广东省汕尾市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

汕尾市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．已知函数，，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．60 D．120
4．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为（ ）
A．84，21 B．21，84 C．35，280 D．280，35
7．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知甲、乙能破译密码的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有．成立，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量与的夹角为
C．若，则是与垂直的单位向量
D．向量在向量上的投影向量为
10．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．
B．被调查的100户居民用户的月平均用电量估计为
C．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70
D．被调查的100户居民用户的月用电量数据的60%分位数估计为200
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．有极小值
B．的单调递减区间为
C．有唯一零点
D．若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是
12．已知数列满足（，且），则下列说法正确的是（ ）
A．，且
B．若数列的前16项和为540，则
C．数列的前项中的所有偶数项之和为
D．当n是奇数时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数是关于x的方程的一个根，则________．
14．某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人．为了获得该校全体学生的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），经计算得到男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30．根据以上数据，估计该校全体学生身高的均值为________；估计该校全体学生身高的方差为________．
15．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面的高度为________．
16．如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
2022年4月16日，3名中国宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念．求：
（1）3名宇航员互不相邻的概率；
（2）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率．
18．（12分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，且的面积为3，求．
19．（12分）
如图，正方形的边长为1，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形，以此方法一直继续下去．
（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）假设第n（）个正方形的面积为，求数列的前n项和．
20．（12分）
如图，在四棱雉中，底面是正方形，底面，，是的中点，作交于点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
21．（12分）
已知抛物线过点（）．
（1）求C的方程；
（2）若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．
22．（12分）
某中学科技创新教研组为了研制飞机模型的自动着陆系统，技术人员需要分析飞机模型的降落曲线．如图，一架水平飞行的飞机模型着陆点为坐标原点O．已知飞机模型开始降落时的飞行高度为10m，水平飞行速度为，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于保持机身结构稳定的考虑，飞机竖直方向的加速度的绝对值不得超过（此处是重力加速度）．若飞机模型在与着陆点的水平距离是时开始下降，飞机模型的降落曲线是某三次多项式函数（）图象的一部分，飞机模型整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机模型开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题：
（1）确定该飞机模型的降落曲线方程；
（2）求开始下降点所能允许的最小值（精确到0.1，）．
汕尾市2022-2023学年高二下学期期末教学质量监测
答案及评分标准（参考）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A D A A D C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
AD ACD CD ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0 14．167 40 15．6 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，∴一共有（种）排法．
∵5人排成一排一共有（种）排法，
∴3名宇航员互不相邻的概率为． （4分）
（2）①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，， （6分）
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，， （8分）
故，
∴2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率为． （10分）
18．解：（1）由已知得，
由正弦定理，得，，R为外接圆的半径，
∴． （2分）
∵，∴． （4分）
又，∴． （6分）
说明：3分点“”也可表达为，得）
（2）由（1）知，又∵，
故由余弦定理，得 ①． （8分）
由题意知，即 ②． （10分）
联立①②得，，故． （12分）
19．解：（1）设从正方形开始，连续10个正方形的面积之和为．
由题意知 （2分）
． （4分）
∴从正方形开始，连续10个正方形的面积之和为． （5分）
（2）由题意知，且， （6分）
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，则． （7分）
（注：直接得出不扣分）
令，从而．
法一：错位相减法
∵ ①，
∴ ②． （9分）
，得
． （12分）
法二：裂项相消法
∵ （9分）
∴ （11分）
裂项相消，得 （12分）
20．法一：传统法
（1）证明：连接，交于点O，连接，如图．
∴四边形为正方形，∴O为线段的中点．
又∵E是的中点，∴为的中位线， （1分）
∴．
又平面，平面，
∴平面． （4分）
（2）证明：∵在中，，且为的中点，
∴．
∵底面，平面，
∴平面平面．
∵平面平面，平面，且，
∴平面．
∵平面，
∴．
又∵，平面，∴平面． 6分
∵平面，∴．
又∵，且，平面，
∴平面． 8分
（3）解：由（2）知，平面，∵平面，
∴．
又∵平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角． 9分
不妨设正方形的边长为1，
∴．
又∵在中，，，，
∴．
∵平面，平面，∴，
故在中，． 11分
∵，∴，
∴平面与平面的夹角的大小为． 12分
法二：向量法
（1）证明：由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设． 1分
连接，交于点，连接．
由题意得，，．
∵四边形为正方形，∴为线段的中点，故， 2分
∴，，∴，即．
又∵平面，平面，∴平面． 4分
（2）证明：∵，∴．
又∵，∴，
∴． 6分
由题意知，且，平面，
∴平面． 8分
（3）解：由（2）知，平面，∵平面，
∴．
又∵平面，平面，平面平面，
∴为二面角的平面角． 9分
设，∴．
∵，∴，解得， 10分
∴，，
∴
． 11分
∵，∴，
∴平面与平面的夹角的大小为． 12分
21．解：（1）∵抛物线过点，
∴．
又∵，∴，故的方程为． （5分）
（2）设，．
由（1）知，抛物线的焦点为，
∵直线的斜率为，且过点，
∴直线的方程为， （7分）
联立得，则． （10分）
∴，
故线段的长度为． （12分）
22．解：（1）∵降落曲线（）过点，
∴，则，． （2分）
由题意知则，解得 （5分）
∴该飞机模型的降落曲线方程为，． （6分）
（2）∵飞机模型水平方向匀速飞行，且飞行速度为，
∴飞机模型经过降落时间后与着陆点的水平距离为，
故竖直高度y（单位：m）与降落时间t（单位：s）的函数关系式为，． （8分）
由导数的物理意义知，飞机模型的竖直方向的下降速度，竖直方向的加速度，， （10分）
∴当或时，竖直方向加速度的绝对值达到最大值，且． （11分）
由题意知．
∵，解得，
∴开始下降点所能允许的最小值约为7.7． （12分）