广东省广州市越秀区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题(无答案)

广州市越秀区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
本试卷共6页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，则的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．和
3．设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末．现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末．记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
5．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（ ）
参考数据：若，则，．
A．69 B．81 C．87 D．96
6．某外贸工厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据如下：
月份x 1 2 3 4 5
订单y 20 24 36 43 52
变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为：，则估计10月份该厂的订单数为（ ）
参考数据：，，
参考公式：
A．93.1 B．89.9 C．83.1 D．59.9
7．下列说法正确的是（ ）
A．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数越大
B．随机变量X的方差为2，则
C．随机变量，若，，则
D．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种
8．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点
B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点
D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024
C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x
10．设数列满足，（），则（ ）
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．的前n项和
11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点（，）处的切线l交x轴于点Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为
C．过点作，垂足为K，则 D．点Q的坐标为
12．已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若时，恒成立，则
D．设，为两个不相等的正数，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的系数是______．
14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是______；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是______．
15．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是______．
16．已知数列满足，若，则数列的前n项和______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求b．
18．（12分）已知数列满足，．
（1）记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求的前2n项和．
19．（12分）为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
女生 5 30 35
男生 5 10 15
合计 10 40 50
（1）根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关．
参考公式和数据如下：，
0.10 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
20．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMC⊥平面AMD；
（2）当三棱锥的最大体积为时，求直线DM与平面MAB所成角的余弦值．
21．随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注．某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试（满分100分），随机抽取了50名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
（1）用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲乙丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人．
①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；
②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为，求．
22．（12分）已知函数，，其中a为实数，e是自然对数的底数．
（1）若时，证明：，；
（2）若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围．