湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

浏阳市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. D.
3. 若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 今天是星期四，经过天后是星期（ ）
A. 二 B. 三 C. 四 D. 五
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 88 B. 104 C. －24 D. －40
7. 设随机变量，若，则（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
8. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A. 60种 B. 78种 C. 84种 D. 144种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. 特值法就是选取一个恰当的特殊值代替一般的情况，将复杂或抽象的问题简单化具体化的方法，例如：若是定义域为的奇函数，且是偶函数，，则可以选择，由此计算出结果.已知函数是定义域为的偶函数，且，是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
10. 双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（ ）
A. 3 B. C. D.
11. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.053
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：______.
14. 已知，若，则______.
15. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为______.
16. 埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为______.（注：球壳厚度不计）.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）已知的内角A、B，C所对的边分别为a、b、c，且.
（Ⅰ）求角A的值.
（Ⅱ）若的面积为，且，求a的值.
18.（本小题12分）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
19.（本小题12分）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（本小题12分）设函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）若，求不等式的解集.
21.（本小题12分）某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，t均为常数，e为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：
20 66 770 200 460 4.2
3125000 21500 0.308 14
（1）设u和y的样本相关系数为，x和v的样本相关系数为，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程；
（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？
参考数据为，，.
相关系数.
22.（本小题12分）某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
理工迷 非理工迷 总计
男 24 36 60
女 12 28 40
总计 36 64 100
（1）根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计的值.
（3）现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数X的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
浏阳市2022-2023学年高二下学期期末考试
参考答案（高二数学）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.
9. ACD 10. CD 11. BC 12. BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 31 14. －1 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（Ⅰ）由，得，即，
∵，∴，……2分
又，∴，故.……4分
（Ⅱ）由面积，得，……6分
又，
∴，，……8分
由余弦定理，
∴.……10分
18. 解：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；（3分）
（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；（6分）
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；（9分）
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有4440种不同排法.……12分
19. 解：（1）证明：取BC的中点O，连接OA，在正三棱柱中，不妨设，；以O为原点，，分别为x轴和y轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，，；……2分
设平面CEF的一个法向量为，则，，
取，则，，即；……3分
设平面的一个法向量为，则，
即，取得.……4分
因为，所以平面平面；……6分
（2）因为，由（1）可得，即，……7分
易知平面的一个法向量为，……8分
；……10分
二面角的余弦值为.……12分
20. 解：（1）函数，
由不等式的解集为，得，……1分
且1和2是方程的两根；
则，
解得，；……5分
（2）时，不等式为，可化为，则
当时，不等式为，解得；……6分
当时，不等式化为，令，得，
当时，，解不等式得或；……7分
当时，不等式为，解得；……8分
当时，，解不等式得或；……9分
当时，不等式化为，且，
解不等式得；……10分
综上知：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.……12分
21.（1），
，
因为，所以从样本相关系数的角度判断，模型的拟合效果更好.……4分
（2）（i）先建立v关于x的经验回归方程.
由，得，即.
，
，
所以v关于x的经验回归方程为，
所以，即.……8分
（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，则由，得，
又，所以，所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元.……12分
22.（1）提出假设：“理工迷”与性别无关.
则，而，
根据的独立性检验，可以推断成立，所以认为理工迷与性别无关.……3分
（2）因为，
所以估计的值为.……7分
（3）按照分层抽样，男生抽取人，女生抽取人，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，……8分
所以，，，……11分
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
则.……12分