衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试模拟（二）数学试卷（含解析）

衡阳县第四中学2022-2023学年高二下学期期末考试模拟（二）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12 B.20 C.36 D.120
2、如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是( )
A.0.63 B.0.567 C.0.7 D.0.9
3、同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的方差是( )
A. B. C.1 D.
4、对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
数学 88 83 117 92 108 100 112
物理 94 91 108 96 104 101 106
发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是( )
A.114.5 B.115 C.115.5 D.116
5、的展开式中的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
6、甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )
A.210 B.84 C.336 D.343
7、函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8、甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )
A.甲10张，乙2张 B.甲6张，乙6张
C.甲8张，乙4张 D.甲9张，乙3张
二、多项选择题
9、如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( )
A.这5个家庭均有小汽车的概率为
B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车
D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为
10、千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：
下雨 未下雨
出现 25 5
未出现 25 45
临界值表
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
并计算得到，下列小波对A地区天气判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
11、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.事件B与事件相互独立 D.，，是两两互斥的事件
12、已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含项的系数为45
三、填空题
13、4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
14、在某项测量中，测量结果X服从正态分布.若X在内取值的概率为0.4，则X在内取值的概率为________.
15、设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________.
四、双空题
16、一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为________，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则随机变量的均值________.
五、解答题
17、针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲、乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.
（1）根据题中数据，完成下面的列联表；
产生抗体 未产生抗体 合计
甲
乙
合计
（2）根据（1）中的列联表，判断能否有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18、PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量x（万辆） 50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79
（1）请根据表格数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出散点图；
（2）根据表格数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；
（3）若周六同一时间的车流量是25万辆，试根据（2）中求出的回归直线方程预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）.
19、如图是高尔顿板的改造装置示意图，小球从入口处自由下落，已知在下落过程中，小球遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入A袋的概率；
（2）在入口处依次放入4个小球，设落入A袋中的小球个数为，求的分布列.
20、某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为，若从该批产品中任意抽取3件.
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数X的分布列与均值.
21、十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为，求.
附参考数据：，
若随机变量X服从正态分布，则
，
，
.
22、已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：利用分步乘法计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法.因此不同的插法共有20种.故选：B.
2、答案：C
解析：清明节当天下雨为事件A，第二天下雨为事件B，
，，
则.
故选：C.
3、答案：B
解析：同时抛掷2枚质地均匀的硬币，
恰好出现两枚正面向上的概率，
所以2枚硬币均正面向上的次数，
所以X的方差.
4、答案：B
解析：由题意可知，
，
因为回归直线经过样本中心，
所以，
解得，
线性回归方程为，
该生的数学成绩达到130分，
估计他的物理成绩大约是：.
故选：B.
5、答案：A
解析：展开式中含的项可以由“1与”和“与x”的乘积组成，
则的系数为.
6、答案：C
解析：由题意知本题需要分组解决，
因为对于7个台阶上每一个只站一人有种；
若有一个台阶有2人另一个是1人，则共有种，
所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是种.
7、答案：C
解析：由，得.
令，则，
所以在上单调递减.
又，，
所以存在，使得，
所以当时，，；
当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：C.
8、答案：D
解析：由题意知，继续比赛下去，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，所以甲应分得张牌，乙应分得张牌.
故选：D.
9、答案：ACD
解析：由题得小汽车的普及率为，
A.这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；
B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率，
所以该命题是假命题；
C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；
D.这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为，所以该命题是真命题.
故选：ACD.
10、答案：ABC
解析：对于选项A：因为夜晚下雨的天数一共有（天），所以夜晚下雨的概率约为，故A正确；
对于选项B：未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共（天），所以未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，故B正确；
对于选项C：因为，所以有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11、答案：BD
解析：由题意，，是两两互斥的事件，
，，，
，故B正确；
，，
，
故AC不正确；
，，是两两互斥的事件，故D正确.
故选：BD.
12、答案：BCD
解析：因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等；
所以；
因为展开式的各项系数之和为1024，
所以；
因为；
所以.
原二项式为；
其展开式的通项公式为：；
展开式中奇数项的二项式系数和为：；
故A错；
因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对；
令，即展开式中存在常数项，C对；
令，，D对.
故选：BCD.
13、答案：36
解析：将4名同学分成人数为2，1，1的3组，有（种）分法，再将3组同学分到3个小区，共有（种）分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有（种）.
14、答案：0.8
解析：如图，易得，
故.
15、答案：0.8
解析：中途停车修理，
：经过的是货车，
：经过的是客车，
则，
由贝叶斯公式有
.
16、答案：5；
解析：依题意，设白球个数为x，
至少得到一个白球的概率是，
则不含白球的概率为，
可得，
即，
解得，
依题意，随机变量服从超几何分布，
其中，，，
所以.
17、答案：（1）见解析
（2）有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异
解析：（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，
则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为；
注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为.
产生抗体 未产生抗体 合计
甲 48 2 50
乙 42 8 50
合计 90 10 100
（2）计算，
因为，所以有95%的把握认为甲、乙两种疫苗的效果有差异.
18、答案：（1）
（2）
（3）37微克/立方米
解析：（1）散点图如图.
（2）因为，
.
，
，
所以，
，
故y关于x的回归直线方程为.
（3）当时，，
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37微克/立方米.
19、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）记“小球落入A袋中”为事件A，
记“小球落入B袋中”为事件B，
则事件A的对立事件为B，
而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故，
从而.
（2）可能的取值为0，1，2，3，4.
；
；
；
；
.
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
P
20、答案：（1）
（2）见解析
解析：设该批产品中次品有x件，由已知，
.
（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为
.
（2）可能为0，1，2，
，
，
.
的分布列为
X 0 1 2
P
则.
21、答案：（1）17.40
（2）14.77；977.3
解析：（1）
（千元），
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元.
（2）由题意知，
①，
所以时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元.
②由，
每个农民的年收入高于12.14千元的事件的概率为0.9773，
则，其中，
所以.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
.
，
切点坐标为，
函数在点处的切线方程为，
即，
切线与坐标轴交点坐标分别为，，
所求三角形面积为；
（2）解法一：，
，且.
设，则，
在上单调递增，
即在上单调递增，
当时，，
，
成立.
当时，，
，
，
存在唯一，
使得，
且当时，
当时，
，
，
因此
，
，
恒成立；
当时，
，
，不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是.
解法二：
等价于
，
令，
上述不等式等价于，
显然为单调增函数，
又等价于，
即，
令，
则，
在上，单调递增；
在上，单调递减，
，，
即，
的取值范围是.