安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题（含解析）

2022－2023学年第二学期三市联合期末检测
高二数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3．请按照题序在各答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。
4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．数列的第11项是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知变量之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为，若，则（ ）
A．12 B．19 C．31 D．46
4．随机变量，若，则（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2
5．如图，在正四棱台中，，则与平面所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放人乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（ ）
A．162种 B．150种 C．120种 D．114种
8．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为 B．半径为2
C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为
10．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．二项式系数和为1028 B．所有项的系数之和为
C．第6项的二项式系数最大 D．项的系数为360
11．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，，下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．与所成角的余弦值为
C．平面截该十字穿插体的外接球的截面面积为
D．几何体的体积为
12．形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．渐近线方程为和
B．的对称轴方程为和
C．是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值
D．是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量的分布列如表，则的均值______．
－1 0 1 2
0.1 0.3
14．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则______．
15．已知数列满足，且，若（其中表示不超过的最大整数），则______；数列前2023项和______．
16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（10分）在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
已知向量，且满足______．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，若，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）记为数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，证明：．
19．（12分）如图1，已知正三棱锥分别为的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点的展开点分别为，点的展开点分别为），其中的面积为．在三棱锥中，
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下列联表：
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 20 20
不优秀 10 50
合计
（1）完成列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少
参考公式：，其中．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（12分）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）已知时，讨论函数的零点个数．
2022—2023学年第二学期三市联合期末检测
高二数学参考答案
1．【答案】A
【解析】数列的一个通项公式可以是，
则．
2．【答案】C
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
3．【答案】B
【解析】因为，所以，因为，且过点，
所以，解得，则．
4．【答案】D
【解析】由可得，
由对称性可得，由，得．
5．【答案】B
【解析】将该正四棱台补成正四棱锥，设的中心为，
则与平面所成角为，易知，
则在直角三角形中，．
6．【答案】C
【解析】从甲盒中取出2个红球的概率为，
从甲盒中取出2个黑球的概率为，
从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为，
由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率．
7．【答案】D
【解析】先将5人分成三组的分法有种，
其中甲乙同组的分法有种，
符合要求的分组有种，再进行分配，共有种．
8．【答案】A
【解析】设，
设，则，
则在单调递增，，即，
所以在单调递增，，所以，即．
（另解：记，易证当时，，则．）
设，
设，
则在单调递减，，则，
记可得．因此有．
9．【答案】BD
【解析】将圆化为标准方程得，可知圆心，半径为2，故A错误，B正确；
到直线的距离，故C错误；
圆心到直线的距离为1，由垂径定理可得弦长为，故D正确．
10．【答案】BC
【解析】的展开式二项式系数和为，故A错误；
令，可得中所有项的系数之和为，故B正确；
的展开式中第6项的二项式系数最大，为，故C正确；
的展开式的通项为，
令得，此时，所以项的系数为180，故D错误．
11．【答案】ACD
【解析】由可知均为棱上的四等分点，为棱上的中点，
易得，所以，故，
同理可得，又，所以平面，故A正确；
与所成角即为与所成角，在中，，
所以与所成角的余弦值为，故B错误；
该十字穿插体的外接球球心即为长方体的中心，
半径，
球心到平面的距离，即为球心到长方体侧面的距离，所以，
所以截面圆的半径，所以截面面积为，故C正确；
几何体可取为，设其体积为，
则，所以，故D正确．
12．【答案】ABD
【解析】是双曲线，函数图象无限接近和，但不相交，
故渐近线为和，故A正确；
是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，
一条直线的倾斜角为，其中，
由二倍角公式可得，，解，
故，另一条直线的斜率为，故B正确；
设，所以，
故，故C错误；
设处切线方程为，
切线和渐近线交点为，可得，
故面积为2，故D正确．
13．【答案】0.9
【解析】，解得，
则．
14．【答案】2
【解析】设交点坐标为过的直线为，
与抛物线联立可得，，故．
，
故当时，动直线有且仅有一条，即，故．
15．【答案】 1685
【解析】，
两式相减得，因为，
所以，则数列的周期为6，则数列的周期也为6，
由题意得，则
．
16．【答案】
【解析】，即，两边同时除以得．
换元令，可求的范围是，故．
上述不等式转化为，转化为恒成立．
构造函数，所以时取最大值，故．
17．【解析】选条件①：
（1），
所以函数的最小正周期为；
（2），则，
因为，所以，所以，即．
在中，由余弦定理得，
解得或9．
当时，
当时．
所以的面积或27．
选条件②：
（1），
，
所以函数的最小正周期为；
（2），则，
因为，所以，
所以，即．
在中，由余弦定理得，
解得或9．
当时，
当时．
所以的面积或27．
18．【解析】（1）解法一：∵，
两式相减可得，，
可得，
又∵，
∴也符合．
∴，
∴，
故；
解法二：，
时，，
两式相减得，
∴，
又∵，
∴，
∴为常数列，，∴
（2）证明：．
前项和．
19．【解析】（1）证明：因为三棱锥为正三棱锥，为的中点，
所以，
又因为平面，
所以平面；
（2）如图1，在平面展开图中过作直线的垂线，垂足为，垂线交于点，
所以，易知，可得，
在正三角形中，易得，所以，
在中，．
解法一：如图2，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
设为平面的一个法向量，
因为，
所以，即，令，可得．
设为平面的一个法向量，
因为，
所以，即，令，可得．
设平面与平面夹角为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解法二：如图3，设平面与平面的交线为，
因为，所以平面，所以．
在等腰三角形中，，
在等腰三角形中，，所以，
则为平面与平面的夹角（或其补角）．
，则在等腰三角形中，，
在三角形中，，
由余弦定理得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20．【解析】（1）零假设：数学成绩与物理成绩无关联，
补充列联表为
数学成绩 物理成绩 合计
优秀 不优秀
优秀 20 20 40
不优秀 10 50 60
合计 30 70 100
．
根据小概率值的独立性检验，有充分证据证明推断不成立，
故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；
（2）由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为，
设12个学生中数学成绩优秀的人数为，随机变量，
人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．
设，
解法一：，（且）
当时，，当时，，
故时，取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．
解法二：，即
解得，
因，则，故时，
取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．
21．【解析】（1）由题意可得，椭圆上的点到焦点的最大距离为，最小值为，
解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）存在点使得，
设，
设横坐标为，由相似可得上式，
整理得，①
设点坐标为，直线斜率为，
斜率为，
故，设直线的斜率为，
故直线方程为，直线方程为，
将直线和椭圆联立
可得，
由韦达定理可得，解得，
将直线和椭圆联立
可得，
由韦达定理可得，解得，
将横坐标代入①式可得，，
整理得，
化简得，解得，即，
故点坐标为．
22．【解析】（1）当时，，
则切线斜率，切点为，
所以切线方程为，即；
（2）．
①当时，在上单调递增，
又因为，
所以有一个零点．
②当时，令，得．
当时，；当时，，
则在单调递减，在单调递增．
．
设，
则，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
．
即当时，，
又因为当时，，当时，，则有两个零点；
当时，，则有一个零点；
当时，，则没有零点．
综上所述，当时，零点个数为0；
当时，公零点个数为1；
当时，零点个数为2．