哈尔滨市南岗区2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学试卷 答案
120分钟 满分150分
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A,2. D;3. B;4. D;5. C；6. C;7. D;8. A.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. AC；10. ABC；11. BCD；12. ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． ，. 14.
15. 3 ； 0.1359 16.；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分（17题10分，18至22题每题12分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
17．（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2），，
所以，
.
+=5
所以数列的前20项和为5.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，,＝3，＝＝2，⊥平面，且＝3．点在棱上，点为中点．
(1)证明：若＝2，则直线∥平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
18.（1）在AD上取一点Q，使得，连接MQ，NQ，如图，
∵，∴MQ∥AP，又平面PAB，PA 平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；
∵，，AD∥BC，
∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，
∴AB∥QN，又平面PAB，AB 平面PAB，
∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAB，又MN 平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则，
令，解得，，；
设平面的法向量，
则，
令，解得，，；
∴，
∴平面CPD与平面NPD所成角的正弦值为．
19． “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性 女性 合计
爱好 10
不爱好 8
合计 30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是．
参考公式：χ2＝，.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
19.（1）由30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是，故爱好运动的员工共有16人，由表中男爱好运动的员工为10人，可得女爱好运动的员工有6人，
故列联表补充如下：
男性 女性 合计
爱好 10 6 16
不爱好 6 8 14
合计 16 14 30
零假设为：爱好运动与否与性别没有关系.
由已知数据可求得：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，即认为爱好运动与否与性别没有关系；
（2）X的可能取值为0,1,2.
，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望为：
.
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．
20. （1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（）， （1分）
因为点在椭圆上，所以， （2分）
解得， （1分）
所以，椭圆的方程为． （2分）
（2）设（），由已知，直线的方程是， （1分）
由 （*） （2分）
设，，则、是方程（*）的两个根，
所以有，， （1分）
所以，
（定值）． （3分）
所以，为定值． （1分）
21．已知函数.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若时，存在两个极值点、，证明：.
21.（1）解：因为，则，
因为函数在上单调递减，则对任意的，，
即，可得，
设，则，
当时，，所以，单调递增，则，故，
即实数的取值范围是．
（2）证明：由（1）知：、满足，则，
不妨设，则．
则，
则要证，即证，
即证，也即证成立．
设函数，则，
所以，在单调递减，又．
故当时，，
所以，，即.
22．习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院 A B C D E F G H I K
满意度x（%） 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13
投资原y（万元） 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52
（1）求投资额关于满意度的相关系数；
（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）
参考数据：，，，
，.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.
22.（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.
（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，
所以要“末位淘汰”掉K敬老院.
重新计算得，，
，
，
所以，
.
所以所求线性回归方程为.哈尔滨市南岗区2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学试卷
120分钟 满分150分
选择题：本大题单项选择共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=,集合M=, N=,则=（ ）
A. B. C. D. U
2. 对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为，则是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3.将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是( )
A．72 B．96 C．108 D．120
4. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，5个（x, y）数据，去掉D(3,10)后，下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数r变小
B．残差平方和变大
C.决定系数变大
D．解释变量x与响应变量 y的相关性变弱
6．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是男医生”，则（ ）
A． B． C． D．
7.下列说法错误的是（ ）
A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5
D．回归直线恒过点，且至少过一个样本点
8.已知，，若对 ，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(多选题)本题为多项选择，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. (多选题)已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
10．(多选题)对于离散型随机变量，它的数学期望和方差，下列说法正确的是（ ）
A．是反映随机变量的平均取值 B．越小，说明越集中于
C． D．
11. (多选题)下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
12．(多选题)一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为X，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量Y,则（ ）
A.X的所有可能取值是3,4,5 B.E(X)= C. P(Y=2|X=5)= D. P(Y=2)=
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“，”的否定是.
14.设随机变量X的概率分布列如下表，则 ．
1 2 3 4
15.已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数φμ，σ(x)＝的曲线如上图所示，则σ＝ ；从中随机取一件，其长度误差落在[-6，-3]内的概率约为 . (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
16．定义：在等式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，
-2).则（1）三项式的2次系数列各项之和等于 ；（2） .
三、解答题：本大题共6小题，共70分（17题10分，18至22题每题12分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知，，求数列的前20项和.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，,＝3，＝＝2，⊥平面，且＝3．点在棱上，点为中点．
(1)证明：若＝2，则直线∥平面；
(2)求平面与平面所成角的正弦值．
19． “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性 女性 合计
爱好 10
不爱好 8
合计 30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是．
参考公式：χ2＝，.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．
21．已知函数.
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若时，存在两个极值点、，证明：.
22．习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院 A B C D E F G H I K
满意度x（%） 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13
投资原y（万元） 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52
（1）求投资额关于满意度的相关系数；
（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）
参考数据：，，，
，.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.
