湖北省黄冈市黄州中学（黄冈外校）2022-2023学年高一下学期第七次阶段性测试数学试卷（Word版含答案）

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2023年黄州中学（黄冈外校）高一第二学期第七次阶段性测试
数学试卷
2023年6月8日 考试范围：第六章-第八章；考试时间：120分钟；联合命题：黄冈袭明卓越教育中心
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列命题正确的为( )
A. 两条直线确定一个平面
B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D. 若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
3. 将一个无盖正方体盒子的表面展开后如图所示，则AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面且所成的角为 D. 异面且所成的角为
4. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是( )
A. 4 B. C. D. 16
5. 如图，在正三棱柱中，若，，点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为( )
A. 1 B. 2 C. D.
6. 如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在正方形ABCD中，，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点.则的最大值为( )
A. 4 B. 5 C. D.
8. 任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点O是该六角星的中心，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，已知，A，，B，，且A，B，C，，M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列结论一定成立的是( )
A. 当直线AC与BD相交时，交点一定在直线l上 B. 当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行
C. 当A，B，C，D四点共面且时， D. 当M，N两点重合时，直线AC与l不可能相交
10. 已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数为单位复数，复数为伴随复数，复数为目标复数，目标复数的实部和虚部分别为实部函数和虚部函数，则正确的说法有( )
A.
B.
C. 若，则，
D. 若，且，则锐角x的正弦值
11. 如图，正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 平面 B. 平面MAC
C. 异面直线与AC所成的角为 D. 平面ABCD
12. 下列选项中正确的是( )
A. 若平面向量，满足，则的最大值是
B. 在中，，，O是的外心，则的值为
C. 函数的图象的对称中心坐标为
D. 已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知平面向量，，若，则__________.
四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则EFGH是__________形填四边形的形状
已知，且，i为虚数单位，则的最大值是__________.
如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________.
14. 在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着原点O按逆时针方向旋转得到向量
求点C对应的复数
已知点B对应的复数z满足，且，，求复数
15. 如图，在长方体中，E，F分别是线段，BC的中点.
证明：平面
若，直线EF与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
16. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为
已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
求角
若，求的面积的最大值.
17. 已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为
试用r表示圆柱的表面积
若圆柱的体积为，求点D到平面的距离.
18. “中国齐云山国际养生万人徒步大会”得到了国内外户外运动爱好者的广泛关注，为了使基础设施更加完善，现需对部分区域进行改造.如图，在道路北侧准备修建一段新步道，新步道开始部分的曲线段MAB是函数，，的图象，且图象的最高点为中间部分是长为1千米的直线段BC，且新步道的最后一部分是以原点O为圆心的一段圆弧
试确定，的值
若计划在扇形OCN区域内划出面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形一边EF紧靠道路MN，顶点Q落在半径OC上，另一顶点P落在圆弧CN上.记，请问矩形EFPQ面积最大时应取何值，并求出最大面积
19. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC内的射影恰好是点C，又点D是AC的中点，且满足
求证：平面
已知，直线与底面ABC所成角的大小为，求二面角的大小.
答案
【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】D
7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】ACD 10.【答案】AD 11.【答案】ABC
12.【答案】ABD
13.【答案】（1）0； （2）菱； （3）6；（4）
14.【答案】解：（1）因为点A对应的复数是，向量绕着原点O按逆时针方向旋转120°得到向量，
所以；
（2）因为点B对应的复数z满足，且，而，
所以向量对应的复数，
或，
∴或，
∴或.

15.【答案】（1）证明：设G为AB的中点，连接EG，FG，
则EG∥AA1，FG∥AC，
又EG 平面AA1C1C，FG 平面AA1C1C，AA1，AC 平面AA1C1C，
所以EG∥平面AA1C1C，FG∥平面AA1C1C，
又EG∩FG=G，EG、FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AA1C1C，又EF 平面EFG，
所以EF∥平面AA1C1C；
由知，是异面直线与所成角，所以．
在中，因为，，所以．
因此．
16.【答案】解：（1）选①，由，
得，
又.
选②，由正弦定理得，即，
又.
选③，
由正弦定理可得2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，
因为A∈（0,π），所以sinA≠0，
所以cosC=,
又.
（2），
，当且仅当时取等号，
，
当时最大值为.
17.【答案】解：（1）∵O1A与母线所成的角为30°，AO=r，所以O1O=r，
圆柱的表面积S=2πr2+2=2（+1）πr2，
故圆柱的表面积S=2（+1）πr2；
（2）∵圆柱的体积为9π，∴，∴r=．
=××=3,
中，,
∴由余弦定理知，
∴,
∴=，=，
∴，即点D到平面O1AB的距离为.
故点D到平面的距离为.
18.【答案】解:(1)因为,
所以,得,
又图象过A(-1,2)，
所以，得，
又,
所以;
(2)由(1)知，交y轴于,
又BC=1,BC∥MN,
所以 ,
又,
所以
,
所以
=
,
又,
所以时,，此时矩形EFPQ面积最大为km2.

19.【答案】证明:(1)因为点在底面ABC内的射影恰好是点C,
所以C底面ABC,
又因为AB底面ABC,
所以CAB.
在ABC中,因为D是AC的中点且DA=DB,
所以ABC是直角三角形,即ABBC,
因为CBC=C，又C，BC平面，
所以AB平面，
(2)因为C底面ABC,且直线与底面ABC所成角的大小为,
所以BC=,
因为
所以C=.
过点B作平面ABC的垂线即C的平行线BE,
以B为坐标原点,，,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(0,0,0),D(,,0),C(1,0,0),(1,0,),(2,0,),
所以=(,,0),=(2,0,).
设平面的法向量=(x,y,z),
则
令z=-2,解得x=,y=-1,此时=(,-1,-2).
显然是平面BCD的一个法向量,=(0,0,)
因为<,>===-.
由图可知二面角C-BD-是锐角,
因此二面角C-BD-的大小为.