2022~2023 学年下学期大理州普通高中质量监测
高二数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B D B A
【解析】
1．由 A {x | log2 x≤0} {x | 0 x≤1}，集合 B {x | x2≤4} {x | 2≤x≤2}，则 A B (0，1]，
故选 A．
2．由 1 i 和1 i 对应的点分别为 ( 1，1)和(1， 1) ，故两点之间的距离为 2 2 ，故选 D．
3 a ．由 ，b 为单位向量，且 (a b) (a 3b) ，则 (a
b) (a 3b) | a |2 3 | b |2 2a b
2 2cos a，b 0 ，故 a ，b π，故选 C．
1
4．∵正六棱台的上下底面边长分别为 1 和 2，则 S 6 1 3 3 31 1 1 ，S2 6 2 2 2 2 2 2
3 1
6 3 ，故V (S1 S1S2 S2 )h
1 3 3 21
3 3 6 3 3 ，故选 C.
2 3 3 2 2
5．从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选 2 人的基本事件有 (甲、乙 )， (甲、丙 )， (甲、丁 )，
(甲、戊 )， (乙、丙 )， (乙、丁 )， (乙、戊 )， (丙、丁 )， (丙、戊 )， (丁、戊 )，共
10 种，甲被选中的基本事件有 (甲、乙 )， (甲、丙 )， (甲、丁 )， (甲、戊 )，共 4 种，
P 4 2所以甲被选中的概率为 ，故选 B．
10 5
π
6．对于函数 f (x) cos( x )
，设 T 为 f (x)的最小正周期. 又 f 0，对任意的 x 都有
10
2 π π 2k 1
f (x) f 2 π 2π≤ ，则 π T ，k N，故T ，从而 2k 1，k N ；
5 5 10 2 4 2k 1
f π 0 0 π π π 3π0 2 ，故 1 ；当 1 时， ， ，故 ， ，
10 10 2 5
f (x) cos x 3π f 2π 3π
，
5
1， f 1，故选 D．
5 5
数学参考答案·第 1 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
7．取 BC 的中点O，连接 AO，OP，由题可得 BC 2， AO BO CO PO 1，则O是三棱
锥 P ABC 外接球的球心，三棱锥 P ABC 外接球的半径为 1，故三棱锥 P ABC 外接球
的表面积为 4π 12 4π，故选 B．
1 4 8．因为 sin 3 sin(π 3) π 3 e 5 ，故 a b c ，故选 A．
5
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD AC ABC
【解析】
9．由 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， S5 5， a4 3 ，设该等差数列公差为 d ，则 S5 5a1
10d 5， a4 a1 3d 3，解得 a1 3，d 2， an 2n 5， S n2n 4n，故选 BC．
10．对于 A，∵(0.005 0.010 0.015 x 0.040) 10 1，∴x 0.030 ，A 正确；对于 B，平
均成绩为 55 0.05 65 0.1 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84 ，B 错误；对于 C，由于
0.05 0.1 0.15 0.3 0.5，故中位数小于 90，C 错误；对于 D，由题意得，D 正确，故
选 AD.
11．将 A(1，2) 代入抛物线 C 中，得 p 2 ，则抛物线 C 为 y2 4x ，故抛物线 C 的准线方程为
x 1，故 A 正确；当过抛物线 C 的焦点且与 x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为 4，故 B
y2 y2
错误；设直线 MN x my n M 1为 ， ，y1 ， N 2 ，y2 ，联立抛物线可得，
4 4
y2 4my 4n 0 ，∴ y1 y2 4m， y1y2 4n . ∵AM AN ，∴AM AN
y2 y2 (y2 2
1 1，y 2 2 1，y 2 1
4)(y2 4)
1 2 (y1 2)(y2 2) 0 ，∵ y1 2，y2 2 ，
4 4 16
∴(y1 2)(y 2) 0
(y1 2)(y 2)
2 ，∴
2 1 0 ，化简整理可得， y y 2(y y )
16 1 2 1 2
1 | 4m 4 |
20 0 ，∴ 4n 8m 20 0 ，得 n 2m 5
2 2
，S△AMN m 1 16m 32m 802 2 m 1
8 (m 1)2[(m 1)2 4]，∴直线 MN 为 x m(y 2) 5，∴直线 MN 过定点 P(5， 2) ，
故 C 正确；若直线 MN 过点 (1， 1)，直线 MN 为 x 4y 3 0 ，此时三角形 AMN 的面积
为 24 13 ，故 D 错误，故选 AC．
数学参考答案·第 2 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
12．由 g(x 1) 为偶函数得 g(x 1) g( x 1) ，可得 g(x) 关于 x 1对称，故 A 正确；因为
f (x 1) g(1 x) 2 ， 所 以 f (x 1) g (1 x) 0 ， 所 以 f (x 1) g (3 x) 0 . 又
f (x 1) g (x 1)，所以 g (x 1) g (3 x) 0 ，故 g (2 x) g (2 x) 0 ，所以函数 g (x)
的图象关于点 (2，0)对称，故 B 正确；因为 f (x 1) f ( x 1) 0，所以 f (x) f ( x) ，
故 D 错 误 ； 因 为 f (x 1) g (x 1) ， 所 以 [ f (x 1) g(x 1)] 0 ， 所 以
f (x 1) g(x 1) c ，c 为常数，因为 f (x 1) g(1 x) 2，所以 f (x 1) g(3 x) 2，
所 以 g(x 1) g(3 x) 2 c ， 取 x 1， 可 得 c 2 ， 所 以 g(x 1) g(3 x) . 又
g(x 1) g( x 1) ，所以 g(3 x) g( x 1) ，所以 g(x 2) g(x)，故 2 为函数 g(x) 的
周期，故 C 正确，故选 ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
8 1
答案 27 2 2 0，
e2
5
【解析】
13．由题意得高二学生人数为 2800 0.32 896 ，高三学生人数为896 112 1008，高三抽取
1008
的人数为 75 27.
2800
14．圆 x2 y2 2x 2 0 的圆心为 ( 1，0)，半径为 3 ，圆心到直线 x 3y 1 0 的距离为
| 1 0 1|
1，则 | AB | 2 3 1 2 2.
2
2 2 2x(2 x)
15． 2x2
2x 2x
3 aex 3 ，得 a x ，设 h(x) x ，则 h (x) e e ex
，由 h (x) 0，可得
0 x 2，由h (x) 0，可得 x 2或x 0 ，∴h(x) 在(0，2)上单调递增，在( ，0)，(2， )
上单调递减，h(0) 0，h(2)
8
， lim h(x) ， lim h(x) 0
e2 x x
，∴实数 a 的取值范围
为 0
8
， 2 . e
16．设内切圆半径为 r，取线段 AF1 的中点 N，3MF1 2MF2 MA 0，所以 2MO MN ，则
S S S S | AF | r | AF | r a
| MN | 2 | MO | △AMF1 2 △AMF2 3 △AMF1 △AMF2 1 2，S ， ，又
5
△MF F S△MF F S△MF F | F F | r c
，
1 2 1 2 1 2 1 2
e 1∴ .
5
数学参考答案·第 3 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
（Ⅰ）证明：因为 an 1 2an 1，
所以 an 1 1 2(an 1). ………………………………………………………………（2 分）
因为 a1 1 2，
∴数列{an 1}为首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴a n nn 1 2 ，即：an 2 1. …………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知： an 2
n 1，
∴S (21 22 2nn ) n，
S 2(1 2
n ) n 1
n n 2 2 n. ……………………………………………………（10 分） 1 2
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 (a b c)(a b c) 3ab ，
所以 a2 b2 c2 ab ， ……………………………………………………（2 分）
2 2 2
所以 cosC a b c 1 . ……………………………………………………（4 分）
2ab 2
又 0
π
C ，
2
π
则C . …………………………………………………………………（6 分）
3
0
π
B ，
2
（Ⅱ）因为△ABC 为锐角三角形，且
0 π B π π ，
3 2
π
得 B
π
， ……………………………………………………………………………（8 分）
6 2
sin 2π B 3 cos B
1
sin B
所以 sin A 3 2 2 3 1 tan B. ………………………（10 分）
cos B cos B cos B 2 2
3 2 3
因为 tan B ，
sin A
，所以 的取值范围为 ， .……………………（12 分）
3 cos B 3
数学参考答案·第 4 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
19．（本小题满分 12 分）
4 3
解：记“甲选手正确回答第 i 轮问题”为事件 Ai (i 1，2，3) ，则 P(A1) ， P(A5 2
) ，
4
P(A 23 ) . 3
2 2 1
“乙选手正确回答第 i 轮问题”为事件 Bi (i 1，2，3) ，则 P(B1) ，P(B2 ) ，P(B ) . 3 3 3 2
（Ⅰ）甲选手进入第三轮才被淘汰的概率为
P(A A A ) P(A 4 3 2 11 2 3
1)P(A2 )P(A3 ) 1 5 4 3
. ……………………………（6分）
5
（Ⅱ）至少有一名选手通过全部考核的概率为1 (1 P(A1A2 A3 )) (1 P(B1B2B3 ))
1 1 4 3 2 1 2 2 1 8 . ………………………………………………（12 分）
5 4 3 3 3 2 15
20．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：因为CC1∥AA1 ， AB AA1，所以CC1 AB.
连接 AM，AC1，由题意知△ACC1是等边三角形，点 M 为棱CC1 的中点，所以CC1 AM .
又 AB， AM 平面 ABM， AB AM A，
所以CC1 平面 ABM . ……………………………………………………………（4 分）
又 AT 平面 ABM ，所以CC1 AT . …………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）解： AB CC1，又 AB BC ，
且CC1 ， BC 平面 B1BCC1 ，CC1 BC C ，所以 AB 平面 B1BCC1.
在等边三角形 ACC1中， AC 2 3 ，于是 AM 3，
①若点 T 恰好为点 B，
π ，从而 sin 1； ……………………………………………………（9 分）
2
②若点 T 不为点 B， ATB，
AT AB2 BT 2 ( 3，3] ，∴sin
AB 3
，1 ， AT 3
3
综上所述，sin 的取值范围为 ，1 . …………………………………………（12 分）
3
数学参考答案·第 5 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）曲线 C 的虚轴的端点与其焦点的距离为 2 7 ，
a2 4， a2 4，
2 2 2
所以 b c 28，即 b 12， ……………………………………………………（5 分）
a2 b
2 c2 ， c
2 16，
x2 y2
则所求的双曲线C 的方程为 1. …………………………………………（6 分）
4 12
（Ⅱ）因为直线 l：x my t 0 过点 F2 (4，0) ，所以 t 4 ，
由 |MF1| |F1F2 | 8， | MF1 | | MF2 | 2a 4，
得：等腰三角形 F1MF2 底边MF2 上的高的大小为 2 15 ，……………………………（9 分）
tan MF2F1 15 ，
1
即 15 15 15m ，则m ，故 l：x y 4 0.…………………………………（
12 分）
15 15
22．（本小题满分 12 分）
2
解：（Ⅰ）由题意知函数 f (x) 的定义域为 (0， ) f (x) 2x a 2x a， (x 0)，
x x
当 a≥0时， f (x) 0 在 (0， )上恒成立，
故 f (x) 在 (0， )上单调递增； ……………………………………………………（3 分）
当 a 0 时，由 f (x) 0 0 x 2a 2a，得 ，由 f (x) 0 ，得 x ，
2 2
2a
所以 f (x)
2a
在 0， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
2 2
综上，当 a≥0时， f (x) 在 (0， )上单调递增；
2a 2a
当 a 0 时， f (x) 在 0， 2 上单调递减，在
， 上单调递增.
2
……………………………………………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）当 a 2 时， f (x) x2 2ln x 在 (0，1)上单调递减.
不妨设 x1 x2 ，则 x21 x
2
2 且 f (x1) f (x2 )，
f (x2 ) f (x ) ∴ 12 2 x x x21 2 1 x
2 ，
2
数学参考答案·第 6 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}
∴ f (x2 ) f (x )
1 1
1 x2
，
2 x
2
1
f (x 1 1∴ 2 ) 2 f (x1) x x2 . ……………………………………………（8 分） 2 1
令 g(x)
1
f (x) 2 ，则 g(x2 ) g(x1) ， x
∴g(x) 在 (0，1)上单调递增，
2x2
∴g (x) 2 2 ≥ 0，在 (0，1)3 上恒成立， …………………………………（10 分） x x
∴ ≥ x2 (x2 1)在 (0，1)上恒成立.
1
令 t
x2 (0，1) ，则 t(t 1) 0， ，
4
1
∴ ≥ ，
4
1
故实数 的取值范围为 ， . …………………………………………………（12 分） 4
数学参考答案·第 7 页（共 7 页）
{#{QQABJYYAggiIQAAAAQACEwEACgIQkgECAKgGRAAUsEAAyQFABCA=}#}【考试时间：7月7日08：00~10：00】
2022~2023学年下学期大理州普通高中质量监测
高二数学试卷
(全卷四个大题，共22个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟)
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在
答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答
无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={xlog2x≤0}，集合B={xx2≤4}，则AnB=
A.(0,1]
B.(0,2]
C.[-2,1]
D.[-2,2]
2.已知i是虚数单位，在复平面内，复数-1+i和1-i对应的点间的距离是
A.0
B.1
C.2
D.2w2
3.已知a,b为单位向量，且(a+i)1(a-36),则d与五的夹角为
A君
B开
C.m
D.0
4.某种应用于合成孔径成像设备中的多光束合成器件如图1所示，利用该方法制作的光
束合成器具有加工周期短，成本低等优势.其外形可近似为一个正六棱台，已知其上
底面边长为1，下底面边长为2，高为√3，则其体积为
2
B号
21
C.
2
图1
93
乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为
5
B号
c
4
D.
5
数学·第1页（共4页)
6已知函数fx)=cos(ax+p),其中0
则下列说法错误的是
3π
A.w=1
B.p=5
c-1
D.f(-）=-1
7.在三棱锥P-ABC中，AC⊥AB,AB=√5，AC=1,PA=PB=PC=√2，则三棱锥P-ABC
外接球的表面积为
A.2m
B.4π
C.8m
8若a=如3，b=5,c=6首，则
A.aB.aC.bD.b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有
多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=5,a4=3，则
A.a=n-1
B.a=2n-5
C.S=n2-4n
D.S=2n2-9n
10.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分
布直方图如图2所示，则下列说法正确
频率
组距
的是
0.040
A.直方图中x的值为0.030
B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数
为85分
0.015
0.010
C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数
0.005
九
为90分
0
5060708090100成绩
D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为
图2
95分
11.过抛物线C:y2=2x上一点A(1,2)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点
分别为M,N,则
A.C的准线方程是x=-1
B.过C的焦点的最短弦长为2
C.直线MN过定点(5，-2)
D.若直线MN过点(1，-1)，则△LMN的面积为24
12.设定义在R上的函数f(x)和g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x+1)
g(1-x)=2,f'(x-1)=g'(x+1),且g(x+1)为偶函数，则下列说法一定正确的是
A.g(x)的图象关于x=1对称
B.g'(x)的图象关于(2,0)对称
C.2为函数g(x)的周期
D.f'(x)为偶函数
数学·第2页（共4页）