2023年6月
绵阳市重点中学2022-2023学年高一下学期6月月考
数 学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量的夹角为，且，则（ ）
A．7 B． C． D．49
3．下列四个函数中,以为最小正周期，且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（ ）
A．90° B．60°
C．45° D．30°
5.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称
D．将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象
6.已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
7．多面体为正四棱台，其中上底面与下底面的面积之比为，棱台的高为棱台上底面边长的倍.已知棱台的体积为，则该棱台的表面积约为（ ）
（参考数据，，）
B． C． D．
8.已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．若关于的方程在区间上总有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．表示向量的一个单位向量
D．若，则在方向上的投影向量的模为
10.在中，，，，下列命题为真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若，则为直角三角形
11.在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为3 D．的取值范围为
12．如图所示的几何体，已知其每个面均为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
B．
C. 面面
D．、、两两垂直
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)
13．已知为虚数单位，若复数是实数，则实数m的值为_______.
已知边长为的正方形，点满足，则=_______.
15.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_______.
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在号和号座舱里，当时，两人距离地面的高度差（单位：）取最大值时，时间的值是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
18.已知．
（1）当时，求的值；
（2）求的值．
19.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每个声音都是由纯音合成，纯音的数学模型是.我们平时听到的乐音一般来说并不是一个音在响，而是由多种波叠加而成的复合音．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．已知某声音的函数关系是（其中，），且函数的振幅是4.
(1)当时，函数的最大值是1，求实数的值；
(2)在条件(1)下，求函数图象的对称轴和在上的单调递增区间.
20.如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，E是BC的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21.如图，在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，.
(1)求角大小；
(2)求三角形面积的最大值.
22.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.绵阳市重点中学2022-2023学年高一下学期6月月考
参考答案
数 学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D 2．A 3．D 4.B 5.C 6.A 7．C 8.B
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.BCD 10.ACD 11.AC 12．BCD
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)
13． 14. 15. 16.10
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）向量，，，
所以，，
由，，三点共线知，，即，解得；
（2）由，，，
，
若四边形为矩形，则，即，解得；
由，得，解得，，
所以．
18．【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）当时，由，得，；
；
（2
19.【答案】(1) (2)；，
【解析】（1）
由题意
，，，又，
∴，解得：.
（2）由（1）知，令，整理得，
∴的图象的对称轴为，
令，整理得：，
的单调增区间为，
所以在上的单调递减区间为，.
20.【解析】（1）∵，E是BC的中点. ∴DE⊥BC,
∵CC1⊥平面ABCD 且DE在平面ABCD内, ∴CC1⊥DE,
∵CC1在平面B1BCC1内，CB在平面B1BCC1中且CC1∩BC＝C ∴DE⊥平面B1BCC1,
（2）是等边三角形，取中点,则,平面,平面,平面
是直线与平面所成角，
在中，
.
21.【答案】(1) (2)
【解析】（1）由正弦定理可知，，
由余弦定理知，,又；
（2）因为,所以
所以，又， ，即，
，解得，当时等号成立，
.
22．【答案】(1)证明见解析(2)存在，
【解析】（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以,
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，因为,所以，
连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
