梅州市高二第二学期期末联考（2023.7）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B B D C C D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9 10 11 12
BD AD ACD ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
1 2
13. 672 14. [ , ) 15. 16. {2,3,5}
4 3 ;
4
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）因为 f ( ) 2cos sin 2 a 1， ...................1 分
即 a 2 1， ...................2 分
所以 a 3 . ................... 3 分
（2）由（1）知 a 3，
f (x) 2cos x sin 2 x 3，
2cos x (1 cos2 x) 3， ...................4 分
cos2 x 2cos x 2，
(cos x 1)2 1， ...................5 分
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
2 1
因为 x , ，所以 cos x
,1 ， ...................7 分 3 3 2
于是当 cos x 1 时， f (x) 5min ， ...................8 分2 4
当cos x 1 f (x) 2时， max 2 1 5， ...................9 分
5
因此函数 f (x)的值域为 ,5 . ...................10 分 4
18. （本小题满分 12 分）
解：（1）补全的 2×2列联表如下：
保护环境意识强 保护环境意识弱 合计
女性 100 20 120
男性 60 20 80
合计 160 40 200
...................2 分
零假设为H0：性别与保护环境意识的强弱相互独立． ...................3 分
根据表中数据，计算得到
2 200 (100 20 60 20)
2 25
2.08 2.706， ...................5 分
120 80 160 40 12
根据小概率值 0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此我们可以认为H0成立，即认为人们保护环境意识的强弱与性别无关． ..........6 分
（2）依题意，按分层抽样的方法在“保护环境意识强”的受采访人员中选取8人，
则其中女性有8 100 5人，男性有8 60 3人， ...................8 分
100 60 100 60
因此，两名联络员恰为一男一女的概率为：
1 1
P C5 C3 5 3 15 2 8 7
． ...................12 分
C8 28
2 1
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
19. （本小题满分 12 分）
解：（1）显然， f (x)的定义域为 R，
对 f (x)求导得： f'(x) 3x2 2x 5， ...................1 分
(3x 5) (x 1)， ...................2 分
5
令 f'(x) 0得： x 1或 x ， ...................3 分
3
令 f'(x) 0 5得： 1 x ， ...................4 分
3
因此 f (x)
5
的单调增区间为 ( , 1)和 ( , )； ...................5 分
3
f (x) 5的单调减区间为[ 1, ] . ...................6 分
3
（2）因为 (2, 5 ) ( , )， ...................7 分
3
由（1）知， f (x)在区间 (2, )上单调递增. ...................9 分
又因为 f (2) 23 22 5 2 3 3 0 ， ...................10 分
f (3) 33 32 5 3 3 6 0， ...................11 分
因此 f (x)在区间 (2, )有且仅有一个零点. ...................12 分
20.（本小题满分 12 分）
3(a b) 3c 2b
解：（1）由正弦定理，得 ， ...................1 分
c a b
即 c2 b2 a2 2 bc， ...................2 分
3
2
2 2 2 bc
故cos A c b a 1 3 ， ...................3 分
2bc 2bc 3
因为 cos A 0，所以 A (0, )，
2
所以 sin A 1 cos2 A 1 2 2 1 . ...................4 分
9 3
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
2 2
（2）法一：由（1）知 sin A ，
3
因为 S 1 4 2 ABC bc sin A ，解得bc 4， ...................5 分2 3
因为 AD为角 A的平分线，所以令 BAD CAD ，
所以由（1）有 cos A 1 2sin 2 1 3 ，所以 sin ， ...................6 分
3 3
因为 S ABC S ABD S ACD ， ...................7 分
1
c AD sin 1 b AD sin
2 2
， ...................8 分
1 3 c AD 1 3 b AD 4 2
2 3 2 3 3
AD 8 6化简得 ， ...................9 分
3(b c)
又因为b c bc 4，当且仅当b c 2时取等号， ...................10 分
8 6 8 6 2 6
所以 AD ， ...................11 分
3(b c) 12 3
2 6
所以内角 A的角平分线 AD长的最大值为 . ...................12 分
3
2 2
法二：由（1）知 sin A ，
3
S 1 4 2因为 ABC bc sin A ，解得bc 4， ...................5 分2 3
因为 AD为角 A的角平分线，所以 sin BAD sin CAD，
AB BD
所以 ， ...................6 分
AC DC
AB BD
不妨设 k , AC m则 AB km，
AC DC
2
故 km 4， ...................7 分
延长 AD至点 E AD，使得 k ,连接CE
DE
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
AD BD
则 k， ADB EDC，
DE CD
所以△ABD∽△ECD，
AB
故 BAD E , k ,
CE
则 AB //CE,CE m
则 ACE BAC ,cos ACE cos BAC 1 ， ...................8 分
3
2
2m2 12 2 2 1
AD2
ACE cos ACE AC CE AE k
1
在 ,由余弦定理得
2AC CE 2m 2 3
2
AD2 8m即 2 ， ...................9 分
3 1 1
k
因为 km2 4，
8m22 8
所以 AD 2 2 ， ...................10 分
3 1 1 3
1 m 1
2
k m 16 2
1 m2 1 m2 1 1 m2
其中 2 2 2 当且仅当 ，即m 2，等号成立m 16 m 16 2 m2 16
AD2 8 8故 2 ，即 AD
2 6
. ...................12 分
3 3
3 1 m 1 2
m 16 2
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）依题意，随机变量 X 2的可能取值为3, 4, 5， ...................1 分
而且 P(X 3 3 92 3) ， ...................2 分7 7 49
P(X 3 4 4 4 42 4) ， ...................3 分7 7 7 7 7
P(X 4 3 122 5) ， ...................4 分7 7 49
E(x ) 3 9 4 4 5 12 199因此， 2 . ...................5 分49 7 49 49
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
（2）分类讨论：
3
（i）当 k=0时， P(X n 1 3 0) p0； ...................6 分7
（i）当 k 1,2,3,4时，分为以下两类情况：
情况①：第 n次操作后袋中有3 k个白球，第n 1次取出来的也是白球， .........7 分
3 k
此种情况的概率为 p
7 k
； ...................8 分
情况②： 第 n次操作后袋中有3 k 1个白球，第 n 1次取出来的是黑球，.........9 分
5 k
此种情况的概率为 pk 1 . ...................10 分7
因此 P(X n 1 3 k )
3 k
p 5 kk pk 1(k 1,2, ,4)， ...................11 分7 7
3
p 7 0
,k 0
综上所述，P(xn 1 3 k) . ................12 分
3 k p 5 k p ,k 1,2, , 4
7 k 7 k 1
22.（本小题满分 12 分）
x
解：（1）对 f (x) (x b)(e 1)求导得： f (x) x b 1 ex 1， ..................1 分
因为函数 f (x)在点 P(0, f (0))处的切线方程为： y x，
f (0) b (1 a) 0
所以： ， ...................2 分
f'(0) b 1
故a 1，b 1. ...................3 分
x
（2）法一：F(x) x 1 e 1 1 1 x 1 x 1 ex 1 e ，..............4 分 e
当 x 1时， x 1 0, ex 1 0，
e
于是 F(x) x 1 ex 1 e 0； ...................5 分
当 x 1 1 x时， x 1 0, e 0，
e
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
于是 F(x) x 1 1 x e 0； ...................6 分
e
x 1当 1 F(x) x 1 ex时， 0； ...................7 分
e
1
综上，F (x) F ( 1) 0， f (x) 1 x 1 . ...................8 分
e
法二：令 F(x) x 1 ex 1 1 1 e x 1 ，
F (x) x 2 ex 1 ， ...................4 分
e
1 1
当 x 2时， F (x) x 2 ex 0，
e e
当 x 2时，设G(x) F (x) x 2 ex 1 ， G (x) x 3 ex 0，
e
故函数 F (x)在 2, 上单调递增，又 F ( 1) 0， ...................5 分
所以当 x , 1 时，F (x) 0，当 x 1, 时，F (x) 0， ............6 分
所以函数 F (x)在区间 , 1 上单调递减，在区间 1, 上单调递增，.........7 分
f (x) 1故 F (x) F ( 1) 0， 1 x 1 . ...................8 分
e
x
（3）令 g(x) x 1 e 1 x， g (x) x 2 ex 2，
当 x 2时， g (x) x 2 ex 2 2 0，
当 x 2时，设 h(x) g (x) x 2 ex 2， h (x) x 3 ex 0，
故函数 g (x)在 2, 上单调递增，又 g (0) 0，
所以当 x ,0 时， g (x) 0，当 x 0, 时， g (x) 0，
所以函数 g(x)在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增，
故 g(x) g(0) 0，即 (x 1)(ex 1) x . ...................9 分
设 t(x) m的根为 x 2 ，则 x 2 m，
又函数 t(x)单调递增，故 t(x 2 ) f (x2 ) t(x2 )，故 x 2 x2，...................10 分
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}
设 f (x)在(-1，0)处的切线方程为 h(x)，
1
易得，h(x) 1 x 1 ，
e
me
设 h(x) m的根为 x 1 ，则 x1 1 ，1 e
又函数 h(x)单调递减，故 h(x 1 ) f (x 1) h(x1)，故 x1 x1，...................11 分
x x x x m 1 me m(1 2e)因此 2 1 2 1 1 . ...................12 分
1 e 1 e
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{#{QQABIYYEoggAQAAAAQBCEwUACgKQkhGCCKgOxBAYMEAASANABCA=}#}梅州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
2．命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是
A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直
C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直
D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直
3．读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为
A．100 B．200 C．300 D．400
4．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为
A． B． C． D．
5．设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是
A．有两个极值点 B．
C．为的极小值 D．有一个极大值
6．用0到6这7个数字，可以组成没有重复数字的且被5整除的四位数的个数为
A．200 B．210 C．220 D．240
7．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则c的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y/亿元 2 3.6 5 m 8
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是
A．
B．所得回归直线方程的决定系数，说明拟合效果非常好
C．最小二乘法得出的回归直线保证了残差和最小
D．预测该人工智能公司第6年的利润约为9.44亿元
10．下列命题是真命题的是
A．“且”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要而不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．在中，“”是“”成立的充要条件
11．已知函数的图象在内恰有2个零点，则
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．函数在区间为上单调递增
D．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图象
12．已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为：
1 2
其中满足：，且．定义由生成的函数．
现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为__________（用数字作答）．
14．，恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．已知事件A，B，，，，则_______．
16．A是正整数集的非空子集，称集合为集合A的生成集．当时，则集合A的生成集_______；若A是由5个正整数构成的集合，则其生成集B中元素个数的最小值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知函数，且．
（1）求实数a的值；
（2）若，求函数的值域．
18．（本题满分12分）二十大报告将“人与自然和谐共生的现代化”上升到“中国式现代化”的内涵之一，再次明确了新时代中国生态文明建设的战略任务，总基调是推动绿色发展，促进人与自然和谐共生。某环境保护机构为了调查研究人们“保护环境意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
保护环境意识强 保护环境意识弱 合计
女性 100 120
男性 20
合计 200
（1）根据统计数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护环境意识的强弱与性别有关？并说明原因；
（2）用分层抽样的方法在“保护环境意识强”的受采访人员中选取8人参加一次公益活动，需要在这8个人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员恰为一男一女的概率．
附：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中．
19．（本题满分12分）已知函数．
（1）求的单调区间：
（2）求证：在区间上有且仅有一个零点．
20．（本题满分12分）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．
21．（本题满分12分）一袋中有3个白球和4个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为．
（1）求的数学期望；
（2）设，，求（用和k表示）．
22．（本题满分12分）已知函数在点处的切线方程为：．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明：；
（3）若方程有两个实数根，，且，证明：．
