1、二次函数有两种常见的书写形式
（1）形如的形式称为二次函数的 式，顶点坐标为 ，对称轴为 ；
（2）形如的形式称为二次函数的 式；化为顶点式为 ，
顶点坐标为 ，对称轴为 ；
（3）形如的形式称为二次函数的 式；由该式可知抛物线与轴的交点坐标为
2、已知二次函数的顶点坐标是（8，9），它的图象过点（0，1），求这个二次函数的关系式。
3、已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，
4、已知二次函数的图象经过点（1，0）、（2，6）、（5，0），求这个二次函数的解析式。
二、自学训练：
1、 抛物线的顶点是（1，-2），且过点(2，3)，求二次函数关系式。
2、已知抛物线过三点（0，-2）、（1，0）、（2，3），求二次函数关系式。
3、如图，图中是某个二次函数的图象，求二次函数关系式
三、堂上检测：
1、抛物线的图象经过坐标原点，则
2、将抛物线向右平移2个单位后，在向下平移5个单位后所得抛物线顶点坐标
为_______
3、 若抛物线ｙ＝ｘ2－２ｘ＋ｍ与ｘ轴的一个交点是（－２，０），则另一个交点的坐标
是_______，ｍ＝_______．
4、已知二次函数的对称轴是直线x=1, 那么它的顶点坐标是 。
5、抛物线，经过A(-1,0),B(3,0)两点，则这条抛物线的表达式为 :
6、已知抛物线的顶点是原点，且过点（3，-27），求二次函数关系式。
7、已知二次函数的图象经过点（-1，0）、（1，8）、（5，0），求这个二次函数的解析式。
8、右图是二次函数的图象，求a的值
四、课后拓展：
在图中画出适当的直角坐标系，写出A、B、C、三点的坐标，并求过A、B、C三点的二次函数的关系式。
解：如图，建立直角坐标系，则
A的坐标是（ ， ）；
B的坐标是（ ， ）；
C的坐标是（ ， ）；
∴设二次函数关系式为y=
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第二十二章 二次函数（1）
22.1.1二次函数的概念
研学目标：1、区分二次函数与一次函数和反比例函数，了解二次函数的几种常见形式
2、会根据实际问题写出二次函数
研学过程：
一、自学指导：
1、一次函数的解析式设为_______________，其中正比例的解析式设为 ；
2、在以下函数中① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
(1)一次函数有___________________， （2）二次函数有 ；
3、根据上述各二次函数的特征，可将二次函数的解析式表示为y=________________.
二、自学练习：
1、请判断下列函数中哪些是二次函数，若是二次函数则请确定它的二次项、一次项系数及常数项.
① （ ） 其中
② （ ） 其中
③ （ ） 其中
④ （ ） 其中
2、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A B
C D
3、二次函数y=2x2+3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= ；当x= 时，y=0.
4、正方形边长为（cm），它的面积（cm2）是= ，其中二次项系数
为 一次项系数为 .
5、已知正方形的面积为，周长为，与的函数关系式为__________；
这是 次函数，其中二次项系数为 .
6、某超市一月份的营业额是200万元，三月份的营业额为y万元，如果平均每月增长率
是x，则y与x的函数关系式是
7、已知函数是二次函数，则m的值 ．
8、某广告公司中标在某广场设计一个 ( http: / / www.21cnjy.com )周长为20m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2，请写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式
三、堂上检测：
1、（填序号）下列函数中，二次函数有 ，一次函数有
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
2、对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3、二次函数，当= 时，的值为零，当x=0时，y= .
4、已知二次函数，当x=2时，y=8，则a= ，函数解析式为y=
当x=-5时，y= ．
5、若已知一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r的函数关系式为
6、n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
7、 图是一条隧道的截面，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．
求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2）
四、课后拓展：
1、已知二次函数，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝－3．求的值．
2、要用长为20的铁栏杆围成一个一面靠墙面积为矩形菜园，墙长12，设与墙平行的一边长为。
（1）请列出与的函数关系式，并化为一般形式；（2）写出该函数的自变量取值范围.
（3）当取何值时，矩形面积最大.大石中学2014学年第一学期数学师生共用研学稿
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第二十二章 二次函数（5）
22.1.3函数的图象与性质
研学目标：理解函数y=a(x－h)2＋k的性质，确定函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
研学过程：
一、自学指导：
1、填空：
抛物线向 平移 个单位，得到抛物线；
抛物线向 平移 个单位，可以得到抛物线；
抛物线的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到抛物线的图象。
2、探究：
（1）在同一直角坐标系中，画出函数，， 的图象．
x … …
… …
解：
x … …
… …
x … …
… …
（2）根据图象填表
开口方向
对称轴
顶点坐标
（3）抛物线先向 平移 单位，再向 平移 单位可以得到抛物线；当x 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数取最 值，值为 ；
3、总结归纳：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0 直线
a<0
a>0
a<0
a>0
a<0
a>0
a<0
二、自学训练：
填表
函数 大致图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 增减性
直线= 当时，取最 值 . 在轴左侧随的增大而 ；在轴右侧随的增大而 .
直线= 当时，取最 值 . 在轴左侧随的增大而 ；在轴右侧随的增大而 .
直线= 当时，取最 值 . 在轴左侧随的增大而 ；在轴右侧随的增大而 .
直线= 当时，取最 值 . 在轴左侧随的增大而 ；在轴右侧随的增大而 .
三、堂上检测：
1、抛物线的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_________，当=_______时，有最______值=________。
2、把化为的形式，=_________。对称轴是_______，顶点坐标是_______．
3、将抛物线向右平移2个单位后，在向下平移5个单位后所得抛物线顶点坐标为_______。
4、把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
5、将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
6、已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式，画出函数图象，并写出图象的顶点坐标；
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（其中m>n>1），都在该抛物线上，根据函数图象比较y1与y2的大小。大石中学2014学年第一学期数学师生共用研学稿
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第二十二章 二次函数（4）
22.1.3二次函数的图像和性质
研学目标：
1、掌握抛物线平移至（是常数，）的规律；
2、会画这类函数的图象，并掌握这类函数的性质．
研学过程：
一、自学指导：
1、抛物线向 平移 个单位可得抛物线.
2、抛物线向 平移 个单位可得抛物线.
3、猜想：的图象可由的图象向 平移 个单位得到；
4、验证：在同一直角坐标系中，画出函数：
，的图象.
5、观察上图，填写下表：
开口方向
对称轴
顶点
归纳总结：
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
当时随的增大而增大；当时随的增大而减小.
当时随的增大而增大；当时随的增大而减小.
当时，抛物线向 平移 个单位得到抛物线；
当时，抛物线向 平移个单位得到抛物线.
二、堂上检测：
1、如果要得到抛物线，应将抛物线向 平移 单位.
当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大．
当x 时，函数值y有最 值是 ，顶点是 。
2、的图象是由 向右平移4个单位得到
3、将抛物向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ．
4、将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过
点（1，3），求的值．
5、画出函数的大致图象，并求出该函数与轴、轴的交点坐标.
