2022～2023 学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题
C A B C A C D C
二、选择题
9. BCD 10. ACD 11. BC 12. BCD
三、填空题
5
13.如： ln x （答案不唯一） 14. a ≥ 1 e 15.[0, ) 16. 2，
3 11
四、解答题
17.解：（1）当a = 1时， A ={x | 2 < x < 3}, B ={x | 5 ≤ x ≤ 2}. ············ 3 分
所以 A B ={x | 2 < x ≤ 2}； ··················································· 4 分
（2）因为 A B = B ，所以 A B . ················································ 5 分
当 A = ，即a 3 ≥ 2a +1,a ≤ 4时，满足题意； ·························· 7 分
a > 4
1
当 A ≠ 时， 2a +1≤ 2 ，所以 2 ≤ a ≤ . ································ 9 分
2 a 3 ≥ 5
1
综上，实数a 的取值范围是 ( ∞, 4] [ 2, ]. ······························· 10分
2
2
18.解：（1） f ′(x) = 3ax + 2bx + 2， ················································· 2 分
因为1和2 是方程3ax2 + 2bx + 2 = 0的两个根，
1 2b所以 + 2 = ,1×2 2= ， ····················································· 4 分
3a 3a
所以a 1 ,b 3= = . ·································································· 6 分
3 2
（2）由题意，当 x ≤ 0 时， g′(x) = f ′(x) > 0，所以 g(x) 单调递增. ········ 7 分
因为 g(x)是定义在R 上的奇函数，所以当 x ≥ 0 时， g(x)单调递增，··· 8 分
所以 g(x)在R 上单调递增. ························································· 9 分
于是 g(2x 3) + g(x) > 0转化为 g(2x 3) > g(x) = g( x)， ·········· 10分
于是2x 3 > x，所以 x > 1，
所以不等式的解集为 (1,+∞) . ······················································ 12分
19.解：（1） f'(x)=aex + b ，因为 f (x) 在 x = 0 处取得极小值0 ，
所以 f (0) = a 1= 0， f'(0)=a + b = 0， ········································ 2 分
解得a =1,b = 1 x，所以函数 f (x) = e x 1， ································ 3 分
f'(x)=ex 1， k = f ′(1) = e 1， f (1) = e 2 , ·································· 4 分
高二数学答案（第 1 页，共 4 页）
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所以，切线方程为 y = (e 1)x 1. ··················································· 6 分
（2）设 g(x) = f (x) + f (2x) 3x = ex + e2x 6x 2 ，则m ≤ g(x)min . ······ 7 分
因为 g'(x) = ex + 2e2x 6 = (ex + 2)(2ex 3) . ···································· 8 分
g'(x) 0 x ln 3 x 3令 = ，得 = ，当 > ln 时， g'(x) > 0， g(x) x ln 3单增；当 < 时，
2 2 2
g'(x) < 0， g(x) 单减； ······························································· 10分
x 3 3 7 3所以 = ln 时， g(x)min = g(ln ) = 6ln ， ····························· 11分 2 2 4 2
所以m 7≤ 6ln 3 . ····································································· 12分
4 2
x > 0 f ′(x) 1 ax 120.解：(1)易知 ， = a = ， ································· 1 分
x x
当 a ≤ 0 时， f ′(x) < 0，函数 f (x) 在 (0,+∞)上单调递减； ··················· 3 分
当 a > 0时，x∈ (0, 1)时，f ′(x) 1< 0，f (x) 单调递减，x∈ ( ,+∞) 时，f ′(x) > 0，f (x)
a a
单调递增. ··················································································· 5 分
综上，当a ≤ 0 时，函数 f (x) 在 (0, 1+∞)上单调递减；当a > 0时， f (x) 在 (0, )上单调
a
(1递减，在 ,+∞)上单调递增； ······················································· 6 分
a
1
（2）由（1）可知，当0 < a <1时， f (x) 在 x = 处取得最小值1+ ln a ， ·· 7 分
a
若 x∈ (0,+∞)，使得 f (x) < 3a a2 ln 2，只需a2 3a +1+ ln a + ln 2 < 0 .
令 g(a) = a2 3a +1+ ln a + ln 2，
g′(a) 2a 3 1 (2a 1)(a 1)由 = + = ， ········································· 8 分
a a
1
可得，当a∈ (0, ) 时， g′(a) > 0， g(a) 1单调递增，当a∈ ( ,1)时， g′(a) < 0，
2 2
g(a) 单调递减， ···································································· 10分
1 1 1 3 1 1
故当a = 时， g(a)
2 max
= g( ) = +1+ ln + ln 2 = < 0 .
2 4 2 2 4
所以， x∈ (0,+∞)，使得 f (x) < 3a a2 ln 2 . ····························· 12分
21.解：（1）由题意可知，当 x∈[0, 40]时， y = 90+ 2x 3 x2 + 900 ，
y′ = 2 3 1 2x 3x× × = 2 ， ································· 3 分
2 x2 + 900 x2 + 900
高二数学答案（第 2 页，共 4 页）
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令 y′ = 0，可得 x =12 5 （ x = 12 5 舍）， ·································· 4 分
当 x∈[0,12 5)时， y′ > 0， y(x)单增；当 x∈ (12 5,40]时， y′ < 0， y(x)单减，
所以当 x =12 5 时，函数 y 取得最大值90 30 5 ， ························ 6 分
显然90 30 5 < 30 ，所以公司这一目标不能实现； ························· 7 分
（2）由（1）可知，当 x∈[0, 40]时，公司年增加最大利润为90 30 5 万元，
当 x∈ (40,100]时， y = 90x x2 1980 = (x 45）2 +45，
当 x = 45时， y 取最大值45，···················································· 10分
又因为90 30 5 < 45， ··························································· 11分
所以投资45万元，此时公司年增加利润为45万元. ··························· 12分
22.解：（1）由题知， f (x) 的定义域为 (0,+∞)，
f ′(x) = ln x +1+ x 1= ln x + x， ················································ 1 分
显然 f ′(x)在 (0,+∞)上单调递增，又 f ′(1) 1= 1+ < 0， f ′(1) =1> 0 ，
e e
1
所以 x0 ∈ ( ,1)，使得 f ′(x0 ) = 0 ，即 x0 + ln x0 = 0， ······················ 3 分 e
所以当 x∈ (0, x0 )时，f ′(x) < 0，函数 f (x) 单调递减，当 x∈ (x0 ,+∞) 时，f ′(x) > 0，
f (x) 单调递增，且 f (x0 ) = x
1 2 1 2
0 ln x0 + x0 x0 = x0 x0 < 0 ， ······· 5 分 2 2
因为当 x → 0 时， f (x) < 0且 f (x) → 0， f (2) = 2ln 2 > 0，
所以 f (x) 在 (1, 2)上有唯一的零点；·············································· 6 分
（2）由题意可得，g(x) = (x 1)ex af (x) = (x 1)ex a(x ln x 1+ x2 x)，x∈ (0,+∞)，
2
g′(x) = xex a(x + ln x) = xex a ln(xex )，
因为 g(x) 有两个极值点，所以 g′(x)有两个变号零点， ······················ 7 分
令 t = xex > 0 ，显然 t = xex 在 x∈ (0,+∞)上单调递增，
要使 g′(x)有两个变号零点，只需h(t) = t a ln t 有两个变号零点， ······· 8 分
h′(t) 1 a t a= = (t > 0)，
t t
当 a ≤ 0 时，h′(t) > 0 在 (0,+∞)上恒成立，h(t)单调递增， 不满足题意；
当 a > 0时，在 (0, a)上 h′(t) < 0，函数h(t)单调递减，
高二数学答案（第 3 页，共 4 页）
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在 (a,+∞)上h′(t) > 0 ，函数h(t)单调递增，
所以h(t)在 t = a 时取得最小值h(a) = a a ln a ， ··························· 10分
要使h(t) = t a ln t 有两个变号零点，只需h(a) = a a ln a < 0 ，
解得a > e，
此时h(1) =1> 0 ， h(ea ) = ea a2 > 0，
所以h(t)在 (1, a)和 (a, ea )上各有一个变号零点，满足题意，
综上所述，实数a的取值范围为 (e,+∞) . ······································· 12分
高二数学答案（第 4 页，共 4 页）
{#{QQABCY6EogigQhAAAQBCEwFSCAKQkhCCCAgOwBAUIEAASQFABCA=}#}2022～2023 学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟．
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。
1.若函数 f (x) = sin x cos x ，则 f ′(x) =
A.sin 2x B. sin 2x C.cos 2x D. cos 2x
2.已知全集U = R ，A = {x | 3< x < 1}，B ={x | 0 ≤ x < 2}，
则图中阴影部分表示的集合为
A.{x | 3< x < 0} B.{x | 3< x ≤ 0}
C.{x | 3 < x < 2} D.{x | 0 ≤ x <1}
2
3.若 p ：实数a使得“ x ∈R ，x + 2x + a = 0”为真命题，q0 0 0 ：实数a使得“ x∈[1,+∞) ，
x2 a > 0 ”为真命题，则 p 是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某银行拟面向部分科创小微企业开展贷款业务.调查数据表明，科创小微企业的贷款实
0.5+kx
际还款比例 P(x)关于其年收入 x（单位：万元）的函数模型为 P(x) e=
1+ e 0.5+kx
.已知
当贷款小微企业的年收入为10 万元时，其实际还款比例为50% ，若银行期待实际还款
比例为60% ，则贷款小微企业的年收入约为（参考数据：ln 2 ≈ 0.693，ln 3 ≈1.099）
A.14 万元 B.16 万元 C.18万元 D.20 万元
5.函数 f (x) = ln | x 1| ln | x +1|的部分图象大致为
y y y y
1 1 1 1
O
O 1 x O 1 x O 1 x 1 x
A B C D
4 2x+2，x ≥ 0 4
6.已知定义在R 上的奇函数 f (x) = ，则 f (g(log2 ))的值为
g(x)，x < 0 5
高二数学试题（第 1 页，共 4 页）
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A. 2 B.2 C. 4 D.4
7.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = f (x) ， y = f (x +1) 是偶函数，若 f (x) 在
(0,1) 上单调递增，a = f (ln 2) ，b = f ( e) ，c 5= f ( )，则
2
A.b < a < c B.c < a < b C.a < b < c D.b < c < a
8.已知函数 f (x) = (x +1)ex ，若函数 F (x) = f 2 (x) mf (x) +m 1有三个不同的零点，
则实数m 的取值范围为
1 1 1
A. ( 2 ,0) B. ( 2 ,1) C. (1 2 ,1) D. (1
1
2 ,1) (1,+∞) e e e e
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.已知a = log2 12 ，b = log3 18 ，则
A.a < b B. (a 2)(b 2) =1 C. a + b < 7 D.ab > 9
2
10.已知函数 f (x) x= ，则
1 x
A. f (x) 有极大值 4
B. f (x) 在 ( ∞,0)上单调递增
C. f (x) 的图象关于点 (1, 2)中心对称
D.对 x1, x2 ∈ (1,+∞) ，都有 f (
x1 + x2 ) f (x1) + f (x 2 )≥
2 2
11.对于函数 f (x) ，若在其定义域内存在 x0 使得 f (x0 ) = x0，则称 x0 为函数 f (x) 的一个
“不动点”，下列函数存在“不动点”的有
f (x) 2x2 1A. = + B. f (x) = ex 3x C. f (x) = ex 1 2ln x f (x) ln x 2 D. =
4 x
12.关于曲线 f (x) = ln x a和 g(x) = (a ≠ 0)的公切线，下列说法正确的有
x
1
A.无论a取何值，两曲线都有公切线 B.若两曲线恰有两条公切线，则a =
e
1
C.若a < 1，则两曲线只有一条公切线 D.若 2 < a < 0，则两曲线有三条公切线 e
高二数学试题（第 2 页，共 4 页）
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.写出一个同时具有下列性质的函数 f (x) = .
① f (x1x2 ) = f (x1) + f (x2 )；② f (x) 为增函数.
14.若函数 f (x) = x2 x + a ln x 在 (1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .
ex + a, x ≤ 0
15.已知函数 f (x) = ，若方程 f (x) =1有两个不相等的实数根，则实数a
ln(x+3a), x > 0
的取值范围为 .
16.若 f (x) 是区间[a,b]上的单调函数，满足 f (a) < 0 ， f (b) > 0，且 f ′′(x) > 0（ f ′′(x)
为函数 f ′(x)的导数），则可用牛顿切线法求 f (x) = 0 在区间[a,b]上的根ξ 的近似值：
取初始值 x0 = b，依次求出 y = f (x) 图象在点 (xk 1, f (xk 1))处的切线与 x 轴交点的横
| f (x ) |
坐标 xk (k =1,2,3, )，当 xk 与ξ 的误差估计值 k （m 为 | f ′(x) | (x∈[a,b]) 的m
最小值）在要求范围内时，可将相应的 xk 作为 ξ 的近似值.用上述方法求方程
x3 + 2x 1= 0 在区间[0, 3]上的根的近似值时，若误差估计值不超过0.01，则满足条
4
件的 k 的最小值为 ，相应的 xk 值为 .（本小题第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10 分）已知集合 A ={x | a 3 < x < 2a +1}， B ={x | x2 + 3x 10 ≤ 0} .
（1）当a =1时，求 A B；
（2）若 A B = B ，求实数a 的取值范围.
3 2
18.（12 分）已知函数 f (x) = ax + bx + 2x， f ′(x) > 0 的解集为 ( ∞,1) (2,+∞) .
（1）求a,b的值；
（2）若 g(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≤ 0 时， g(x) = f (x) ，求不等式
g(2x 3) + g(x) > 0的解集.
高二数学试题（第 3 页，共 4 页）
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f (x) = aex19.（12 分）若函数 + bx 1在 x = 0 处取得极小值0 .
（1）求 f (x) 的图象在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）若不等式 f (x) + f (2x) ≥ 3x +m 恒成立，求实数m 的取值范围.
20.（12 分）已知函数 f (x) = ax ln x .
（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）证明：当0 < a <1时， x∈ (0,+∞)，使得 f (x) < 3a a2 ln 2 .
21.（12 分）某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，
投 入 资 金 x （ 万 元 ） 和 年 增 加 利 润 y （ 万 元 ） 近 似 满 足 如 下 关 系
y =
90+ 2x 3 x2 + 900, x∈[0, 40]
.
90x x
2 1980, x∈ (40,100]
（1）若该公司投入资金不超过40 万元，能否实现年增加利润30万元？
（2）如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由.
1
22.（12 分）已知函数 f (x) = x ln x + x2 x .
2
（1）求函数 f (x) 的零点个数；
（2）若 g(x) = (x 1)ex af (x)有两个极值点，求实数a的取值范围.
高二数学试题（第 4 页，共 4 页）
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