1.1.1空间向量及其线性运算 同步解析 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.1.1空间向量及其线性运算
一、选择题
如图，在平行六面体 中， 等于
A． B． C． D．
在空间直角坐标系中，已知点 ，给出下列 条叙述：
①点 关于 轴的对称点的坐标是 ；
②点 关于 平面的对称点的坐标是 ；
③点 关于 轴的对称点的坐标是 ；
④点 关于原点的对称点的坐标是 ．
其中正确的个数是
A． B． C． D．
已知向量 ，，且 ，那么
A． B． C． D．
如图，已知三棱锥 ，点 ， 分别为 ， 的中点，且 ，，，用 ，， 表示 ，则 等于
A． B．
C． D．
在四面体 中，空间的一点 满足 ．若点 ，，， 共面，则
A． B． C． D．
已知 ，， 三点不共线，对空间内任意一点 ，若 ，则 ，，， 四点
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
已知非零空间向量 ，，且 ，，，则一定共线的三点是
A． ，， B． ，， C． ，， D． ，，
如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ．设 ，，， 是 的中点，则
A． B．
C． D．
二、填空题
直三棱柱 中，若 ，， ,则
（用 ，， 表示）．
在空间四边形 中，连接 ，．若 是正三角形，且 为其中心，则 的化简结果为 ．
在四面体 中，， 分别是 ， 的中点，若记 ，，，则 ．
化简： ．
给出以下结论：
①空间中任意两个共起点的向量都是共面的；
②两个相等向量就是长度相等的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
其中正确的结论是 （填序号）．
已知空间的一个基底 ，，，若 ， 共线，则 ， ．
设 ， 是空间两个不共线的向量，已知 ，，，且 ，， 三点共线，则 ．
已知 ，， 三点共线，则对空间任一点 ，存在三个不为 的实数 ，，，使 ，那么 的值为 ．
三、解答题
如图，已知空间四边形 ，连接 ，，，， 分别是 ，， 的中点．请化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量．
(1) ；
(2) ．
已知 是坐标原点，且 ，， 三点的坐标分别是 ，，，求适合下列条件的点 的坐标：
(1) ；
(2) ；
如图，在正方体 中，点 是截面 的重心，求证：点 ，， 三点共线．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
2. 【答案】B
3. 【答案】A
4. 【答案】D
【解析】
5. 【答案】A
【解析】因为 ，，， 共面，则 ，得 ．
6. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
，
，
即 ．
故 ，，， 四点共面．
7. 【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，， 三点共线．
8. 【答案】B
【解析】
二、填空题
9. 【答案】
【解析】
10. 【答案】
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ．故
11. 【答案】
【解析】因为在四面体 中，， 分别是 ， 的中点，
所以
12. 【答案】
【解析】
13. 【答案】①③④
【解析】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有 个点，易知三点共面，则两向量共面，故正确；
②中，两个向量相等是指两个向量的大小相等、方向相同，故错误；
③中，空间向量的加法满足结合律，故正确；
④中，由向量加法的三角形法则可知正确．
故答案为①③④．
14. 【答案】 ；
【解析】因为 ， 共线，
所以 ，使得 ，
所以 ，
得
解得
15. 【答案】
【解析】由已知得 ，
因为 ，， 三点共线，
所以 与 共线，即存在 使得 ，
所以 ，
因为 ， 不共线，
所以
得 ．
16. 【答案】
【解析】因为 ，， 三点共线，
所以存在唯一实数 使 ，
即 ，
所以 ．
又 ．
令 ，，，
则 ．
三、解答题
17. 【答案】
(1) ，
如图中向量 ．
(2)
如图中向量 ．
18. 【答案】
(1) 由题得 ，．
因为
所以 ．
(2) 因为
所以 ，
所以 ．
19. 【答案】设 ，，，则
．
所以 ，
所以 ．
因直线 和直线 均过同一点 ，
故 ，， 三点共线．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)